19_Лагранж_Коши (1017939)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

5. Теорема Лагранжа (формула конечных приращении)

Если функция непрерывна на и дифференцируема на , то существует хотя бы одна точка такая, что (Это формула Лагранжа или формула конечных приращении).

Доказательство:

Построим вспомогательную функцию и параметр выберем так, чтобы удовлетворяла теореме Роля, т.е. чтобы , т.к. непрерывность и дифференцируемость функции очевидны. . Но, если удовлетворяет т. Роля, то существует точка такая, что

6. Геометрический смысл теоремы Лагранжа

Рассмотрим функцию , удовлетворяющую на отрезке условиям теоремы. Проведём стягиваюoую хорду АВ, тогда отношение , где - угол наклона этой хорды к оси .

Тогда теорема утверждает, что найдется хотя бы одна точка , в которой касательная будет иметь тот же угол наклона, что и стягивающая хорда.

Замечания:

1.Таких точек на может быть несколько, например

2. Часто бывает удобно записать формулу Лагранжа в виде отличном от приведенного. Если удовлетворяет условиям теоремы и точки и , то для отрезка будем иметь , где -некоторая точка, лежащая между и .

Задача: 1) Доказать неравенство .

Решение: Функция на удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа

, но

Д/З: Доказать: 1)

2)

7. Теорема Коши

Если на определены две функции и ,которые непрерывны на , дифференцируемы на и , тогда существует хотя бы одна точка такая, что , т.е. отношение приращений функций на отрезке равно отношению производных этих функций в специально выбранной точке внутри отрезка.

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательную функцию , содержащую параметр , который выберем так, чтобы удовлетворяла т. Ролля. Первым двум условиям этой теоремы удовлетворяет, т.к. и непрерывны и диф-мы. Потребуем выполнения 3-го условия:

.

По т. Ролля на существует хотя бы одна точка такая, что

, но , т.е.

или

8. Геометрический смысл теоремы Коши.

Рассмотрим функцию , заданную параметрически:

и удовлетворяют теореме Коши. Из т. Коши на кривой существует точка , в которой касательная параллельна на хорде соединяющей начало и конец этой кривой.

На самом деле - тангенс угла наклона касательной, т.к. это в точке . - тангенс угла наклона хорды. касательная параллельна хорде.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)