шпорка (1019098), страница 3
Текст из файла (страница 3)
- л.о. в L 0<>x
L,
- число.
(x)=
x. I)
=LA – оператор левого умножения. L=Rn, A- nxn; L Э x, LA(x)=Ax; LA(x)=Ax=
x; Ax=
x; Ax-
Ex=0; (1) (A-
E)X2=0 однородная система уравнений. Согласно следствию 1 из ответа на спец вопрос №2 (Произвольная однородная система уравнений имеет ненулевое решение когда ранг матрицы коэффициентов строго меньше количества неизвестных (rA<n)(при этом ранг матрицы коэффициентов остается неизменным.) Док-во: Приведем систему к примитивному виду. Очевидно система имеет ненулевое решение, когда есть хотя бы одна свободная неизвестная n>k. Следствие №1: Если в однородной системе количество уравнений строго меньше количества неизвестных, то она автоматически имеет ненулевое решение. Количество неизвестных = n; количество уравнений = m (m<n) Но тогда k<=m<n. Следствие №2: Квадратная однородная система (m=n) имеет ненулевое решение когда det A =0. Док-во: Не равное 0 решение
k=rA < n det A=0; ) однородная система (1) имеет <>0 решение <> (2) det(A-
E)=0 – алгебраическое уравнение n-ого порядка относительно неизвестной
(характеристическое уравнение) Таким образом примененное рассуждение является док-вом следующего утверждения. Все собственные значения оператора LA являются корнями характеристического уравнения (2), а соответствующие собственные векторы являются ненулевыми решениями однородной системы (1). Развернутая запись Рис 1. II) Произвольный оператор(не левого умножения)
L, dim L =n; e1,…, en – базис в L; x=
x^=(x1/…/xn);
^ - матрица оператора
в заданном базисе;
(x)=
x; (
(x))^= (
x)^;
^x^=
x^; L
^(x^)=
x^, далее как раньше: det (
^-
E)=0; (
^-
E)=x^; x^=0^=(0/…/0).
Билет №17. Диагонализация матрицы, критерий диагонализируемости.
Пусть А – квадратная матрица. Она называется диагонализируемой, если она подобна некоторой диагональной матрице, т.е. T (detT<>0): T-1AT=B – диагональная форма. Утверждение №1) Достаточное условие диагонализации: А имеет собственный базис. Пусть Т – матрица в столбцах корой стоят векторы указанного собственного базиса, тогда B=T-1AT – диагонализируема. LA в Rn, A – nxn; Б1 – канонический базис в Rn, LA^=A; Б2 – собственный базис для А LA’=B – Диагонализируема. В=LA’ = T-1LAT= T-1AT, где Т=ТБ1->Б2, то что в условии. Замечание: Обратное утверждение (1) справедливо: если матрица диагонализируема, то она имеет собственный базис. Утверждение №2) Квадратная матрица диагонализируема когда имеет собственный базис (критерий диагонализируемости).
Билет №18 Билинейные формы, матрица Грамма, координатное выражение билинейной формы.
1) Линейная форма. Определение L, f(x) – x L; f: ->множество чисел; 1) f (x1+x2) =f(x1)+ f(x2) & 2) f(
x)=
f(x) } условие линейности
x1, x2
L и
чисел
. Координатное выражение L, dim L =n, f – линейная форма на L e1,…, en – базис в L. L=Rn Э x =(x1/x2/…/xn) a = ( a1/…/an)
Rn фикс вектор. f(x)=a1x1+…+anxn= atx . L Э x =
; x^=(x1/…/xn); f(x) = f(
)=
=
=x^ta; Теорема обратная f(x) =x^ta где a=(f(e1)/…/f(en)); Билинейные формы. Определение L,
(x,y) x,y
L; Условия билинейности 1)
(x1+x2,y) =
(x1,y1)
(x2,y2); 2)
(
x,y) =
(x,y); 3)
(x,y1+y2)=
(x,y1)+
(x,y2); 4)
(x,
y)=
(x,y)
x, y, x1,y1, x2, y2
L
чисел
и
. Замечание: Об условии билинейности)1) y фиксированный
(x,y)=
y(x) – зависит только от одной переменной.
y(x) – зависит линейно от x. 2) x - фикс
(x,y)=
x(y) – зависит только от одной переменной.
x(y) – зависит линейно от y. Таким образом билинейная форма – числовое функция, зависящая от 2-х переменных и линейная по каждой из них при фиксированной другой. L = Rn Э x,y; x=(x1/…/x2), y=(y1/…/y2); A =
;
(x,y) =
A(x,y)=
=a11x1y1+a12x1y2+…+a37x3y7+…=xtAy; - Называется билинейной формой от 2х переменных с заданной матрицей коэффициентов. Проверка условий линейности 1)
A(x1+x1, y)= (x1+x2)tAy = (x1t+x2t)Ay=x1tAy+x2tAy=
A(x1,y)+
(x2,y); 2),3),4) самост. Координатное выражение для абстрактной линейной формы. L, dim L=n, e1,…, en – базис в L
- билинейная форма из L. x =
, x^= (x1/…/xn); y =
, y^=(y1/…/yn);
(x,y)=
(
,y)=
=
=
=замечание о повторном суммировании
Замечание о повторном суммировании: А=( ) S=
- сумма всех ее матричных элементов; 1)
-сумма всех сумм в столбцах; 2)
- сумма всех сумм по строкам. (1) и (2) – повторные суммы;
=
=S При повторном суммировании результат не зависит от порядка.
= =(gik=
(ei,ek))
=x^tGy^=
G(x^,y^); G=(
) – Матрица Грамма билинейной формы
в заданном базисе. Преобразование матрицы Грамма лин. формы при изменении базиса. L,
- б.ф. на L dimL =n; Б1: e1,…, en – 1й базис; G=G
- матрица Грамма билинейной формы
в 1м базисе. Б2: f1,…, fn – 2й базис; G’=G’
- матрица Грамма билинейной формы
в 2м базисе. Какова связь между G и G’? G’=TtGT, где T=TБ1->Б2 матрица перехода Б1 к Б2 (состоит из коэф. разлож. 2 базиса по 1) В столбцах матр T стоят коэф. разложения 2 базиса по 1.
Билет №19 Квадратичная форма, существование порождающей ее единственной симметричной билинейной формы.
Определение: L, f(x) x L. Квадратичная форма на L функция 1 переменной и принимающая числовое значение
билинейная форма
на L, т.е. f(x) =
(x,x)
x
L
- порождает f; L = Rn Э x = (x1/…/xn); A =
- nxn fA(x) =
;
A=
порождает fA; fА – называется квадратичной формой от n переменных с заданной матрицей коэффициентов. Замечание: в частности заменив в произведении матрицы А все симметрично расположенные матричные элементы aij и aji на (aij +aji)/2 получаем симметричную матрицу Аt =A, дающую туже квадратичную матрицу fA. Определение: L,
- билинейная форма на L симметрична
(x,y) =
(y,x)
x,y
L; Билинейная форма
симметрична ее матрица Грамма G симметрична при любом выборе базиса. fA(x) =
=xtAx Для всякой абстрактной квадратичной формы
единственная порождающая ее билинейная форма. Док-во:
f – квадратичная форма
- порождающая ее билинейная форма, т.е. f(x) =
(x,x). Ф(x,y)=0,5 (
(x,y)+
(y,x)) Тогда 1) Ф – билинейная форма на L; 2) Ф – симметрична; 3) Ф(x,x)=
(x,x)=f(x). Единственность Ф симметричной билинейной формы на L: Ф(x,y)=0,5[Ф(x+y,x+y)-Ф(x,x) – Ф(y,y)]; Ф (x+y, x+y)=Ф(x,x) +Ф (x,y)+Ф(y,x)+Ф(y,y). Ф1 и Ф2 – две билинейные формы порождают квадратичную форму Фf Ф1(x,x)=f(x) =Ф2(x,x); Ф1(x,y)=0,5[Ф1(x+y,x+y)-Ф(x,x) – Ф1(y,y)]= Ф2(x,y)=0,5[Ф2(x+y,x+y)-Ф2(x,x) – Ф2(y,y)]
x, y,
L Ф1=Ф2; Матрица Грамма с указанным базисом называется единственная порождающая симметричная билинейная форма в заданном базисе. Определение: f(x) – квадратная форма; Gt=detG
, где
- симметричная билинейная форма порождающая f;
Билет №20 Канонический вид квадратичной формы, существование канонического базиса.
Определение: L, dim L = n; f – квадратичная форма на L; e1,…, en базис L; x= ; x^=(x1/…/x2); f(x) =
=x^tGx^, где G – матрица Грамма квадратичной формы f Канонический базис det G = (
1,0,…,0/0,
2,0,…,0/0,…, 0,
n) – диагональная матрица. f(x) =
1x12+…+
nxn2 канонический вид квадратичной формы f;
1…
n – канонические коэффициенты.
Билет №21 Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью невырожденного преобразования координат.
Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Для всякой квадратичной формы на конечномерном пространстве канонический базис, т.е. такой базис в котором она приводится к каноническому виду. Замечание: L, dim L = n; f – квадратичная форма на L; Два базиса Б1: e1,…, en f(x)=
; Б2: f1,…, fn f(x)=
; G1 и G2 матриц Грамма квадратичной формы f в Б1 и Б2 соответственно; x^=(x1/…/xn) и x^’=(x’1/…/x’n) – столбцы координат векторов x в базисах Б1 и Б2 соответственно; Координаты вектора x в разных базисах (Б1 и Б2 ) связаны соотношением x^’=T-1x^ = Sx^, где S=T-1; T=TБ1->Б2; В развернутом виде x1’=S11x1+…+S1nxn; xn’ = Sn1x1+…+Snnxn; det S<>0; Следовательно fA(x)=
- квадратичная форма от n переменных с заданной симметричной матрицей коэффициентов А, тогда
невырожденное преобразование координат, приводящее данную квадратичную форму к каноническому виду. Б1 –канонический базис в Rn; Б2 –канонический базис в fA;
Билет №22 Закон инерции квадратичных форм.
количество положительных,отрицательных и нулевых коэф. в каноническом виде квадр. формы не зависит от способа приведения к канонич. Виду
Билет №23 Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.
Определение: r+ количество положительных канонических коэффициентов в каноническом виде данной квадратичной формы (положительный ранг); r- ---“---- отрицательный (отрицательный ранг); r0 ----“---- нулевых (нулевой ранг); r++r-+r0 =n =dimL. f(x)= 1x12+…+
nxn2; yi = {sqrt(xi), если
I >0; sqrt(-xi), если
I <0; xi, если xi =0; f(x)=
, где
={1; -1; 0 - Нормальный вид квадратичной формы. Определение: L, dim L = n; f – квадратичная форма на L, положительно определена (f>0) f(x)>0
x
L, x<>0; отрицательна и определена f(x) <0; положительна + отрицательна – знакоопределенная форма. Замечание: f>0 r+ =n =dimL; <0 r-=n; 2) L=Rn; fA(x)=
, где А – симметричная матрица коэффициентов главного минора. А = A =
;
1=а11;
2=/
/;
3=/
/; fA>0 все
i >0; fA<0
1<0;
2>0…;
Билет № 24 Аксиомы евклидова пространства, примеры евклидовых пространств.