proj (1018223), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Свойства анизотропии такой среды описываются единичным характеристическим вектором a. В плоскости, ортогональной вектору aсреда является изотропной. Тензор Гука строится из δ-символов и векторов ai :cijkl = Aδij δkl + B(δik δjl + δil δjk )++ Cai aj ak al + D(ai aj δkl + ak al δij )++ E(ai ak δjl + aj ak δil + ai al δjk + aj al δik ).Обычно принято в качестве независимых параметров использовать компонентытензора Гука в системе координат, где a = (0, 0, 1). Введенные коэффициенты A,B, C, D, E связаны с ними равенствами:c11 = A + 2B,c12 = A,c13 = A + D,c33 = A + 2B + C + 2D + 4E,c44 = B + 4E.Тензор Грина-Кристоффеля для поперечно-изотропной среды будет следующим:Γik = δik (B + E(na)2 ) + ni nk (A + B)++ ai ak (E + C(na)2 ) + (ni ak + ai nk )(E + D)(na).Характеристическое уравнение в форме (), записанное для переменной z = B +E(na)2 − ξ, имеет вид:z(z 2 + z[A + B + E + (C + 2E + 2D)(na)2 ] + (A + B)(E + C(na)2 (1 − (na)2 )) = 0,то есть распадается на уравнения меньших степеней.
В этом случае, вообще говоря, все три корня характеристического уравнения различны. Мы не будем явновыписывать проекторы и функцию Грина в импульсном представлении, хотя этоможно без труда сделать.7. Статическая функция ГринаЗадача построения статической функции Грина для произвольных анизотропных сред уже давно вызывает определенный интерес [8]. Статическая функцияГрина определяется уравнением:cijkl ∇j ∇l Gkm (x) = −δim δ (3) (x).В импульсном представлении уравнению () будет соответствовать матричное уравнение k 2 Γ̂ = 1, решением которого в соответствии с формулой () является величина: Π̂i.Ĝ(k) = k −2ξii(Сумма берется по всем различным собственным значениям матрицы Γ̂.) Статическую функцию Грина можно также записать в формеĜ(k) = k −2 (Γ̂2 − aΓ̂ + b)/c = k −2Γ̂2 − 3Γ̂Γ̂ + 92 Γ̂2 − 32 Γ̂2 332 Γ̂+ Γ̂3 − 32 Γ̂2 Γ̂(a, b, c — коэффициенты характеристического уравнения).8А.
С. ВШИВЦЕВ, Д. В. ПЕРЕГУДОВ, А. В. ТАТАРИНЦЕВ8. ЗаключениеВ работе предложена процедура построения фурье-образа функции Грина Γ̂(ω, k)в виде суммы слагаемых, соответствующих вкладам различных волн в сплошнойсреде с любым типом анизотропии.Если предположить, что тензор cijkl в уравнении (1) может иметь поправку,нарушающую его симметрию по перестановке пар индексов (ij) и (kl), то тензорГрина—Кристоффеля Γ̂ также будет в общем случае несимметричным. Нарушение симметрии приводит к невозможности построения упругого потенциала (3) идействия (4).
Силы, приводящие к возникновению добавки, нарушающей симметрию тензора cijkl , будут непотенциальными. Линейным преобразованием тензор Γ̂может быть приведен к жордановой форме. В этом случае проекторы, соответствующие вырожденным собственным значениям не могут быть выражены в простомвиде (). Несмотря на это, удается построить полную систему проекторов и здесь(см. приложение). При этом набор векторов поляризации будет неортогональным.Наряду со слагаемыми типа () у функции Грина будут присутствовать вклады,пропорциональные (k 2 ξa − ω 2 )−n , где n > 1.Переход к координатному представлению функции Грина Ĝ(t, x) может бытьосуществлен (как это следует из результатов работы [6]) в общем случае в видедвукратного интеграла по углам ориентации единичного вектора волновой нормали n в сферической системе координат.Приложение.
Проекционные операторы дляматриц, не приводимых к диагональной форме.A. Случай единственного собственного значения. Пусть матрица Â (N ×N )имеет единственное собственное значение η. Тогда ее минимальный аннулирующий многочлен ϕ(ξ) имеет вид:ϕ(ξ) = (ξ − η)n ,1 n N.Случай n = 1 означает возможность приведения к диагональному виду, а n > 1 —к жордановой форме. Поскольку матрица Â удовлетворяет уравнению (Â−η)n = 0,то любая функция от матрицы Â записывается в видеf (Â) =∞f (k) (η)k=0k!k(Â − η) =n−1k=0f (k) (η)(Â − η)kk!B. Общий случай. Пусть теперь матрица Â имеет произвольное число собственных значений. Тогда линейное пространство всех векторов длины N распадаетсяв прямую сумму подпространств собственных и присоединенных векторов, соответствующих различным собственным значениям матрицы Â, поэтому достаточно построить проектор на какое-нибудь одно подпространство. Пусть, например,матрица Â имеет собственное значение η, соответсвующее подпространство собственных и присоединенных векторов обозначим через R.
Тогда минимальныйМЕТОД ПРОЕКЦИОННЫХ ОПЕРАТОРОВ . . .9аннулирующий многочлен Â имеет вид:ϕ(ξ) = ϕ̃(ξ)(ξ − η)n ,ϕ̃(η) = 0.Очевидно, что оператор ϕ̃(Â) отличен от нуля лишь на R. Он, однако, не является проектором на R, поскольку сдвигает векторы в нем. Ограничим ϕ̃(Â) на R,обозначив его [ϕ̃(Â)]R , тогда это будет матрица с единственным собственным значением и обратную можно записать в виде (см. п. A):[ϕ̃(Â)]−1R=n−1k=0[ϕ̃−1 ](k) (η)(Â − η)kk!Проектор Π̂R напишется теперь в виде:Π̂R = ϕ̃(Â)[ϕ̃(Â)]−1RЛюбая функция f (Â) матрицы Â будет содержать аддитивный вклад, соответствующий подпространству R, следующего типа:Π̂R f (Â)R = ϕ̃(Â)n−1k=0[ϕ̃−1 f ](k) (η)(Â − η)kk!C.
Пример. Рассмотрим случайϕ(ξ) = (ξ − λ)2 (ξ − µ).Обозначим подпространства собственных и присоединенных векторов, соответствующих собственным значениям λ и µ, через R и S. Тогдаϕ̃(x)R = x − µ,Проекторыϕ̃(x)S = (x − λ)2Â − λ1Π̂R = (Â − µ)−,λ − µ (λ − µ)2(Â − λ)2Π̂S =(µ − λ)2Конструкция типа функции Грина1−1−(Â − ξ) = (Â − µ)(λ − µ)(λ − ξ)(Â − λ)2111(Â−λ)+−+222(λ − µ) (λ − ξ) (λ − µ)(λ − ξ)(µ − λ) (µ − ξ)10А. С. ВШИВЦЕВ, Д.
В. ПЕРЕГУДОВ, А. В. ТАТАРИНЦЕВЛитература1. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория упругости (Теоретическая физика, т. 7), М.: Наука,1987.2. В. А. Магницкий, Внутреннее строение и физика Земли, М. Недра, 1965, p. 379.3. Ф. И. Федоров, Теория упругих волн в кристаллах, М. Наука, 1965, p. 386.4.
В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов, Матрицы и вычисления, М.: Наука, 1984, p. 318.5. А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры, М.: Наука, 1975, p. 400.6. А. С. Вшивцев, А. В. Татаринцев, Е. М. Чесноков, Функция Грина волнового уравнения приналичии анизотропии среды, Докл. АН 333 (1993), no. 3, 385–388..7. А. С. Вшивцев, А. В. Татаринцев, Е. М. Чесноков, Построение функции Грина волновогоуравнения при наличии анизотропии среды, в печати, Изв. АН.
Физика Земли (1994).8. И. М. Лифшиц, Л. Н. Розенцвейг, О построении тензора Грина для основного уравнениятеории упругости в случае неограниченной упруго-анизотропной среды, ЖЭТФ 17 (1947),no. 9, 783–791.Московский институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)117454, Проспект Вернадского, 78, Москва, Россия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
