Игошин Математическая логика и теория алгоритмов (1019110), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Интуиция (от лат. тги(йо — «пристальное всматривание«) представляет собой способность постижения истины путем прямого ее усмотрения без обоснования с помощью логически строгого доказательства. Таким образом, интуиция является своего рода антиподом, противовесом логики и строгости. Логическая часть мыслительного процесса протекает на уровне сознания, интуитивная — на подсознательном уровне.
Развитие науки и особенно математики немыслимо без интуиции. Различают два вида интуиции в научном познании'. интуицию-суждение и интуицию-догадку. Интуиция-суждение (или филосо4ская интуиция-суждение) характеризуется тем, что в этом случае прямое усмотрение истины, объективной связи вещей осуществляется не просто без логически строгого доказательства, но такого доказательства для данной истины не существует и не может существовать в принципе. Интуиция-суждение осуществляется как единый (единовременный) синтетический целостный акт обобщающего характера. Именно такой характер логически недоказуемых утверждений носят рассматриваемые в теории алгоритмов тезисы Тьюринга, Черча и Маркова (см.
5 3) — 36). Примером применения интуиции-суждения является установление истинно- ' Файнберг Е.гг. Кибернетика, логика, искусство. — М., 1981. сти или ложности положений, помещаемых в основание той или иной математической теории, которая затем будет развиваться строгими формально-логическими методами. Интуиция-догадка, называемая также психоэвриетической интуицией, характеризуется тем, что происходит прямое внелогическое усмотрение такой истины, такого факта, который впоследствии, по прошествии определенного времени, будет обоснован и доказан строго логическим путем.
Такое суждение в значительной мере протекает бессознательно или подсознательно в короткие промежутки времени и проявляется как «озарение», «прозрение». Факт, усмотренный в результате психоэвристической интуиции-догадки, в рамках определенной формально-логической системы может быть логически сведен к некоторым исходным основным положениям, принятым за аксиомы или постулаты. При этом последующее строго логическое доказательство интуитивно усмотренного факта происходит через такой промежуток времени, который абсолютно несопоставим по продолжительности с актом «озарения». Для этого могут понадобиться часы, дни и даже годы.
Вопрос о противопоставлении логического и интуитивного (интеллектуального и чувственного) давно отнесен историей развития процесса познания к проблеме взаимодействия этих двух ипостасей человеческого сознания в ходе данного процесса. Для познания мира — и физического, и духовного — необходимы два совершенно разных метода: с одной стороны, логический, строго доказательный, а с другой — интуитивный, основанный на непосредственном синтетическом суждении, не опирающемся на доказательство. Гипертрофия (преувеличение) роли как строгой логики, так и интуиции — это крайности. «Обе эти крайности,— справедливо считает Я. Стюарт', — бьют мимо цели: вся сила математики — в разумном сочетании интуиции и строгости.
Контролируемый дух и вдохновенная логика!» . Завершим мысль словами выдающегося математика ХХ в. А. Пуанкаре: «Таким образом, логика и интуиция играют каждая свою необходимую роль. Обе они неизбежны. Логика, которая одна может дать достоверность, есть орудие доказательства; интуиция есть орудие изобретательства»7, Лошка традиционная и математическая лопига.
Термин «логика»вЂ” наука о способах доказательств и опровержений — происходит от греч. ) отой (логос), что означает «слово», «понятие», «смысл». Понятие «традиционная или формальная логика» характеризует берущую свое начало от Аристотеля науку, изучающую формы и законы мышления, а также методы, с помощью которых люди в действительности делают выводы, устанавливают связь логических форм с языком. Появ»« .- ««.»««. «я««г — М 9»«« 'ПУанкаре А. О науке. — М., 1983. С. !67. ления — это результат общественной практики.
Именно длительная практическая деятельность человека в процессе познания окружающей действительности, миллиарды раз приводя его сознание к повторению одних и тех же логических фигур, откристаллизовала эти фигуры в законы логики. Таким образом, логика представляет собой определенный способ отражения действительности.
Логика изучает то общее, что связывает мысли в их движении к познанию истины. Она есть наука о законах и формах правильного мышления. Она изучает формы рассуждений, отвлекаясь от их конкретного содержания; устанавливает, что из чего следует; ищет ответ на вопрос о направлении рассуждений. Специфика логики состоит в том, что изучение и познание объективного мира природы и субъективного мира переживаний и чувств возможно вести эффективными средствами абстрактного мышления человека. Математическая логика, называемая также символической или теоретической логикой, выросла из логики традиционной, но составила значительное ее расширение.
С одной стороны, эта наука применила математические методы для изучения общих структур (форм) правильного мышпения и тем самым оформилась как раздел математики, с другой — математическая логика сделала предметом своего изучения процесс доказательства математических теорем и сами математические теории. Математическая логика явилась, таким образом, инструментом для исследований в области оснований математики.
Данный раздел математической логики получил название «теория доказательств» или «метаматематика». Ни одна из этих двух логик не может в полной мере включать другую как частный случай, но они тесно взаимосвязаны между собой. Математическая логика, являясь более общей и более абстрактной, чем традиционная формальная логика, в то же время является и более конкретной, так как она имеет более широкое применение, дает возможность решать множество конкретных практических задач, не разрешимых средствами традиционной формальной логики. Аппарат исчислений и формальных систем в математической логике гораздо более совершенен, нежели аппарат традиционной логики.
Поэтому он может применяться к решению таких сложных задач, которые недоступны для классической логики. Математическая логика способствует более глубокому пониманию логики традиционной, ее сохранению и поднятию на более высокую ступень. Благодаря математической логике логика традиционная достигла определенного уровня совершенства, так как появилась новая возможность использования математики не только по форме, но и по существу.
Немного истории. Основоположником логики как науки является древнегреческий философ и ученый Аристотель (384 — 322 гг. до н.э.). Он впервые разработал теорию дедукции, т.е. теорию логического вывода. Именно он обратил внимание на то, что в рассуждениях мы из одних утверждений выводим другие, исходя не из конкретного содержания утверждений, а из определенной взаимосвязи между их формами и структурами. Древнегреческий математик Евклид (330 — 275 гг. до н.э.) впервые предпринял попытку упорядочить накопившиеся к тому времени обширные сведения по геометрии, взглянув на эту науку с общелогических позиций. Он положил начало осознанию геометрии как аксиоматической теории, а всей математики — как совокупности аксиоматических теорий, впервые на практике реализовав восходящие к Платону и Аристотелю идеи аксиоматической организации всякого научного знания.
На протяжении многих веков различными философами и целыми философскими школами дополнялась, усовершенствовалась и изменялась логика Аристотеля. Это был первый (доматематический) этап развития формальной логики. Второй этап связан с применением в логике математических методов, начало которому положил немецкий философ и математик Г.Лейбниц (1646 — 1716). Он пытался построить универсальный язык, с помощью которого можно было бы решать споры между людьми, а затем и вовсе все «идеи заменить вычислениями». Важный период становления математической логики начинается с появления работ английского математика и логика Джорджа Буля (1815 — 1864) «Математический анализ логики» (1847) и «Исследование законов мышления» (1854).
Он применил к логике методы современной ему алгебры — язык символов и формул, составление и решение уравнений. Им была создана своеобразная алгебра — алгебра логики. В этот период она оформилась как алгебра высказываний и была значительно развита в работах шотландского логика А. де Моргана (1806 — 1871), английского логика У.Джевонса (1835 в 1882), американского логика Ч. Пирса (1839 в 1914), немецкого алгебраиста и логика Э.Шредера (1841— 1902), русского математика, астронома и логика П.С. Порецкого (1846 — 1907).
Создание алгебры логики явилось заключительным звеном в развитии формальной логики: алгебра логики поставила и Решила в самом общем виде те задачи, которые рассматривались в аристотелевой логике. Формальная логика в результате использования в ней развитого символического языка окончательно оформилась как логика символическая. Значительным толчком к новому периоду развития математической логики послужило создание в первой половине Х1Х в. великим русским математиком Н.И.Лобачевским (1792 — 1856) и независимо от него венгерским математиком Я.
Боян (1802 — 1860) "еевклидовой геометрии. Кроме того, создание анализа бесконеч"о малых привело к необходимости обоснования понятия числа как фундаментального понятия всей математики. Довершали карт"ну парадоксы (антиномии), обнаруженные в конце Х1Х в. в те- ории множеств: они отчетливо показали, что трудности обоснования математики являются трудностями логического и методологического характера. Таким образом, перед математической логикой встали задачи, которые перед логикой Аристотеля не возникали: она должна была исследовать основания математической науки, исследовать математику как совокупность аксиоматических теорий, исследовать аксиоматический метод построения математических теорий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
