В.И. Игошин - Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов - 2007 (1019105), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Пушкина «Евгений Онегин» 136 245 букв; р) Река Ангара впадает в озеро Байкал. Р е ш е н и е. б) Это предложение не является высказыванием, потому что оно ничего не утверждает о студенте. в) Предложение не является высказыванием: мы не можем определить, истинно оно или ложно, потому что не знаем, о каких именно треугольниках идет речь. Фактически АВС здесь является некоторой переменной, вместо которой могут подставляться конкретные значения (треугольники). О предложениях такого типа речь пойдет в гл. 1У. ж) Предложение не является высказыванием, так как понятие «вкусное блюдо» слишком неопределенно.
п) Предложение — высказывание, но для выяснения его значения истинности нужно затратить немало времени. 1.2. Укажите, какие из высказываний предыдущей задачи истинные, а какие ложные. 1.3. Сформулируйте отрицания следующих высказываний; укажите значения истинности данных высказываний и их отрицаний: а) Волга впадает в Каспийское море; б) Число 28 не делится на число 7; в) 6 > 3; г) 4<5; д) Все простые числа нечетны; е),/2 — рациональное число; ж)5+3=8; з) Африка — остров; и) Все слова можно разделить на слоги; к) Некоторые грибы несъедобны. 1.4.
Установите, какие из высказываний в следующих парах являются отрицаниями друг друга и какие нет (объясните почему): а) «4<5», «5<4»; б) «6 < 9», «6 >9»; в) «Треугольник АВС прямоугольный», «Треугольник АВС тупоугольный»; г) «Натуральное число и четно», «Натуральное число и нечетно»; д) «Функция 7' нечетна», «Функция 7' четна»; е) «Все простые числа нечетны», «Все простые числа четны»; ж) «Все простые числа нечетные, «Существует простое четное число»; з) «Человеку известны все виды животных, обитающих на Земле», «На Земле существует вид животных, неизвестный человеку»; и) «Существуют иррациональные числа», «Все числа — рациональные»; к) «Если и делится на 3, то и делится на 9», «Если л не делится на 3, то и не делится на 9»; л) «2<0», «2>0».
Решение. л) Высказывание «2 > 0» не является отрицанием высказывания «2 < 0», потому что требование не быть меньше 0 оставляет две возможности: быть равным 0 и быть больше О. Таким образом, отрицанием высказывания «2 < 0» является высказывание «2 >0». 1.5. Определите значения истинности следующих высказываний: а) Санкт-Петербург расположен на Неве и 2+ 3 = 5; б) 7 — простое число и 9 — простое число; в) 7 — простое число или 9 — простое число; г) Число 2 четное или зто число простое; д) 2 < 3, 2 > 3, 2 .
2 < 4, 2 . 2 > 4; е) 2 2 = 4 или белые медведи живут в Африке; ж)2 2=4, и2 2<5, и2 2>4; з) 2 — рациональное число или -5 — иррациональное число; и) Фобос и Луна — спутники Марса; к) У равнобедренного треугольника либо два, либо три угла равны между собой; л) 3 3 = 9 и 4+ 7 = 11. Р е ш е н и е. л) Оба простых высказывания, к которым применяется операция конъюнкции, истинны, поэтому на основании определения этой операции и их конъюнкция есть истинное высказывание.
1.6. Определите значения истинности высказываний А, В, С, Ю, Е, Р„6, Н, 1; 1, К, если высказывания а) — д) истинны, а высказывания е) — л) ложны: а) А л (2 2 = 4); д) -ъЕ« (2 2 = 5); и) з1 л (2 ° 2 = 4); б) Вч(2.2=5); е) Рл(2.2=4); к) -з1ч(2.2=5); в) Сч(2.2=4); ж) 6ч(2.2=5); л) Кл(2 2=4). г) -зал(2 2=4); з) Нл(2 2=5); Р е ш е н и е. л) Конъюнкция высказываний есть ложное высказывание в случае, когда по меньшей мере одно из входящих в конъюнкцию составляющих высказываний (членов конъюнкции) ложно.
В нашем случае второе составляющее высказывание «2 2 = 4» истинно, а конъюнкция двух высказываний ложна. Поэтому первое составляющее высказывание К ложно. 1.7. Сформулируйте и запишите в виде конъюнкции или дизьюнкции условие истинности каждого предложения (а, Ь вЂ” действительные числа): а) а Ь, -0; г) аЬ>0; ж)~а~>З; к) аЬ< 0; б) а Ь= О; д) )а~=3; з) а2+Ь2~0; л) а/Ь=О. в) а2+Ь2=0; е) ~а~(3; и) а/Ь~О; Р е ш е н и е. л) Дробь равна нулю лишь в том случае, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, т.е. (а = 0) л (Ь ~ 0).
1.8. Определите значения истинности высказываний А, В, С, В, Е, Р, 6, Н, 1, 1, К, если высказывания а) — д) ложны, а высказывания е) — л) истинны: а) Если 4 — четное число„то А; б) Если В, то 6 — четное число; в) Если 2. 2=4, то -~С; г) Если -з В, то 2 2 = 5; д) Если 6 — четное число, то »Е; е) Если Р, то 4 — нечетное число; ж) Если 3 2 = 6, то -т 6; з) Если -~ Н, то 2 2 = 5; и) Если 2 — четное число, то 1; к) Если 3 — четное число, то Х; л) Если 4 — четное число, то К Р е ш е н и е. л) Импликация двух высказываний есть ложное высказывание лишь в единственном случае, когда посылка истинна, а заключение ложно. В данном случае посылка «4 — четное число» истинна, и по условию все высказывание также истинно.
Поэтому заключение Кложным быть не может, т.е. высказывание К истинно. 1.9. Определите значения истинности следующих высказываний: а) Если 9 делится на 3, то 4 делится на 2; б) Если 11делится на 6, то 11 делится на 3; в) Если 15 делится на 6, то 15 делится на 3; г) Если 15 делится на 3, то 15 делится на 6; д) Если Саратов расположен на Неве, то слоны — насекомые; е) 12 делится на 6 тогда и только тогда, когда 12 делится на 3; ж) 4 > 5 тогда и только тогда, когда -4 > — 5; з) 15 делится на 6 тогда и только тогда, когда 15 делится на 3; и) 15 делится на 5 тогда и только тогда, когда 15 делится на 4; к) Если 12 делится на 6, то 12 делится на 3; л) 11 делится на 6 тогда и только тогда, когда 11 делится на 3. Р е ш е н и е. к) Так как высказывание-посылка «12 делится на 6» истинно и высказывание-следствие «12 делится на 3» истинно, то и составное высказывание по определению импликации истинно.
л) Из определения эквивалентности видим, что высказывание вида Р«» Д истинно, если логические значения высказываний Р и Д совпадают, и ложно в противном случае. В данном примере оба высказывания, к которым применяется связка «тогда и только тогда», ложны. Поэтому все составное высказывание истинно. 1.10.
Определите значения истинности высказываний А, В, С, Р, Е, Р, 6, Н, 1, У, К, если высказывания а) — д) истинны, а высказывания е) — к) ложны: а) А «+ (2 < 3); д) (2 . 2 = 4) ++ Е; з) (6 < 7) ++~Н; б) В++ (2 > 3); е) Г++ (2 < 3); и) (6 > 7) ~« -ь1; в) (6 < 7) «-» -з б; ж) б«+ (2 > 3); к) (2 2 = 4) «-» -ьХ г) (6 > 7) ++ -чЮ; 1.11.
Пусть через А обозначено высказывание «9 делится на 3», а через  — высказывание «8 делится на 3». Определите значение истинности следующих высказываний: а) А-+В; г) -~В-+А; ж) В-»-~А; к) -чА++В; б) В-+А; д) -зА-+-зВ; з) А«-»В; л) А««-зВ; в) -чА-+В; е) А-+-зВ; и) -зА+«-чВ; м)-~В-+-~А. Решение. л) Имеем Х(А) = 1, Х(В) =О. Поэтому Х(А«-»-~В) = = Х(А) «-» .зЛ(В) = 1 «« -ч0 = 1 «-» 1 = 1. м) Имеем Х(А)=1, ЦВ)=0.
Поэтому Ъ.(~ — »-зА)=-чЦВ)-+ -+ -зХ(А) = ~ 0 -+ -з1 = 1 -+ 0 = О. 1.12. Пусть через А обозначено высказывание «Этот треугольник равнобедренный», а через  — высказывание «Этот треугольник равносторонний». Прочитайте следующие высказывания: 10 ж) (-зА ч -чВ) -+ -~(А л В); з) з(Ал В)-+~А; и) -~(А л В) ~ В; к) ~Ал-~(Ач-~В); л) (Ал-зВ) — >-~~А. 11 а) -зА л -зВ; б) -з(Ач В); в) зА -» -~ В; г) (А~ В)++А; д) -з(А л В) ++ -ч В; е) В-+ (-~А ~~ В); Р е ш е н и е. л) Если треугольник равнобедренный и неравно- сторонний, то неверно, что он неравнобедренный.
1.13. Пусть через А обозначено высказывание «Это число— целое», через  — высказывание «Это число положительное», через С вЂ” высказывание «Это число простое», через 0 — «Это число делится на 3». Прочитайте следующие высказывания: а) (А ч В) -+ -~ С; ж) (А л Ю) -+ з С; б) (А л В) -+ Р; з) (А ч В) л (Сн.0); в) (А ~~ -~А) -+ (Вл С); и) -зА ч -зЮ; г) (В л -зВ) ++ (А ч 2)); к) (А л Вл С)ч .0; д) Ю++(~СлА); л) (Ал С)н(ВлЮ).
е) (Ал С)-+.0; Р е ш е н и е. л) Это число либо целое и простое, либо положительное и делящееся на 3. 1.14. Следующие составные высказывания расчлените на простые и запишите символически, введя буквенные обозначения для простых их составляющих: а) Если число делится на 2 и не делится на 3, то оно не делится на 6. б) Произведение трех чисел равно нулю тогда и только тогда, когда одно из них равно нулю.
в) Если производная функции в точке равна нулю и вторая производная этой функции в той же точке отрицательна, то данная точка есть точка локального максимума функции. г) Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна и линии их пересечения. д) Если прямая 1 перпендикулярна двум прямым а и Ь, лежащим в плоскости л (утверждение А), и прямые а и Ь не параллельны а 1' Ь (утверждение В), то прямая 1перпендикулярна всякой прямой с, лежащей в плоскости к (утверждение С).
е) Если прямая 1 перпендикулярна двум прямым а и Ь, лежащим в плоскости к (утверждение А), и неперпендикулярна некоторой прямой с, лежащей в этой же плоскости (утверждение -з С), то прямые а и Ь параллельны (а (~ Ь вЂ” утверждение -зВ). ж) Если две прямые а и Ь, лежащие в плоскости к, непараллельны а 1' Ь (утверждение В) и прямая 1 неперпендикулярна некоторой прямой с, лежащей в плоскости к (утверждение -з С), то 1неперпендикулярна одной из прямых а или Ь 1утверждение ~А). з) Если какие-либо два из трех векторов а, Ь, с коллинеарны, то их смешанное произведение равно нулю (а хЬ| с = О. и) Логарифм некоторого положительного числа будет положительным, если основание логарифма и логарифмируемое число будут больше 1 или если основание логарифма и логарифмируемое число будут заключены между 0 и 1.
к) Если в параллелограмме не все углы прямые или не все стороны равны между собой, то этот параллелограмм не прямоугольник или не ромб. л) Если в треугольнике любая его медиана не является высотой и биссектрисой, то этот треугольник не равнобедренный и не равносторонний. Р е ш е н и е. л) Выделим и следующим образом обозначим простейшие составляющие высказывания: А: «В треугольнике некоторая его медиана является высотой»; В: «В треугольнике некоторая его медиана является биссектрисой»; С: «Этот треугольник равнобедренный»; Вч «Этот треугольник равносторонний». Тогда данное высказывание символически записывается так: (зА л -~В) -+ (~ С л -зЮ). 1.15. Из трех данных высказываний А, В, С постройте такое составное высказывание, которое: а) истинно тогда и только тогда, когда все данные высказывания истинны; б) ложно тогда и только тогда, когда все данные высказывания ложны; в) истинно тогда и только тогда, когда все данные высказывания ложны; г) ложно тогда и только тогда, когда все данные высказывания истинны; д) истинно тогда и только тогда, когда истинны высказывания АиВ; е) истинно тогда и только тогда, когда ложны высказывания АиВ; ж) ложно тогда и только тогда, когда истинны высказывания АиВ; з) ложно тогда и только тогда, когда ложны высказывания АиВ; и) истинно тогда и только тогда, когда все данные высказывания либо истинны, либо ложны; к) ложно тогда и только тогда, когда все данные высказывания либо истинны, либо ложны; л) ложно тогда и только тогда, когда ложно лишь высказывание С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
