Шпаргалочка по математическому анализу (1017947)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1Натуральные числа – 1,2,3,4, …., счёт предметов, указание порядкового номера. Натуральные числа также называют положительными целыми числами. Числа –1,-2, -3, …, противоположные натуральным называются отрицательными целыми числами. Число 0 тоже целое. Рациональные числа – целые и дроби (+,-) Вид М/N, где (N 0) M и N- взаимно простые целые числа. Иррациональные - √2 все вышепереч-е + бесконечные непериодич. дроби. Все эти числа – действительные. Компл. число Z1=A1+iB1; i²=-1

2 Z1±Z2=(A1±A2)+i(B1±B2)

Z1*Z2=(A1+iB1)*(A2+iB2)

Z1/Z2=(a1+ib1)(a2-ib2)/(a2+ib2)(a2-ib2)=(a1a2+b1b2)+

i(b1a2-a1b2)\a2²+b2²=(a1a2+b1b2/a2²+b2²)+i* (b1a2-

a1b2/a2²+b2²)

3 Тигонометрическая форма комплексного числа

Z=a+ib=r*cosφ+i*r*sinφ=r*(cosφ+i*sinφ)

r – модуль; φ – аргумент. b – y; a – x.

4 Zª=rª(cos Aφ+i*sin Aφ)

5 ª√Z=ª√r(cos φ+2πk/а +i *sin φ+2πk/a) k∈(1;2;3…a-1)

Все корни А-ой степени лежат на окружности r=| Z |¹\а и являются вершинами правильного А-угольника, вписанного в эту окружность.

6 Переменная вел. Х, принимающая последовательно ( с возрастанием номера n ) значения х1,х2,х3..хN называется числовой последовательностью

1,1,1,1,1…1

1,1/2,1/3…1/N

1,-1,1,-1…(-1)ª

Xn,n∈N

Число А наз. пределом последовательности Хn если для любого сколь угодно малого положит. числа E>0 найдётся такой номер N(E), что как только n>N(E) то имеет место неравенство | Xn – A | < E

lim Xn = A

n→∞

Число А есть предел последовательности Xn если для любого ε > 0 найдётся такой номер N, начиная с которого (при n>N) все члены последовательности будут заключены в ε-окрестности какой бы она узкой ни была. Вне этой окрестности может быть лишь конечное число членов этой последовательности.

7 Если последовательность Хn монотонна и ограничена, то она имеет предел (сходится).

Cвойства пределов:

если Хn=С то lim Xn=C

n→∞

пусть lim Xn=A, a lim Yn=B тогда lim (Xn±Yn)=A±B

n→∞ n→∞ lim (Xn*Yn)=A*B

lim (Xn/Yn)=A/B ; B≠0

если Xn≤Yn для n∈N то lim Xn ≤ lim Yn

n→∞ n→∞

8 Eсли Хn сходится (имеет предел) то Хn ограничена

Последовательность Xn; n∈N наз. ограниченной если существует положительное число М, что выполняется нер-во | Xn |≤M; n∈N

Если lim Xn=0, то Xn; n∈N наз. БМВ обознач (αn,βn,γn)

n→∞

Св-ва БМВ:

lim αn=0

n→∞

lim (αn±βn)=0

n→∞

lim (Xn*αn)=0; если Xn-ограничена

n→∞

В произведении БМВ можно заменять на эквивалентную БМ. В алгебраической сумме замену можно производить в том случае если не происходит сокращения БМ одного порядка с Х:

sin X ~ X eª-1 ~ a

tg X ~ X (1+x)ª ~ ax

1 – cos X ~ X²/2 arctg X ~ X

LOGe(1+X) ~ X xª-1 ~ aLNx

9 Сумма эл-тов числовой последовательности наз. числовым рядом.

Сумма n членов ряда – n частичная сумма ряда

Если при n→∞ lim Sn=S, то ряд сходящийся, S сумма ряда .

Ряд наз. сходящимся если сущ. конечный предел последовательности его частичных сумм.

Прим:

при каких q сходится и расходится ?

сходится к сумме S=a/1-q при | q |<1 и расход-ся при | q |≥1

10 Признак сравнения двух знакоположит-х рядов.

есть 2 знакполож. ряда ∑Ak,∑Bk так что 0≤Ak≤Bk k∈N

тогда если ∑Bk⇒ то ∑Ak тоже ⇒ и наооборот если меньший ряд не сходится то и больший тоже.

11 Признак Даламбера

∑Un c положительными членами сущ. lim Un+1/Un =l

n→∞

то ряд сходится если l<1 и расходится если l>1, если l=1 то вопрос о сходимости нерешён.

Признак Коши

∑An – знакополож. ряд lim ª√An=q

n→∞

q<1 – сходится ; q>1 – расходится.

12 Знакопеременный ряд а1-а2+а3-а4…+ (-1)в степ.(n-1)*An

An>0

Признак Лейбница:

Если члены ряда (знакопер) убывают а1>a2>a3>…An и

предел Аn при n→∞ =0 то ряд сходится

пример 1-1/2+1/3-1/4…+(-1)(n-1)*1/n

13 Имеет место функциональная зависимость между двумя переменными величинами х и у если задан закон y=f(x), согласно которому каждому х∈Х соответствует значение y∈Y. х-аргумент

y=kx+b – линейная ф-ия

y=ax²+bx+c – квадратичная ф-ия

Обратная ф-ия – ф-ия x=φ(y) наз. обратной ф-ией к прямой ф-ии y=f(x) если x=φ(f(x)) для всех х∈Х

Графики взаимно обратных ф-ий симметричны относительно прямой у=х.

y=Xª и y=LOGxA – примеры

14 Число B называется пределом ф-ии в f(x) при x, стремящемуся к x0 (или в точке x0) если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдётся такое положительное число δ(ε)>0 что для всех х не равных х0 и удовлетворяющих условию | x-x0 |<δ выполняется нерав-во | f(x)-B | < ε

lim f(x)=B

x→x0

Смысл состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к х0, значения ф-ии f(x) как угодно мало отличаются от числа В (по модулю)

15 lim f(x)=B

x→x0

Если B=f(x0), то ф-ия f(x) – непрерывна в точке х0.

св-ва :

lim c=c

x→x0

если f(x)=b, φ(x)=c то lim (f(x)±φ(x))=b±c

x→x0

lim (f(x)*φ(x))=b*c

x→x0

lim (f(x)/φ(x))=b/c (c≠0)

x→x0

Если f(x)≤φ(x)≤g(x) и lim f(x)=lim g(x) =b то lim φ(x)=b

x→x0 x→x0 x→x0

если при этом b=f(x0); c=φ(x0) то св-во 2 можно записать:

(Если f(x) или φ(х) непрерывны в т. х0 то в т.х0

непрерывны сумма, разность, произведение и

частное(φ(х0))≠0 этих функций

Если ф-ия непрерывна в каждой точке отрезка, то она непрерывна на этом отрезке

16 Линейная ф-ия непрерывна в любой точке А∈(-∞;+∞)

y=kx+b=f(x)

f(A)=kA+b

k≠0 ⇒ | f(x)-f(a) |<ε | kx-b-ka+b | <ε

| k (x-f) | <ε

| k |*| x-a | <ε

| x-a | < ε/| k |=δ(ε)

y=ax²+bx+c (-∞;+∞)

17 y=Bª (B>0)

Докажем, что y=Bª непрерывна на (-∞;+∞)

lim Bª=1

a→0

| Bª-1 | <ε 1) B=1

2) B>1

-ε < Bª-1 < ε 1-ε < Bª < ε+1

LOGb(1-ε)<a<LOGb(1+ε)

min {-LOGa(1-ε); LOGa(1+ε)}= δε

| x | < δε

LOGaB

18 y=cos x (-∞; +∞)

| cos x – cos a | < ε

| 2 sin (x-a)/2 + sin (x+a)/2 | < ε

2 | sin (x-a)/2 | + | sin (x+a)/2 | < ε

2 | sin (x-a)/2 | < ε

| x-a | < ε =δ(ε)

y=sin x (-∞; +∞)

y=tg x=sin x/cos x кроме x=π/2+πk

y=ctg x=cos x/sin x кроме x=πk

19 Первым замечательным пределом называется

lim sin x/x=1

x→x0

20 Второй замечательный предел

lim(1+1/a)ª=e

a→∞

Число е (число Эйлера, неперово число) играет важную роль в матанализе.

lim (1+a)¹’ª=e

a→0

21 Пусть имеется ф-ия y=f(x), определённая на (а; в), говорят что ф-ия имеет в т. х0∈(а; в) производную f ’(x0) если существует предел

lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)

x→x0

Производной ф-ии y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения ф-ии к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Ф-ия имеющая производную в каждой точке интервала называется дифференцируемой на этом интервале.

Геометрический смысл производной: пр-ая f `(x0) есть угловой коэфф. (tg угла наклона) касательной, проведённой к кривой y=f(x) в точке х0 , k=f ‘(x0)

у=f ‘(x0)(x - x0)

Механический смысл производной: пр-ая пути по времени s ‘(t0) есть скорость точки в момент t0: V(t0)=s ‘(t0)

Определение для любой точки

22 Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых ф-ий равна такой же сумме производных этих ф-ий

(u±v)`=u`± v`

Производная произведения двух дифференцируемых ф-ий равна произведению пр-ой первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на про-ую второго:

(uv)`=u`v + uv`

Постоянный множитель можно выносить за знак

производной

(cu)`=cu`

Производная произведения нескольких

дифференцируемых ф-ий равна сумме произведений

производной каждого из сомножителей на все остальные

(uvw)`=u`vw+uv`w+uvw`

23 Производная частного двух ф-ий u(x)/v(x), если v(x)≠0

равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя есть квадрат прежнего знаменателя: (u/v)`=(u`v-uv`)/v²; v≠0

(u/c)`=1/c*u`

(c/u)`=-cv`/v² c=const

24 (xª)`=axªˉ¹

25 (LNx)`=1/x

(eª)`=eª

Для дифференцируемой ф-ии с производной, не равной

0, производная обратной ф-ии равна обратной величине

производной данной ф-ии

X`y = 1/Y`x

26 (sin x)`=cos x

(cos x)`=-sin x

(tg x)`=1/cos²x

(ctg x)`=-1/sin²x

27 Если y=f(u) и u=φ(x) – дифференцируемые ф-ии от своих аргументов, то производная сложной ф-ии существует и равна производной данной ф-ии по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по незавмсимой переменной х

y`=f`(u)*u`

y=f(u(x)) Fx`=Fu`*Ux`

Пример:

y=(√x+5)³ y`=?

y=u³, где u=√x+5

по формуле : y`=3u`*u`=3(√x+5)²(√x+5)`=3(√x+5)²/2√x

28 Дифференциалом ф-ии наз. линейная часть приращения ф-ии (относительно Δх), равная произведению производной на приращение независимой переменной.

dy=f`(x)Δx

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Геометрический смысл: Дифференциал ф-ии есть приращение ординаты касательной, проведённой к графику ф-ии y=f(x) в данной точке когда х получает приращение Δх

29 При исследовании ф-ий используется следующий алгоритм:

1 ООФ, ОЗФ

2 Непрерывность ф-ии

3 Нахождение асимптот

4 Экстремумы и интервалы монотонности

5 Интервалы выпуклости и т. перегиба

6 Чётность нечётность, периодичность

7 Т. пересечения с Ох и Оу

(3)Если для некоторого х0 имеет место предел f(x)=∞ при

х→х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой

f(x)

Если предел f(x)=b при x→∞ то говорят, что у=b явл.

горизонтальной асимптотой f(x)

Если предел f(x)/х=k при x→∞ (k≠0;k≠∞) и предел

(f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й

(4)Если производная ф-ии положительна (отрицательна)

внутри некоторого промежутка Х то ф-ия возрастает

(убывает) на этом промежутке

Если при переходе через т. х0 производная

дифференцируемой ф-ии меняет свой знак и в т. х0

равна 0 то х0-точка экстремума (минимума или

максимума)

(5)Точкой перегиба непрерывной ф-ии (f``(x)=0) наз. т. в

разделяющая интервалы, в которых ф-ия выпукла вниз и

вверх.

Ф-ия y=f(x) называется выпуклой внизу на интервале

(a;b) если f``(x)>0 на (a;b); ф-ия называется выпуклой

вверх на (a;b) если f``(x)<0 на (a;b)

30 Асимптотой графика ф-ии y=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Если для некоторого х0 имеет место предел f(x)=∞ при

х→х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой

f(x). Вертикальные асимптоты следует искать в точках

разрыва ф-ии или на концах её ООФ (а; в) если аи в –

конечные числа

Если предел f(x)=b при x→∞ то говорят, что у=b явл.

горизонтальной асимптотой f(x)

Если предел f(x)/х=k при x→∞ (k≠0;k≠∞) и предел

(f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й

Наклонная асимптота как и горизонтальная может быть

правосторонней или левосторонней

31 Степенным рядом наз. ряд вида (1)∑ Bn*xª = b0+b1x+b2x²…+baxª+… это ряд в котором членами являются ф-ии, в частности степенные. Совокупность тех значений х, при которых степнной ряд сходится, называется областью сходимости степнного ряда.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)