MathCad01 (1017100), страница 2
Текст из файла (страница 2)
График функции, заданной параметрически-17-16-9Иногда бывает полезно строить графики функций в полярных координатах ρ и θ, в которых:x=ρ·sinθ иy=ρ·cosθП р и м е р 1 . 5 . 3 . : П остройте график той же функции ri=cos(θi)+1, где угол θ пробегает 50 значений внутри интервала от 0до 2π (см. рис.
4). Поэкспериментируйте с возможностями форматирования этого графикаNПолярные координаты50θπ0 , 2 . .. 2 .πN12090cos ( θ )1601.5150r ( θ)r(θ)300.51800210330240270θ300Рис.4. Пример построения графика функции ri= cos(θi)+1в полярных координатах1.6. Форматирование результатаИзменить представление результата можно локальным образом, если воспользоваться функцией меню «Формат/ Результат». Для примера рассмотрим разные представления числа π·105:Определите x:= π·105 и вычислите: x=3.142·105.Вызвав соответствующее окно меню, попробуйте поменятьколичество знаков после запятой, порог экспоненциального представления числа и систему счисления.-101.7. Действия с матрицамиП р и м е р 1 . 7 .
: Пользуясь соответствующей панелью инструментов создайте вектор-столбец v, матрицу M и вычислите какэто показано на рис. 5:a) Вектор w=2*v.b) Скалярное и векторное произведения v*w, wxv.c) Обратную матрицу M-1.d) Произведение матриц M*M-1.e) Транспонированные матрицы wT и MT.f) Решите систему линейных уравнений типа M*x=v с помощьювычисления обратной матрицы.0 1 23 0 2MM2 , 0 = 55 3 1262 .vw*w=6100Суммаv = 60ОпределительM = 25Обращение0.24 0.2 0.08M1= 0.280.360.4 0.240.231014v13*5 .10v=350Скалярное и векторноеумножениеv .w = 5.356 .10v0 = 1330vw= 001 0 0M .M1= 0 1 00 0 10.12Решение системы уравнения Мх=v130.28x1M .v*x = 16.84M .x =1.92Рис.
5. Вычисления с матрицами350-11Обратите внимание на то, что задание элементов массива поумолчанию начинается с нулевого индекса (v0=13, М2,0=5). Длязадания с первого индекса следует локально применить встроенную функцию ORIGIN с аргументом 1, т.е. записать ORIGIN =1.Для этой же цели можно воспользоваться вкладкой «Установказначений» из панели «Математика»\«Параметры».1.8. Рекурсивные вычисленияВ ряде случаев бывает полезно использовать рекурсивныевычисления, т.е.
определения последующих значений дискретного аргумента через предыдущие.П р и м е р 1 . 8 . : Вычислите приближенные значения квадратного корня из числа A, воспользовавшись известным алгоритмом (рис. 6).Ввести значение числа (A),нулевое приближение корня из него(gval0)gvali =gval0Вычислить новое значение корня:gvali+1=(gvali +A/gvali)/2i=i+1Проверить, кончилосьли число шагов N ?Выдать ответРис. 6. Рекурсивные вычисления при определенииквадратного корня-12Постройте дополнительно график, показывающий, как изменяется определенное значение корня в зависимости от шагаитерации. Примерный вид результатов этой процедуры приведенна рис.7.Рекурсивные вычисления:найдём квадратный корень из числа аgval0 40N 8 i 0 .. Na 700gvali 1gvalia .1gvali 2i=012344056gvali7308gvali =4028.7526.54926.45826.45826.45826.45826.45826.45820gvali2=1.6·10 3826.563704.845700.0087007007007007000510iРис. 7. Рекурсивные вычисления для определенияквадратного корня1.9.
Определение корней уравненийСреди разных возможностей MathCad имеется также множество встроенных функций, которые можно вызвать, нажимаязначок f(.x). В открывающемся при этом окне даётся краткоеописание действия каждой вызванной функции. Рассмотрим действие некоторых функций.1.9.1. Функция "root"Эта функция позволяет определять корень уравнения. Синтаксис функции определения корня root:root(f(z),z)-13Она возвращает значение z, при котором f(z)=0Обратите внимание, что перед вычислениями обязательноследует задать начальное приближение функции. Заметим, что поумолчанию MathCad для вычисления этого корня использует метод секущих прямых.П р и м е р 1 .
9 . 1 : Воспользовавшись функцией root, найдите решения:a) Трансцендентного уравнения: ex=x3.b) Три корня уравнения: x3-10*x+2=0 (для приближенного указания корней в этом случае целесообразно сначала построитьграфик этой функции).Для ввода функции root используйте клавиатуру, либопункт главного меню “Вставка/Функция”, либо нажмите напанели инструментов f(x).
Примерный вид рабочего окна, иллюстрирующего применение функций нахождения корня, приведенна рис.8.1.9.2. Функция "роlyroots"Для определения корней полинома применяется специальная функция polyroots. Ее синтаксис предполагает, что в качествеаргумента задается вектор-столбец из коэффициентов при степенях x, начиная с нулевой степени. Функция polyroots возвращаетвектор-столбец из значений корней. Обратите внимание на то,что корни могут быть мнимыми.П р и м е р 1 .
9 . 2 . : Вычислите корни того же уравненияx3-10*x+2=0, применив функцию polyroots (см. рис.8).1.9.3. Функция "find"Функция find применяется для решения систем уравнений.Уравнения записываются в блоке, который открывается словомgiven и заканчивается словом find. Уравнения должны быть записаны внутри блока и с применением “жирного равенства”, которое набирается нажатием CTR+= или с помощью палитры «Вычисления». В функции find должны быть перечислены все неиз--14вестные системы. Заканчиваться она должна знаком Î, которыйнабирается в палитре “Вычисления”.Решение уравнения:3 axroot x3xe ,xa = 1.857Для нахождения трёх корней уравненияиспользуйте три различных приближенияx5 , 4.9 ..
5503x10 .x2050505xx2root x310 .x2 , x = 3.258x0root x310 .x2 , x = 0.201x3root x310 .x2 , x = 3.057То же, но с помощью функции poliroots2v103.2580polyroots( v) = 0.20113.057Рис.8. Примеры применения функций root и polyrootдля вычисления корней уравненийПример применения функции find показан на рис. 9. Изпримера видно, что решения приводятся в виде столбцов матрицы, причём первое неизвестное вверху, а каждый столбец – эторазные решения. Решения могут быть и комплексными.-15-givenx y 0x22y4Find( x , y)Givenx y 1x22y4Find( x , y)2222121.17221.72121.17221.72Givenxxy 2022y4Find( x , y)107 .i .
2 107 .i . 2107 .i . 2 107 .i . 2Рис. 9. Несколько примеров применения функции Find1.10. Обработка экспериментальных данныхОсновные функции обработки экспериментальных данныхсодержатся в подразделе "Regression and Smoothing". В MathCadвстроено несколько функций, позволяющих проводить наиболеераспространенные статистические расчеты с данными, представленными векторами их значений. Для сглаживания массива экспериментальных точек, имеющих разброс из-за ошибок измерения, наиболее часто применяется метод наименьших квадратов.Суть этого метода заключается в том, что из всех возможныхзначений параметров сглаживающей линии (прямой, экспоненты,полинома n-ой степени), выбираются те, которые обеспечиваютминимум функции, представляющей собой сумму квадратов отклонений между экспериментальными значениями и точками аппроксимирующей линии.-16Простейший случай подгонки прямой линии к экспериментальным данным иллюстрируется рис.
10.П р и м е р 1.10.1.: Пусть имеются экспериментальные данные,представленные двумя векторами Х – независимая переменная, иY – зависимая переменная, имеющая также случайную погрешность. Известно, что зависимость Y(X) линейная. Следует методом наименьших квадратов подогнать к этим данным прямую.Проведение прямой методом наименьшихквадратовT( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 )X XT( 0 3 2 5 4 7 5 10 7 13 )Y YXYaslope( X , Y )a = 1.139r ( x) a .xbintercept( X , Y )b = 0.667b1510Yr ( x)5050246810X ,xРис. 10. Сглаживание (регрессия) массива точек прямойметодом наименьших квадратов-17Введём исходные данные в виде векторов Х и Y.
Затем вызовем функцию slope(X,Y) , где Х – независимая переменная, онадолжна быть представлена вектор-столбцом (поэтому если мыпредставили её строкой, то необходимо транспонирование), Y –вектор-столбец зависимой переменной, которая содержит ошибкуизмерения. Функция slope определяет наклон прямой линии, наиболее близко проходящей к точкам массива (X,Y).Теперь вызовем функцию intercept(X,Y), которая по этим жеданным определяет, где находится пересечение наилучшей прямой с осью Y.Поскольку наклон и отсечка на оси Y известны, мы можемнаписать уравнение прямой: r(x)=a·x+bТеперь можем построить два графика вместе, чтобы увидеть, как наилучшая прямая проходит по данным экспериментальным точкам.Обобщением линейной регрессии является заложенная всистему MathCad также возможность выполнения линейной регрессии общего вида, когда заданная совокупность точек приближается функцией вида:F(x,K1,K2…Kn)=K1·F1(x)+K2·F2(x)+…+Kn·Fn(x)Причем, сами функции Fi(x) могут быть нелинейными.
Дляреализации линейной регрессии общего вида используется функция linfit(VX,VY,F), которая возвращает вектор коэффициентовлинейной регрессии общего вида K. Вектор F должен при этомсодержать функции Fi(x), записанные в символьном виде (см.п. 1.12 настоящего раздела).Если известно, что функциональная зависимость между экспериментальными данными является полиномом или носит экспоненциальный характер, следует воспользоваться соответствующими функциями регрессии из раздела "Regression andSmoothing".Функция Regress зависит от трёх параметров: векторастолбца независимых переменных, вектора-столбца зависимыхпеременных и скаляра, определяющего степень кривой подгонки.Сама функция Regress является вектор-столбцом, причём первые-18три элемента служебные, а остальные – коэффициенты при членах полинома, начиная с нулевой степени.П р и м е р 1.10.2.: К экспериментальным данным Х, Y подогнатькривую второго порядка (рис.
11).X( 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 )Y( 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 20 22 30 40 60 )XVTXYTYregress ( X , Y , 2 )V = ( 3 3 2 5.1060 , 0.01 .. 15xVTV3.484 0.489 )60Y2.489 .x403.484 .x5.106200051015X ,xРис. 11. Регрессия полиномом второй степениП р и м е р 1.10.3.: К экспериментальным данным Х, Y подогнатькривые третьего порядка (рис. 12).Довольно часто для сглаживания экспериментальных точекприходится пользоваться не линией, а подходящей кривой. Дляэтого используют специальные встроенные функции сглаживания данных medsmooth, ksmooth и supsmooth.Кроме функций подгонки и сглаживания экспериментальных данных, в систему MathCad встроено также большое число-19статистических функций, позволяющих обрабатывать данные измерений.X( 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 )Y(1 1 2 2 3 4 5 7 7 8 7 6 6 5 3 )TTXY Yx 0 , 0.01 ..
15XVregress( X , Y , 3 )y( x)V3V4 .xV5 .x2V6 .x3108Yy ( x)6420051015X ,xРис. 12. Регрессия кривой третьего порядкаВ частности, это функции распределения вероятности (вычисления которых позволяют определить вероятность того, чтослучайная величина будет иметь значения, меньшие или равныезаданной величине аргумента), функции плотности распределения, а также обращения (квантили) функций распределения случайных величин (позволяют по заданной вероятности вычислитьтакое значение аргумента, при котором вероятность равна илименьше заданного значения).Следует также знать, MathCad дает возможность получитьпсевдослучайные числа, распределенные равномерно на отрезке-20[0,1] (функция rnd(x)) и векторы m с определенными законамираспределения значений их элементов (rbeta(m, s1, s2), rbinom(m,n, p), rnorm(m, mx, σ) и др.).1.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
