Линейные Операторы (1018655), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Решение:

Линейность оператора следует из линейности матричных операций умножения на скаляр, транспонирования и умножения на матрицу.

Если в каноническом базисе пространства М₂₂

то

т.е. матрица данного оператора в каноническом базисе имеет вид:

Находим ядро данного оператора:

Для получения базиса образа данного линейного оператора находим:

Полученные векторы линейно независимы:

и могут быть выбраны в качестве базиса образа данного оператора, т.е.

Данный оператор имеет ненулевое ядро, следовательно, он необратим.

3.17. Оператор А действует на матрицы второго порядка по правилу , где . Показать, что А – линейный оператор. Составить его матрицу в каноническом базисе. Найти ядро и образ оператора. Существует ли обратный оператор?

Решение:

Линейность оператора следует из линейности матричных операций умножения на скаляр, транспонирования и умножения на матрицу.

Если в каноническом базисе пространства М₂₂

то

т.е. матрица данного оператора в каноническом базисе имеет вид:

Поскольку detA=-34≠0, то KerA=0, ImA=M₂₂.

Данный оператор имеет нулевое ядро, следовательно, он обратим.

3.18. В пространстве Р₂ многочленов степени не выше 2 оператор А действует по правилу . Показать линейность оператора. Найти его матрицу в каноническом базисе. Найти образ многочлена . Найти ядро и образ оператора. Существует ли обратный оператор?

Решение:

Проверяем линейность оператора:

Свойства линейности выполнены – оператор линеен.

Если в базисе пространства P₂

то

т.е. матрица данного оператора в базисе имеет вид:

Для данного многочлена получаем:

Находим ядро оператора:

Образ оператора находим как дополнение ядра до всего пространства L, для этого выбираем базисные векторы с нулями в тех координатах, которые отличны от нуля в уже выбранном векторе (1;0;0): .

Данный оператор имеет ненулевое ядро, следовательно, он необратим.

3.19. В пространстве Р₃ многочленов степени не выше 3 оператор А действует по правилу . Показать линейность оператора. Найти его матрицу в каноническом базисе. Найти ядро и образ оператора. Существует ли обратный оператор?

Решение:

Проверяем линейность оператора:

Свойства линейности выполнены – оператор линеен.

Если в базисе пространства P₃

то

т.е. матрица данного оператора в базисе имеет вид:

Находим ядро оператора:

Образ оператора находим как дополнение ядра до всего пространства L, для этого выбираем базисные векторы с нулями в тех координатах, которые отличны от нуля в уже выбранном векторе (0;0;0;1): .

Данный оператор имеет ненулевое ядро, следовательно, он необратим.

3.20. В пространстве Р₂ многочленов степени не выше 2 оператор А действует по правилу . Показать линейность оператора. Найти его матрицу в каноническом базисе и в базисе .

Решение:

Проверяем линейность оператора:

Свойства линейности выполнены – оператор линеен.

Если в базисе пространства P₂

то

т.е. матрица данного оператора в каноническом базисе имеет вид:

Матрица перехода от базиса к базису имеет вид:

следовательно, матрица данного оператора в базисе S имеет вид:

3.21. Показать, что оператор А, действующий на функции f(t) по правилу , является линейным оператором в пространстве функций . Найти матрицу оператора в каком-нибудь базисе пространства. Обратим ли оператор? Найти ядро и образ оператора.

Решение:

Проверяем линейность оператора:

Свойства линейности выполнены – оператор линеен.

Если в базисе пространства L

то

т.е. матрица данного оператора в базисе имеет вид:

При этом detA=0, следовательно, данный оператор необратим.

Находим ядро оператора:

Образ оператора находим как дополнение ядра до всего пространства L, для этого выбираем базисные векторы с нулями в тех координатах, которые отличны от нуля в уже выбранном векторе (-1;1;0):

3.22. Показать, что оператор дифференцирования является линейным оператором в пространстве функций . Найти матрицу оператора в каком-нибудь базисе пространства. Существует ли обратный оператор? Найти ядро и образ оператора.

Решение:

Если то

т.е. и матрица оператора в базисе имеет вид:

Поскольку detA=0, то данный оператор не имеет обратного.

Находим ядро данного оператора:

т.е. KerA = L{(0;0;1)} =

Отсюда получаем образ данного оператора как дополнения ядра до полного пространства L, для этого выбираем базисные векторы с нулями в тех координатах, которые отличны от нуля в уже выбранном векторе (0;0;1):

ImA = L{(1;0;0).(0;1;0)} =

3.23. Показать, что оператор сдвига является линейным оператором в пространстве функций . Найти матрицу оператора в каком-нибудь базисе пространства. Существует ли обратный оператор? Найти ядро и образ оператора.

Решение:

Данный оператор линеен, поскольку выполнены свойства

Если , то

т.е. и матрица оператора в базисе имеет вид:

Поскольку detA≠0, то данный оператор имеет обратный.

Находим ядро данного оператора:

т.е. KerA = 0 и поэтому ImA = L.

3.24. Линейный оператор А в пространстве V₃ имеет в базисе матрицу . Найти собственные значения и собственные векторы оператора А, показать, что это оператор простого типа.

Решение:

Матрица линейного оператора из задачи 3.24 в базисе имеет вид:

Находим собственные значения и собственные векторы матрицы:

Для

Для

Т.е. собственному значению соответствуют два собственных вектора собственному значению - один собственный вектор .

По определению, линейный оператор называется оператором простого типа (или простым оператором), если из собственных векторов этого оператора можно составить базис линейного пространства. Собственные векторы данного оператора образуют базис пространства V₃, следовательно, это оператор простого типа.

3.25. В пространстве V₃ оператор линейный оператор А – зеркальное отражение относительно плоскости YOZ. Найти собственные значения и собственные векторы оператора А.

Решение:

Зеркальное отражение относительно плоскости YOZ в пространстве V₃ переводит точку с координатами (a;b;c) в точку с координатами (-a;b;c), т.е. матрица данного оператора имеет вид:

Находим собственные значения и собственные векторы матрицы оператора:

Для

Для

Получаем два собственных значения , первому соответствует один собственный вектор , второму - два собственных вектора: .

3.26. В пространстве V₃ оператор линейный оператор А – проекция на ось OY. Найти собственные значения и собственные векторы оператора А.

Решение:

Проекция на ось OY в пространстве V₃ переводит точку с координатами (a;b;c) в точку с координатами (0;b;0), т.е. матрица данного оператора имеет вид:

Находим собственные значения и собственные векторы матрицы оператора:

Для

Для

Получаем два собственных значения , первому соответствуют два собственных вектора: , второму – один собственный вектор .

3.27. Линейный оператор А – проекция на ось . Найти собственные значения и собственные векторы оператора А.

Решение:

Проекция на ось переводит точку с координатами (a;b) в точку с координатами (a-b;b-a):

т.е. матрица данного оператора имеет вид:

Находим собственные значения и собственные векторы матрицы оператора:

Для

Получаем единственное собственное значение , которому соответствует один собственный вектор: .

3.28. В пространстве V₃ оператор действует по правилу , где . Найти собственные значения и собственные векторы оператора А.

Решение:

Если , то

т.е. матрица данного оператора имеет вид:

Находим собственные значения и собственные векторы матрицы оператора:

Для

Для

Получаем два собственных значения , первому соответствуют два собственных вектора: , второму – один собственный вектор .

3.29. В каноническом базисе пространства R³ оператор А действует по правилу . Найти собственные значения и собственные векторы оператора А.

Решение:

Матрица данного оператора в каноническом базисе имеет вид:

Находим собственные значения и собственные векторы матрицы оператора:

Для

Для

Получаем два собственных значения , которым соответствуют собственные вектора: .

3.30. Найти

Решение:

Находим собственные значения и собственные векторы матрицы оператора:

Для

Для

Отсюда получаем представление данной матрицы в виде

Тогда

=

3.31. Линейный оператор А в каноническом базисе пространства Р₂ многочленов степени не выше 2 имеет матрицу . Найти собственные значения и собственные векторы оператора А. Является ли оператор оператором простого типа?

Решение:

Находим собственные значения и собственные векторы матрицы оператора:

Для

Получаем единственное собственное значение , которому соответствуют два собственных вектора: .

По определению, линейный оператор называется оператором простого типа (или простым оператором), если из собственных векторов этого оператора можно составить базис линейного пространства. Данный оператор имеет всего два собственных вектора, размерность пространства Р₂ равна 3, следовательно, данный оператор не является оператором простого типа.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)