sborka (1018232)
Текст из файла
РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ЛАЗЕРНОЙ СБОРКИПостановка задачи и основные уравненияСхема лазерной сборки изображена на рис. 1. Для простоты будем учитыватьзависимость величин только от времени t и от координаты x вдоль сборки. Процессы в каждом из лазеров будем описывать феноменологическими скоростнымиуравнениями, обобщенными так, чтобы включать зависимость от координатыσn → ←∂n= W (N − n) −(I + I ) − n/τ,∂tω→→→→1 ∂I∂I= σnI −− κI ,c ∂t∂x←←←←1 ∂I∂I= σnI +− κI .c ∂t∂xВ этих уравнениях n обозначает число возбужденных атомов, N — общее числоатомов, W — накачку,σ — сечение вынужденного излучения, ω — частоту излу→←чения лазера, I и I — интенсивности излучения, распространяющегося направои налево в лазере, τ — время жизни возбужденного атома, κ — коэффициент затухания, c — скорость света.
Во избежание неоднозначной трактовки приведемразмерности всех величин: [n, N ] = [1/м3 ], [W ] = [1/с], [σ] = [м2 ], [I] = [Вт/м2 ],[κ] = [1/м], [τ ] = [с], [c] = [м/с].В дальнейшем нам удобно будет пользоваться обезразмеренными уравнениями.Безразмерные (тильдованные) переменные вводятся по формуламt = t̃/(σcN ),n = ñN,W = W̃ σcN,x = x̃/(σN ),˜I = IωcN,1/τ = γ̃σcN,κ = κ̃σN.Обезразмеренные уравнения имеют вид (тильд не пишем)(1)(2)(3)→←∂n= W (1 − n) − n(I + I ) − γn,∂t→→→→∂I∂I= nI −− κI ,∂t∂x←←←←∂I∂I= nI +− κI .∂t∂xГраничные условия на стыке двух элементов сборки должны учитывать возможные отражение, преломление, выход части излучения наружу и потери излучения1Typeset by AMS-TEX2РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ЛАЗЕРНОЙ СБОРКИвне активной зоны лазера. Мы будем использовать наиболее общие линейные условия←→→←←→←←→→J = J R + I T,(4)I = I R + J T.Здесь I и J→обозначаютинтенсивности излучения справа и слева от границы.← → ←Параметры R, R, T , T имеют очевидный смысл коэффициентов отраженияипре→→ломления.Из физических соображений на них нужно наложить условия R + T 1,←←R + T 1.На правом торце сборки отсутствует падающая справа волна, а на левом—←→падающаяслева.
Граничные условия упрощаяются и принимают вид J = JR→←и I = I R соответственно (R 1). Конечно, можно было бы задать различныекоэффициенты отражения и преломления на разных границах, но мы не будемэтого делать.Некоторые свойства уравненийУравнения и граничные условия нужно еще дополнить начальными условиями.Поскольку уравнения первого порядка по времени, нужно задать начальные значения концентрации n и интенсивностей I. Будем называть начальные условияфизическими, если 0 n 1, I 0. Первый вопрос, который возникает: будетли решение с физическими начальными условиями и дальше физическим? Ответлегко дать, когда нет границ.
Заметим, что уравнения для I — это линейныеуравнения в частных производных первого порядка, которые решаются методомхарактеристик. Характеристики уравнения (2) — это линии t − x = const, а характеристики уравнения (3) — линии t + x = const. Решения имеют вид→→I (M ) = I (P ) exp(n − κ)dt ,PM←←I (M ) = I (Q) exp(n − κ)dt .QMЯсно, что I всегда того же знака, что и начальные условия, так что остаются физическими. Глядя на уравнение (1) видим, что при положительных I концентрациятакже остается физической.→Пусть теперь имеется граница.
Что можно сказать об интенсивности I в точке B? Проведем характеристику t − x = const до пересечения с границей. Точкупересечения обозначим через C и проведем от нее характеристики t + x = const иt − x = const (справа и слева от границы). Будем, как и ранее, обозначать интен→←J>0,I > 0.сивности слева от границы черезJ.Мыужезнаем,чтовточкеC→←←→→→Вспоминая граничное условие I = I R + J T , →видим, что в точке C I > 0. Пользуясьформулой (4) заключаем, что и в точке B I > 0. Итак, если начальные условияфизические, то решение уравнений (1)–(3) всегда остается физическим.Уравнения (1)–(3) имеют один дефект.
Если в начальный момент времени I = 0,то I = 0 всегда. Это связано с тем, что мы пренебрегли спонтанным излучением (его можно учесть, вводя в уравнения для I члены n/2M , где M — полноечисло атомов в лазере). Ниже мы увидим, что по этой причине предел I → 0 встационарных уравнениях получается не совсем тривиальным.РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ЛАЗЕРНОЙ СБОРКИ3Очень интересно было бы исследовать поведение решения уравнений (1)–(3) приt → ∞ (разумеется при не зависящей от времени накачке). Есть ли стационарныережимы и сколько их? Как в фазовом пространстве выглядят области притяженияэтих стационарных режимов? Возможны ли решения, не выходящие на стационар?К сожалению, нам не удалось решить этих вопросов. В дальнейшем будем предполагать, что стационарный режим существует, что он только один, и что решениепри любых начальных условиях выходит на этот стационарный режим.Стационарный режимУравнения для стационарного режима получаются, если опустить производныепо времени→←0 = W (1 − n) − n(I + I ) − γn,→(5)→∂I0 = nI −− κI ,∂x←←←∂I0 = nI +− κI .∂x→Уравнения для I имеют, как нетрудно убедиться, интеграл∂ →←I I = 0.∂xУдобно сделать подстановку→I =a ϕ(x)e,2←I =a −ϕ(x)e,2где a — постоянная.
В результате получаем систему уравнений для n и ϕ0 = W (1 − n) − an ch ϕ − γn,∂ϕ− κ,0=n−∂xкоторая сводится к одному уравнению для ϕW∂ϕ=− κ.∂xW + γ + a ch ϕГраничные условия связывают значения ϕ и a в двух соседних элементах сборки. Можно так переписать граничныеусловия,что в одно из них будет входить→←→←только ϕ. Для этого выразим J и J через I и I←1 → R←J = →I − →I ,TT→→←←←R→RR ←J = →I + T − → I.TT→4РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ЛАЗЕРНОЙ СБОРКИ→ ←Разделив одно на другое, получим (e2ψ = J/J)←2ψe=→←e2ϕ − R→←→(T T − RR)e2ϕ + R,или в более симметричном видеth ψ =→←→←→←→←→←→←→←→←(1 − R)(1 − R) − T T + [(1 − R)(1 + R) + T T ] th ϕ(1 + R)(1 − R) + T T + [(1 + R)(1 + R) − T T ] th ϕНа торцах сборки имеемth ϕ =.1−R.1+RЕсли накачка не зависит от x, то уравнение для ϕ решается методом разделенияпеременныхb−dϕ W1b+d − th ϕ/2√(6)x+c=− −ln ,κκ b 2 − d2b−d+ th ϕ/2b+dгде b = W − κ(W + γ), d = κa, c — постоянная интегрирования.Ставя граничные условия, можно в принципе найти постоянные a в каждомлазере сборки и зависимость ϕ(x).
По этим данным определяется мощность излучения. Практически, однако, нужно решить сложную систему трансцендентныхуравнений, свойства которой не очень понятны. По этой причине далее мы сосредоточимся на вычислении пороговой мощности накачки. Для нее удается получитьдостаточно простое алгебраическое уравнение.ПорогПоскольку мы поставили линейные граничные условия, ясно, что мощность,излучаемая с каждой границы, будет линейно выражаться через интенсивностисправа и слева на границе. Чтобы излучаемая мощность была равна нулю, нужно,чтобы интенсивности на границах равнялись нулю.
Но это означает, что равнынулю постоянные a во всех лазерах сборки, то есть интенсивность света всюду всборке равна нулю. Полагая a = 0 в формуле (6), находимx+c=W +γϕ.W − κ(W + γ)Можно предложить следующий способ решения уравнений, вытекающих из граничных условий. Введем совершенно формально интенсивности волн в каждом из→←лазеров по тем же формулам I = aeϕ(x) , I = ae−ϕ(x) , что и раньше. Обозначиминтенсивности в k-ом лазере на правой и левой его границах через Jk и Ik . Тогда(7)(8)→→←←Jk = I k y,I k = Jk y,РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ЛАЗЕРНОЙ СБОРКИ5гдеy = eL(W/(W +γ)−κ) .(9)В граничных условиях нужно только расставить индексы←(10)→→← ←Jk−1 = Jk−1 R + I k T,→(11)←←→→I k = I k R + Jk−1 T.На торцах сборки(12)←→→←Jn = Jn R,(13)I 1 = I 1 R.Мы получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю.
Равенство определителянулю и←→←→даетуравнениедля порога. Если принять порядок переменных I 1 , I 1 , J1 , J1 , . . . ,←→←→I n , I n , Jn , Jn и порядок уравнений (13), (8), (7), (10), (11), . . . (12), то матрицасистемы выглядит следующим образом R −1(14)БлокR−1−10y−10y0−1−1→R→T←T←R −1−1 0yy......yy0−10−1соответствует торцу, блок −1→R→T−1→R→T←T←R −1−1 0yy0−1−1R←T←R−1−10 — внутренней6РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ЛАЗЕРНОЙ СБОРКИгранице.
Обозначим R̃ −1∆n (R̃) = −10yy0−1−1→R→T←T←R−1−10yy......y→ ←R T→ ←T R−1Dn = −10yy......yy0−1−1→R→Ty0−1−1→R→T←T←R−1←T←R−1−10yy0−1−10yy0−1.−1 R ,−1 R Тогда, раскладывая ∆n по второй и Dn по третьей строке и дораскладывая получившиеся определители, найдем←(15)∆n (R̃) = ∆n−1 (R) − y 2 R̃Dn−1 ,→←→←→←Dn = R∆n−1 (R) − y 2 (RR − T T )Dn−1 .Вместе с начальными значениями ∆0 (R) = 1, D0 = R эти рекуррентные формулыдают возможность вычислить ∆n (R).
Уравнение для определения порога имеетвид(16)∆n (R) = 0.Очевидно, ∆n (R) является многочленом степени n от y 2 , так что уравнение (16)алгебраическое. По известному y порог определяется из соотношения (9).Попытаемся проанализировать более подробно уравнение (16). Как уравнениеотносительно y 2 оно имеет n корней в комплексной плоскости. В свете соотношения (9) нас интересуют вещественные положительные корни. Оказывается, вРАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ЛАЗЕРНОЙ СБОРКИ7интервале 0 < y 2 < 1 корней нет.
Действительно, допустим существование такогокорня. Тогда из уравнений (7), (8)→(17)→Jk < I k ,←←I k < Jk .→→←←Используя граничные условия и ограничения R + T 1, R + T 1, R 1, найдем(18)←→→←←→→←Jk−1 + I k Jk−1 + I k ,→(19)I 1 I 1,→Jn Jn .Комбинируя (17) и (18), находим←←Jk−1 + I k < I k−1 + Jk .Складывая эти неравенства для k = 2, .
. . , n, получим←→→←J1 + I n < I 1 + Jn .Учитывая (19) и (17), приходим к противоречию←→→←J1 + I n < I n + J1 .Отсутствие корней 0 < y 2 < 1 понятно из физических соображений. При условииy 2 > 1 показатель экспоненты в формуле (9) положительный. Это означает, чтоусиление превосходит потери, как и должно быть для лазерной генерации.→←→←Если RR − T T > 0, то нет корней y 2 < 0. Это очевидно из рекуррентныхформул (15) — при y 2 < 0 все ∆ и D оказываются положительными.К сожалению, не удается доказать, что уравнение (16) имеет по крайней мереодин корень y 2 > 1. Можно лишь построить пример, когда такой корень есть.Нельзя также доказать, что он единственный (если существует). Наоборот, можно показать, что, по крайней мере при малых T , уравнение (16) имеет несколькокорней y 2 > 1.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
