шпорка (1019098), страница 2
Текст из файла (страница 2)
e1=x 
(x)=1=1e0+0e1+…+0en;
e2=x2 (x2)=2x=0e0+2e1+…+0en;
en=xn (xn)=nxn-1=0e0+0e1+…+nen-1+0en;
- (n+1)x(n+1);
Билет №10 Действия над линейными операторами, связь с действиями над их матрицами.
1)сложение операторов; 2) умножение операторов на число; 3) умножение операторов;
1) L 1, 2 – л.о. в L; 1+ 2 – линейный оператор; ( 1+ 2)(x)=dif 1(x)+ 2(x); Проверка 2х условий линейности: 1) ( 1+ 2)(x+y)= 1(x+y)+ 2(x+y)= ( 1(x)+ 2(x))+( 1(y)+ 2(y)) =( 1+ 2)(x)+ ( 1+ 2)(y); 2) ( 1+ 2)( 
x)= 1( x)+ 2( x)= 1(x)+ 2(x)= ( 1(x)+ 2(x))= ( 1+ 2)(x);
2) L, - л.о. в L, 
- число; ( )(x)=dif (x); Проверка 2х условий линейности. 1) ( )(x+y)=…=( )(x)+( )(y); 2) ( )( x)= [ (x)];
3) L, 1 и 2 – л.о. в L; 1* 2: ( 1 2)(x)= 1( 2(x)); Фактически 1* 2= 10 2 композиция; 1 и 2 – лин. опер. в L. Док-во: Проверка 2х условий линейности ( 1 2)(x+y)= 1( 2(x+y))= 1( 2(x)+ 2(y))= 1( 2(x))+ 1( 2(y))= ( 1 2)(x)+ ( 1 2)(y); Следствие: 1) ( 1+ 2)(x)=def 1(x)+ 2(x); Умножение на число ( )(x)=def (x); Умножение: ( 1 2)(x)=def ( 1( 2)(x)); 2) ( 1+ 2)^= 1^+ 2^; ( )= ^;( 1 2)^= 1^ 2^;
Билет №11 Ядро и образ, ранг и дефект линейного оператора, теоремы о ранге.
- л. о. в L. Ядро ker ={x 
L: (x)=0} Образ : I~ ={y L: y= (x), при некотором x L}Ядро и образ линейного оператора всегда подраст. Док-во: ker : 1) x1, x2 ker => (x1)=0, (x2)=0 => (x1+x2)= (x1)+ (x2)=0+0=0 => x1+x2 ker ; 2) x ker , - число => ( x)= (x)(=0)= 0=0 => x ker . Im : 1) y1,y2 Im => y1= (x1), y2= (x2) при некоторых x1 и x2 L => y1+y2 = (x1)+ (x2)= (x1+x2) => y1+y2 Im ; 2) y Im , - число y= (x) при некотором x L => y= (x)= ( x) => y Im ; Определение: Ранг оператора r( )=defdim Im ; Дефект оператора d( )=defdim (ker ); 1 Теорема о ранге: Для любого линейного оператора действующего в конечномерном пространстве L сумма его ранга и дефекта равна размерности этого пространства. , L dim L =n < 
; r( )+d( )=dim L ; Док-во: - л. о. в L, dim L = n; Обозначим L1=ker , L2=Im , d( )=dim L1=k<=n; Выберем в L1 , базис в L: e1,…, ek, ek+1, …, en; Обозначим fk+1= (ek+1), fk+2= (ek+2),…, fn= (en); Очевидно все fi, i=k+1,…, n(всего n-k) L2. Тогда r( ) – dim L2 =n-k и r( )+d( )=k + (n-k)=n= dim L, т.е. все будет доказано. 1) fk+1,…, fn –? л.н.с.; k+1fk+1+…+ nfn=0; k+1 (ek+1)+…+ n (en)=0; ( k+1ek+1+…+ nen)=0; Следовательно k+1ek+1+…+ nen ker = L1; k+1ek+1+…+ nen= 1e1+…+ kek; 1e1+…+ nen - k+1ek+1-…- nen=0; Следовательно 1=…= k= - k+1=…=- n=0, в частности k+1=…= n=0. fk+1,…, fn -? Полна в L2. x= 1e1 +…+ kek+ k+1ek+1+…+ nen; y= k+1fk+1+… + nfn => f1,…, fn (полна по определению); 2 Теорема о ранге: Ранг линейного оператора равен рангу его матрицы при любом выборе базиса. r( )=r Док-во: - линейный оператор в L, dim L=n. Im = {y L: y = (x) при нек x L} выберем в L какой-нибудь базис: e1,…, en ; y Im L => y^= (x)^= ^x^= 
(x1/x2/…/xn)= (a11x1+…+a1nxn/a21x1+…+a2nxn/…/an1x1+…+annxn)=x1(a11/a21/…/an1)+…+xn(a1n/a2n/…/ann) (все произвольная линейная комбинация столбцов матр ^) Следовательно Im при которых реализации совпадает с линейной оболочкой системы столбцов матрицы ^(?) Но тогда r( )=dim Im = dim (линейной оболочки)=Теорема о базисе и размере линейной оболочки r( )
Билет №12 Обратное отображение, обратный оператор, критерий обратимости.
X : x x; x 
x; 1: x
x (композиция); 2: x x; 1o 2 ( 1o 2)(x)= 1( 2(x)); ( 1o 2)<> 2o 1; Тождественное отображение: i: x x; i(x)=x, 
x X. Обратное отображение : x x; x Э x y X; x Э x
y X; 1) y X 
x X : y= (x) & 2) (x1)= (x2) => x1=x2 } условие взаимной однозначности (В.О.) биекции. -1изм выполняются усл. В. О. (x)=y def x= -1 (y); : x x; X Э x f y X; X Э x 
y X; 1) y x : (x)=y; 2) (x1)= (x2) => x1=x2; y= (x) def x= -1(y) ; Замечание: : x x и -1 – существует -1o = i – точно отображает o -1=i; 1) - л. о. в L -1 - существует, тогда -1 – л. о. в L. Док-во: 1) -1(y1+y2) =? -1(y1) + -1(y2); -1(y1)= x1 => (x1)=y1 & -1(y2)= x2 => (x2)=y2 } => (y1+y2)= (y1)+ (y2)=y1+y2=> -1(y1+y2)= -1(y1)+ -1(y2); 2) -1( y)=? -1(y); -1(y)=x => (x)=y; ( x)= (x)= (y)=> -1( x)= x= -1(y); Критерий обратного оператора. - л.о. в L, dim L=n; Тогда для усл. взаимной однозначности 1 и 2 эквивалентны и кроме того они эквивалентны каждому из 5 условий 3) ker =(0); 3’) d( )=0; 4) Im =L; 4’) r( )=n; 5) матрица ^ оператора невырождена. Док-во: 1) y L x L: (x)=y; 2) (x1)= (x2) => x1=x2; Очевидно 3~3’; 4~4’; 1~4; 3~4’ см. 1 т. о ранге. Докажем, что 3~2; 3=>2; 2=>3 Пусть выполнено 3, тогда (x1)= (x2) => 0= (x1)- (x2) = (x1-x2) => x1-x2 ker =(0) => x1=x2; Пусть выполнено 2, тогда если (x) =0 => (x) =0 = (0) => x=0=> ker =(0); 5~?4 : ^ - невырождена r ^ =n =>2 теорема о ранге r( )=n – выполнено усл. 4’; Матрица обратного оператора. ( -1)^= ( ^)-1. Док-во: - л. о. в L, dim L = n; -1 - * -1=i; Итак ^* ^-1=E => ( -1)^=( ^)-1;
Билет №13 Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса
- л. о. в L, dimL =n; e1,…, en – базис в L ^ - матрица оператора в заданном базисе. Основное определение: (ei) =
i=1,2,.., n. Итак, ^*( -1)^=E => ( ^)-1=( ^)-1; f1,…, fk – 2ой базис в L; ^’ – матрица во 2м базисе; (fi)= 
. Какова связь между ^ и ^’? ^’=T-1 ^ T, где Т – матрица перехода от 1ого базиса Б1: e1,…, en ко 2му Б2: f1,…, fk Основное определяющее равенство для матрицы перехода: fi= 
i=1,2,…,n; T=TБ1->Б2;
Билет №14 Матричное подобие
Определение А и В nxn; A подобна В А~B, если Т – nxn, detT<>0: B=T-1AT; 1) A~B => B~A; Док-во: А~B => T: B=T-1AT => TBT-1=T(T-1AT)T-1 = (TT-1(=E))A(TT-1(=E))=A; A=TBT-1=S-1BS => B~A, где S=T-1; Замечание: Mnxn; T: Mnxn -> Mnxn; T – nxn; det T<>0; Mnxn Э x T T(x)=T-1XT; T - линейный оператор в пространстве Mnxn причем T – обратим и -1Т= Т-1; 1) A~B => B~A; 2) A~B, B~C=> A~C; Док-во: А~B => T1: B=T1-1AT1; B~C => T2: C =T2-1 BT2 следовательно С=T2-1(T1-1AT1)T2=(T2-1T1-1)A(T1T2) = (T1T2)-1A(T1T2)=> A~C; 3) A~B=> det A = det B; Док-во: A~B => T: B=T-1AT => det B=det (T-1AT)=det(T-1)detAdetT=1/(detT)deft detT=detA; Замечание: обратное утверждение не верно. 4) Критерий подобия: 2 квадратные матрицы одного и того же размера являются подобными когда они являются матрицами одного и того же оператора в разных базисах.
Билет №15 Собственный вектор линейного оператора, линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям, диагональный оператор, достаточное условие.
- линейный оператор; L – линейное пространство. Определение: Вектор x L, x<>0 называется собственным вектором линейного оператора , отвечающий собственному значению , если (x)= x. Пусть y=cx – собственный вектор линейного оператора , отвечающий собственным значениям ; (y) = (cx)=c (x)=c x= (cx)= y. Как искать собственный вектор и собственное значение? (x) = x => ^X= X; X=(x1/x2/…/xn) ; ^ = EX; ( ^- E)X=0; однородная система уравнений относительно X=(x1/x2/…/xn); нетривиальные решения det ( ^- E)=0 (характеристическое уравнение) ; 1) Пусть L – линейное пространство, - л.о. S – базис в L ^ - матрица оператора в этом базисе, тогда собственные значения оператора совпадают с вещественными корнями характеристического уравнения det ( ^- E)=0; 2) Отвечающие им собственные векторы имеют в базисе S координаты, являющиеся независимыми решениями системы. ( ^- E)X=0; Определение: Собственным базисом л.о. называется базис из собственных векторов этого оператора. Определение: Линейный оператор называется оператором простого типа, если из его собственных векторов можно построить базис в L. Теорема: Пусть - л.о. в L, S = {e1,…, en} – базис в L; ^ - матрица оператора в базисе S, тогда ^ диагональная S – собственный базис. Док-во: S – собственный базис (еi)= iei ^=( 1,0,…,0/0, 2,0,…,0/0,…, 0, n); Собственные вектора отвечающие различным собственным значениям линейно независимы. Док-во: Пусть (x1)= x1, (x2)= x2, 1<> 2; Пусть 1x1+ 2x2=0(*) Подействуем на (*). [ 1 1x1+ 2 2x2=0]- [ 1 1x1+ 2 1x2=0(домножили (*) на 1)]= 2( 2 - 1)(<>0)x2(<>0)=0 => 2 = 0; Аналогично домножим на 2, получаем 1=0; т.е. (*) выполняется только при 1= 2=0; x1 и x2 – линейно независимы. Пусть л.о. , действует в л.п. L, dimL=n имеет n различных собственных значений, тогда отвечающие ми собственные векторы образуют базис в L. Определение: Оператор простого типа. - л.о. L, dim L = n; -оператор простого типа det базис пространства L состоящий из собственных векторов оператора . Таким образом - оператор простого типа, если базис e1,…, en в L (ei)= iei, i=1,2,…,n. Матрица оператора простого типа в собственном базисе диагональная. L, - л.о. e1,…, en собственный базис для (ei)= iei, ^=( 1,0,…,0/0, 2,0,…,0/0,…, 0, n) – диагональный оператор. Достаточность - л.о., L, dim L = n; n различных собственных значений. Док-во: 1, 2,… n – n различных собственных значений ; e1,…, en соответствующие собственные векторы. Из опред. о линейной независимости собств. векторов следует, что e1,…, en – л.н.с. =>dimL=n max л.н.с. => базис=> имеет собственный базис в L.
Билет №16 Нахождение собственных векторов, характеристическое уравнение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
