Типовой расчет №1 (Алгебра и геометрия), 05 вариант (1016629)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ВАРИАНТ 5ЗАДАНИЕ № 1Поверхность второго порядка задана уравнением  : x2  ( y  1)2  2z 2  4в прямоугольной системе координат.1) Определить тип поверхности  .2) Изобразить поверхность  .3) Нарисовать сечения поверхности координатными плоскостями.Найти фокусы и асимптоты полученных кривых.4) Определить по одну или по разные стороны от поверхности лежатточки M1 (0, 0, 2) и M 2 (0,1, 2) .5) Определить, сколько точек пересечения с поверхностью  имеетпрямая, проходящая через точки M1 и M 2 .Решениеx 2 ( y  1)2 z 21)  : x  ( y  1)  2 z  4    1.442222Это эллипсоид, где a  2, b  2, c  2 .Центр имеет координаты (0,-1,0).2) Изображение поверхности:3) Изображение сечений координатными плоскостями: Сечением плоскостью Оxz получаем фигуру x 2  2 z 2  3 .1Канонический вид:полуосямиa 3 и b 6x2 z 2 1 - это эллипс в плоскости Оxz с3 322 ицентром(0,0,0).Координатыфокусов:6; 0; 0  .

Асимптот у эллипса нет.  2 Сечением плоскостью Oyz получаем фигуру ( y  1)2  2z 2  4 .( y  1)2 z 2Канонический вид:  1 - это эллипс в плоскости Оyz с42полуосями a  2 и b  2 и центром (0,-1,0). Координаты фокусов:  0;  2;0  .Асимптот у эллипса нет. Сечением плоскостью Oxy получаем фигуру x2  ( y  1)2  4 .2Канонический вид:x 2 ( y  1)2 1 - это эллипс в плоскости Оxy с24полуосями a  2 и b  2 и центром (0,-1,0).

Координаты фокусов:   2;0;0  .Асимптот у эллипса нет.4) Для M1 (0, 0, 2) : 02  (0  1) 2  2  2   5  4 , значит, точка M 1 лежит вне2эллипсоида.Для M 2 (0,1, 2) : 02  (1  1)2  2  2   8  4 , значит, точка M 2 лежит вне2эллипсоида.Значит, обе точки лежат по одну сторону от поверхности.5) Уравнение прямой, проходящей через M1 и M 2 :x  0x0 y0z 2или  y  t .0  0 1 02 2z  2Решаем систему:x  0y  t 02  (t  1)2  2( 2) 2  4  (t  1) 2  0  t  1 .z  2 x 2  ( y  1)2  2 z 2  4Тогда точка пересечения прямой и поверхности только одна и имееткоординаты (0, 1, 2) .ЗАДАНИЕ № 2Дано комплексное число z 5  5i.3i 331) Записатьчислоzвпоказательной,тригонометрическойиалгебраической форме, изобразить его на комплексной плоскости.2) Записать в показательной, тригонометрической и алгебраическойформе число u  z 8 .3) Записать в показательной и тригонометрической форме каждоезначение wk (k  0,1, 2) корня степени m=3.4) Изобразить число z и числа wk на одной комплексной плоскости.Решение1) Алгебраическая форма числа:z5  5i (5  5i)(3  i 3) 15  15i  5 3i  5 3  15  5 3   15  5 3     i9312123  i 3 (3  i 3)(3  i 3) 22 15  5 3   15  5 3 5 6z     126  12 15  5 31112arg z  arctg arctg ( 3  2) 1215  5 312Тригонометрическая форма числа:z5 61111 i sin cos6 1212.Показательная форма числа:z5 6 i1112e .62) По формуле Муавра тригонометрическая форма числа:5 6 1111u  z   i sin cos1212 6 88Показательная форма числа: 5 6 i1112u  z  e68885 6  2222 i sin  cos33 6  8 5 6   223 i. e64.Алгебраическая форма числа:8  15  5 3   15  5 3  u  z      i  .1212  83) В тригонометрической форме:5 6wk  3 z  361111 2 k 2 k 12 i sin 12 cos , k  0,1, 233Тогдаw0  35 61111 i sin cos6 3636w2  35 665959 i sin cos36365 635353 i sin , w1  cos6 3636.В показательной форме: 11 2 k 56wk  3 z  3exp  i 12 , k  0,1, 263Тогдаw0 35 6 1136 ie ,6w1  35 6 3536 ie ,6w2 535 6 5936 ie .6,ЗАДАНИЕ № 3Дан многочлен p( z)  5z 4  8z3  3z 2  2z  2 .1) Найти все (целые) корни многочлена p(z).

Записать каждый корень валгебраической форме, указать его алгебраическую кратность.2) Разложить многочлен p(z) на неприводимые множители:а) в множествекомплексных чисел;б) в множестведействительных чисел.Решение1) 5z 4  8z3  3z 2  2z  2  (5z3  3z 2  2)( z 1)  (5z 2  2z  2)( z 1)2Корни многочлена в алгебраической форме:z1  1кратность  2z2  0, 2  0, 6iкратность  1 .z3  0, 2  0, 6iкратность  12) а) разложение в множествекомплексных чисел:p( z)  5z 4  8z3  3z 2  2z  2  ( z 1)( z 1)( z  0, 2  0,6i)( z  0, 2  0,6i)б)разложениевмножестведействительныхp( z)  5z 4  8z3  3z 2  2z  2  (5z 2  2z  2)( z 1)( z 1)6чисел:ЗАДАНИЕ № 4Пусть Pn – линейное пространство многочленов степени не выше n сдействительными коэффициентами.

Множество M  Pn состоит из всех техмногочленов p(t), которые удовлетворяют условию p(2 - i) = 0.1) Доказать, что множество М – подпространство в Pn.2) Найти размерность и какой-либо базис подпространства М.3) Дополнить базис подпространства М до базиса Pn.Решение1) Теорема: Критерий подпространства. Непустое множествоявляется подпространством пространства V тогда и только тогда, когдаW замкнуто относительно сложения векторов и умножения их наскаляры.

Иными словами, выполняются следующие два условия: 1.; 2..Проверка условий:1. Пусть p1(t) и p2(t) – некоторые многочлены степени не выше n сдействительными коэффициентами, для которых выполняетсяусловие p1(2 - i) = p2(2 - i) = 0, то есть они принадлежат М. Тогдаочевидно, что многочлен (p1(t) + p2(t)) тоже принадлежит М, так какдля него будет выполняться заданное условие.2. Если некоторый скаляр  , принадлежащий множеству, умножитьна некоторый многочлен p(t) из М, то многочлен (  p(t)) очевиднотоже будет принадлежать М.Критерий подпространства для М выполняется, что и требовалосьдоказать.2) Размерность М – это количество линейно-независимых многочленовстепени не выше n с действительными коэффициентами p(t), которыеудовлетворяют условию p(2 - i) = 0, то есть, dim(M)  n.7Базис М – это набор линейно-независимых многочленов степени невышеnсдействительнымикоэффициентамиp(t),которыеудовлетворяют условию p(2 - i) = 0, то есть (p1(t), p2(t), …, pk(t)), гдеk  n.ОбщийвидмногочленовизP3:p  x    a1  ia2  x 3   b1  ib2  x 2   c1  ic2  x  d1  id 2 .Составим общий вид многочленов из М:p  2  i   2a1  11a2  11ia1  2ia2  3b1  4b2  4b1i  3ib2  2c1  c2  ic1  2ic2  d1  id 2  02a1  3b1  2c1  11a2  4b2  c2  0c1  a1  1.5b1  5.5a2  2b2  0.5c2 11a1  4b1  c1  d1  2a2  3b2  2c2  d 2  0d1  10a1  2.5b1  d 2  7.5a2  5b2  2.5c2p  x    a1  ia2  x 3   b1  ib2  x 2   a1  1.5b1  5.5a2  2b2  0.5c2  ic2  x  10a1  2.5b1 d 2  7.5a2  5b2  2.5c2  id 2Тогда размерность М равна 6.

Найдем базис М:p  x    a1  ia2  x 3   b1  ib2  x 2   a1  1.5b1  5.5a2  2b2  0.5c2  ic2  x  10a1  2.5b1 d 2  7.5a2  5b2  2.5c2  id 2p1  x   x 3  x  10p2  x   ix 3  5.5 x  7.5p3  x   x 2  1.5 x  2.5p4  x   ix 2  2 x  5p5  x    0.5  i  x  2.5p6  x   i3) Чтобы дополнить базис подпространства М до базиса Pn, нужнодописать в набор, описанный выше, линейно-независимые векторыpm(t) такие, что pm(2-i)≠0, где k≤m≤n. ПустьЗАДАНИЕ № 58p7  x   1p8  x   x  1.1) Доказать, что множество М матриц, антиперестановочных с0 1 0матрицей A   1 0 0  , образует подпространство в пространстве0 0 1Мm*n всех матриц данного размера.2) Найти размерность и построить базис М.3) Проверить, чтоматрица1 2 3B   2 1 3  1 1 0 принадлежит М иразложить ее по базису в М.Решение1) Матрицы называются антиперестановочными, если АВ = - ВА.Матрицы можно перемножать, если количество строк первогомножителя равно количеству столбцов второго.Значит, М – множество матриц размерности 3*3, которыеудовлетворяют критерию антиперестановочности.Для всех элементов М будут выполняться условия критерияподпространствосумменесколькихэлементов(матрицыодинаковой размерности можно складывать, свойство матрицысуммы не изменится) и умножении элемента на скаляр (размерностьи свойство при этом не изменятся), значит, М – подпространство впространстве М3*3 всех матриц.2) Размерность М – это количество всех линейно-независимых матриц3*3, которые удовлетворяют условию АВ = - ВА, пусть их будет K итогда K≤N, где N – размерность пространства М3*3 всех матриц.3) Базис М – линейно-независимые элементы, удовлетворяющиеусловию АВ = - ВА, то есть множество (В1, В2, …, Вk), где K≤N.Пусть9aX   dgbehcf k Найдем общий вид матрицы Х, удовлетворяющей указанному уравнению. 0 1 0  a b c a 1 0 0   d e f     d 0 0 1  g h k g d e f b a c  a b c    e d f g h k h g k  d  be  a f  c d  ba  e a   ebd f  cc   f g  h g  h k  0h   g k   kc  e bX   b e c  h h 0 behc   0 1 0f   1 0 0 k   0 0 1 Итак, размерность М равна 4.

Найдем базис М, придавая по очереди одномуиз чисел значение 1, а остальным 0: 1 0 0 X 1   0 1 0  ; 0 0 0 0 1 0X 2   1 0 0  ; 0 0 00 0 1 X 3   0 0 1  ;0 0 0  0 1 0   1 2 3   2 1 3  1 0 0    2 1 3    1 2 3  4) АВ=  0 0 1   1 1 0   1 1 0  1 2 3   0 1 0  2 1 3  2 1 3    1 0 0    1 2 3  ВА =  1 1 0   0 0 1   1 1 0 100 0 0X 4   0 0 0  1 1 0 B   X1  2 X 2  3X 3  X 4Условие антиперестановочности выполнено, значит, В принадлежитподпространству М.Тогда в качестве разложения по базису получим:B  1B1  2 B2  ...  k Bk , где1,2 ,...k - некоторые скаляры из полядействительных чисел.ЗАДАНИЕ № 61) Доказать, что множество M   et   tet  (    )t 2et   t 3et  функцийx(t),заданныхнаобластиD  (; ) ,образуетлинейноепространство.2) Найти его размерность и базис.Решение1) Линейное, или векторное пространствонад полем P — этонепустое множество L, на котором введены операции: сложения, то есть каждой паре элементов множестваставитсявсоответствиеэлементтогожемножества,обозначаемый умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любомуэлементуилюбомусоответствие элемент изэлементу, обозначаемыйставитсяв.Проверка:1.Данное множество не пустое, потому как в нем есть как минимумодин элемент {0}, если все коэффициенты будут равны нулю, что, впринципе, возможно, так как D  (; ) .112.Еслизадатьx1 (t )  1et  1tet  (1  1 )t 2et   1t 3etx2 (t )   2et  2tet  (2   2 )t 2et   2t 3et ,ипринадлежащие М, то функцияx1 (t )  x2 (t ) суммы:  1et  1tet  ( 1  1 )t 2et   1t 3et    2et   2tet  (  2   2 )t 2et   2t 3et   (1   2 )et  ( 1   2 )tet  ( 1  1   2   2 )t 2 et  ( 1   2 )t 3etтакже будет принадлежать М.3.Если домножить функцию x1 (t )  1et  1tet  (1  1 )t 2et   1t 3et нанекоторый скаляр из D  (; ) , то очевидно, что функция x1 (t )  1et  1tet  (1  1 )t 2et   1t 3et также принадлежит М.4.Оба условия для линейного пространства выполнены, значит, М –линейное пространство над полем D  (; ) .2) Размерность М – количество всех линейно-независимых функций,удовлетворяющих М над D  (; ) .Базис М – непосредственно набор линейно-независимых функций,удовлетворяющих М над D  (; ) .M   et   tet  (    )t 2 et   t 3et x1  t   et  t 2et ;x2  t   tet  t 2et ;x3  t 3etРазмерность М равна 3.ЗАДАНИЕ № 7Даны векторыa  OA  (1, 2,5), b  OB  (3,1, 2), c  OC  (2, 1,3), d  OD  (6,3, 5) .Лучи ОА, ОВ и ОС являются ребрами трехгранного угла Т.1) Доказать, что векторы2) Разложить векторda, b , cлинейно независимы.по векторамa, b , c(возникающую при этомсистему уравнений решить с помощью обратной матрицы).3) Определить, лежит ли точка D внутри Т, вне Т, на одной из граней Т(на какой?).124) Определить, при каких значениях действительного параметра вектор d   a , отложенный от точки О, лежит внутри трехгранногоугла Т.Решение1) Требуется показать, что при любых ненулевых одновременночисловых коэффициентах Х, Y и Z, что Xa  Yb  Zc  0 , или, чтоданные векторы некомпланарны.Три вектора называются компланарными, если они, будучиприведенными к общему началу, лежат в одной плоскости.Данные векторы имеют общее начало в точке О.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания