алгебра 1 типовик 3 вариант (1016628)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯТИПОВОЙ РАСЧЕТЗАДАЧА 1. Для пирамиды с вершинами точках A1, А2, A3, А4 найти:а)длину ребра А1А2;б)угол между рёбрами А1А2 и А1А4;в)уравнение плоскости А1А2А3;г)площадь грани А1А2А3;д)угол между ребром А1А4 и плоскостью А1А2А3;е)уравнение высоты, опущенной из точки А4 на грань А1А2А3;ж)объём пирамиды А1А2А3А4.Даны координаты пирамиды: A1(4,4,10), A2(4,0,2), A3(2,8,4), A4(9,6,4)РЕШЕНИЕа) Координаты векторов находим по формуле:X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - ziздесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;Для вектора A1A2X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1X = 4-4; Y = 0-4; Z = 2-10(0; −4; −8)Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:|a| = X2 + Y2 + Z2|A1A2| = 02 + 42 + 82 = 80 = 8.944б) Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:a1a2cos γ = |a | • |a |12где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2Вектор(5; 2; −6), длина |A1A4| = 52 + 22 + 62 = 65 = 8.062Найдем угол между ребрами A1A2 и A1A4cos γ =0 • 5 + (-4) • 2 + (-8) • (-6)= 0.55580 • 65γ = arccos(0.555) = 56.3120в) Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящаячерез них плоскость представляется уравнением:x-x1 y-y1 z-z1 x -x y -y z -z  = 0 2 1 2 1 2 1x3-x1 y3-y1 z3-z1 Уравнение плоскости A1A2A3x-4 y-4 z-10 0 -4 -8  = 0-2 4 -6 (x-4)((-4) • (-6)-4 • (-8)) - (y-4)(0 • (-6)-(-2) • (-8)) + (z-10)(0 • 4-(-2) • (-4)) = 56x + 16y - 8z-208 = 0Упростим выражение: 7x + 2y - z-26 = 0г) Площадь грани можно найти по формуле:1S = 2 |a| • |b| sin γгдеsin γ = 1 - cos γ2Найдем площадь грани A1A2A3Найдем угол между ребрами A1A2 и A1A3.(0; −4; −8)|A1A2| = 02 + 42 + 82 = 80 = 8.944(-2;4;-6), |A1A3| = 22 + 42 + 62 = 56 = 7.483.cos γ =0 • (-2) + (-4) • 4 + (-8) • (-6)= 0.47880 • 56sin γ = 1 - 0.4782 = 0.878Площадь грани A1A2A311SA1A2A3 = 2|A1A2| • |A1A3| sin γ = 2 80 • 56 • 0.878 = 29.3942 способ: Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:1S = 2 | A1A2 x A1A3 |Векторное произведение:i j k 0 -4 -8  =-2 4 -6 = i((-4) • (-6)-4 • (-8)) - j(0 • (-6)-(-2) • (-8)) + k(0 • 4-(-2) • (-4)) = 56i + 16j - 8k111S = | A1A2 x A1A3 | = |56i + 16j - 8k| = 562 + 162 + 82 = 3456 = 29.394222д) Угол между ребром A1A4 и плоскостью A1A2A3Синус угла между прямой с направляющими вектором (l; m; n) и плоскостью с нормальнымвектором N(A; B; C) можно найти по формуле:sin γ =|Al + Bm + Cn|A + B2 + C2 l2 + m2 + n22Уравнение плоскости A1A2A3: 7x + 2y - z-26 = 0.Векторsin γ =(5; 2; −6).|7 • 5 + 2 • 2 + (-1) • (-6)|= 0.7672 + 22 + 12 52 + 22 + 62γ = arcsin(0.76) = 49.466oе) Уравнение высоты пирамиды, опущенной из вершины A4(9,6,4) на грань А1А2А3Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением:x - x0 y - y0 z - z0A = B = CУравнение плоскости A1A2A3: 6x + 2y - z-26 = 0x-9 y-6 z-46 = 2 = -1ж) Объем пирамидыОбъем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:X Y Z1  1 1 1 V = 6 X2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3 0 -4 -8 1 360V = 6 -2 4 -6  = 6 = 605 2 -6 Находим определитель матрицы∆ = 0 • (4 • (-6)-2 • (-6))-(-2) • ((-4) • (-6)-2 • (-8))+5 • ((-4) • (-6)-4 • (-8)) = 360ЗАДАЧА 2.

Решить систему линейных уравнений тремя способами:а)методом Гаусса;б)с помощью формул Крамера;в)записать систему в матричной форме и найти ее решение с помощью обратной матрицы.2 З 4 — 2 3 3 — 2 — 5 2066Решение:а) Запишем расширенную матрицу системы и приведем её к ступенчатому виду.2 3 -4 201 -2 363 -2 -5 61-ую строку делим на 21 1.5 -2 101 -2 363 -2 -5 6от 2; 3 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 1; 31 1.5 -2 100 -3.5 5-40 -6.5 1 -242-ую строку делим на -3.51 1.5-21001-10/7 8/70 -6.51-24от 1; 3 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 1.5; -6.51 01/758/70 1 -10/78/70 0 -58/7 -116/73-ую строку делим на -58/71 01/758/70 1 -10/7 8/70 012от 1; 2 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 1/7; -10/71 0 0 80 1 0 40 0 1 2Запишем систему уравнений, соответствующую полученной матрице.x1 = 8x2 = 4x3 = 2Ответ: (8, 4, 2)б) Решение:Решим систему с помощью формул Крамера.

Вычислим определитель основной матрицы.2 3 -4∆ = 1 -2 3 = 583 -2 -5Вычислим вспомогательные определители, получаемые заменой соответствующего столбцастолбцом свободных членов.20 3 -4∆1 = 6-2 3 = 4646-2 -52∆2 = 132066-43 = 232-52∆3 = 133-2-2206 = 1166x1 =∆1464== 8∆58x2 =∆2232== 4∆58x3 =∆3116== 2∆58Ответ: (8;4;2).В) Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбецнеизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:2 3 -4 А=1 -2 3 3 -2 -5 Вектор B:BT=(20,6,6)С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:А*Х = B.Найдем главный определитель.∆=2•(-2•(-5)-(-2•3))-1•(3•(-5)-(-2•(-4)))+3•(3•3-(-2•(-4)))=58Итак, определитель 58 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу черезалгебраические дополнения.Тогда:A A A1  11 21 31 A = A12 A22 A32 ∆A13 A23 A33 -1где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое являетсяпроизведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строкии j-го столбца в определителе матрицы А.Для удобства записи транспонируем матрицу A:2 1 3 A =3 -2 -2 -4 3 -5 TВычисляем алгебраические дополнения.-2 -2 A1,1=(-1)1+13 -5 ∆1,1=(-2•(-5)-3•(-2))=163 -2 A1,2=(-1)1+2-4 -5 ∆1,2=-(3•(-5)-(-4•(-2)))=233 -2 A1,3=(-1)1+3-4 3 ∆1,3=(3•3-(-4•(-2)))=11 3 A2,1=(-1)2+13 -5 ∆2,1=-(1•(-5)-3•3)=142 3 A2,2=(-1)2+2-4 -5 ∆2,2=(2•(-5)-(-4•3))=22 1 A2,3=(-1)2+3-4 3 ∆2,3=-(2•3-(-4•1))=-101 3 A3,1=(-1)3+1-2 -2 ∆3,1=(1•(-2)-(-2•3))=42 3 A3,2=(-1)3+23 -2 ∆3,2=-(2•(-2)-3•3)=132 1 A3,3=(-1)3+33 -2 ∆3,3=(2•(-2)-3•1)=-7Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу:16 23 1 А*=14 2 -10 4 13 -7 Вычислим обратную матрицу:16 23 1 1 A = 14 2 -10 584 13 -7 -1Вектор результатов XX=A-1 • B16 23 1  20 1 X=5814 2 -10 · 6 4 13 -7  6 (16•20)+(23•6)+(1•6) 1 X=58 (14•20)+(2•6)+(-10•6) (4•20)+(13•6)+(-7•6) 464 1 X=58 232 116 XT=(8,4,2)Ответ: (8;4;2).ЗАДАЧА 3.

Найти нее комплексные корни заданного уравнения. Отметить найденные корни накомплексной плоскости.2РЕШЕНИЕ+2=0+2+ 2 = 0. Решим квадратное уравнение относительно z2.=√= 4 − 4 ∗ 2 = −4,=√= −1 + ",= −1 − ".Найдем корни из комплексных чисел. Воспользуемся формулой.± $%√= ± $%√"%√− "%√&±√&=±√('√2 − 1 + " '√2 + 1),('√2 − 1 − " '√2 + 1).Тригонометрическая форма комплексного числа z = -1+iz = 2(cos(3•π/4) + i sin (3•π/4))Извлекаем корни по формуле:zk =2z=2φ + 2π kφ + 2π k |z|cos() + i sin( 2 ), k = 0, 12k=0z0 =23•π/4 + 2π • 03•π/4 + 2π • 0 |z|cos() + i sin()22z0 = (2)1/4(cos(3/8•π) + i sin(3/8•π))илиz0 = (2)1/4(cos(3/8•π) + sin(3/8•π) i)k=1z1 =23•π/4 + 2π • 13•π/4 + 2π • 1 ) + i sin()|z|cos(22z1 = (2)1/4(cos(11/8•π) + i sin(11/8•π))илиz1 = (2)1/4(-cos(3/8•π) -sin(3/8•π) i)Тригонометрическая форма комплексного числа z = -1-iz = 2(cos(-3•π/4) + i sin (-3•π/4))Извлекаем корни по формуле:zk =2z=2φ + 2π kφ + 2π k |z|cos( 2 ) + i sin( 2 ), k = 0, 1k=0z0 =2-3•π/4 + 2π • 0-3•π/4 + 2π • 0 |z|cos() + i sin()22z0 = (2)1/4(cos(-3/8•π) + i sin(-3/8•π))илиz0 = (2)1/4(cos(3/8•π) -sin(3/8•π) i)k=1z1 =2-3•π/4 + 2π • 1-3•π/4 + 2π • 1 |z|cos() + i sin()22z1 = (2)1/4(cos(5/8•π) + i sin(5/8•π))илиz1 = (2)1/4(-cos(3/8•π) + sin(3/8•π) i)Изобразим корни на комплексной плоскости.ЗАДАЧА 4.

Решить матричные уравнения АХ=В и YA=В.(423*, + = (−6 −71РЕШЕНИЕ5*−6Решим матричное уравнение A·X = B.Вычислим определитель матрицы А:∆ = 4*(-7) - (-6)*2 = -16Определитель матрицы А равен detA=-16Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим слева обе частиуравнения на A-1: A-1·A·X = A-1·B, тогда получим E·X = A-1·B, или X = A-1·B.Найдем обратную матрицу A-1.Алгебраические дополненияA11 = (-1)1+1·-7 = -7; A21 = (-1)1+2·2 = -2; A12 = (-1)2+1·-6 = 6; A22 = (-1)2+2·4 = 4;Обратная матрица A-1.A-1 =1 -7 -2 -166 4 Матрицу Х ищем по формуле: X = A-1·B1 -7 -2  3 5  23/16 23/16 X = -166 4 · 1 -6  = -11/ -3/ 88Ответ:2323 /16 /16 X = -11/ -3/ 88Б) Решим матричное уравнение Y·A = B.Определитель матрицы А равен detA=-16Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим справа обе частиуравнения на A-1: Y·A·A-1 = B·A-1, откуда находим, что Y = B·A-1Обратная матрица A-1.1 -7 -2 A-1 = -166 4 Матрицу Y ищем по формуле: Y = B·A-1,−Ответ: , = 0122−45439−1 3 5−7 −2(*(* = - 16436416 1 −61678/138−ЗАДАЧА 5.

Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, действующего вдвумерном пространстве, если известна его матрица A в некотором базисе {е ;е }.=(2 1*.1 2РЕШЕНИЕСоставляем систему для определения координат собственных векторов:9(2 − λ)x + x = 0x + (2 − λ)x = 0Составляем характеристическое уравнение и решаем его.2 - λ 1 1 2 - λ =0Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.((2 - λ) • (2 - λ)-1 • 1) = 0После преобразований, получаем:λ2 -4 λ + 3 = 0D = (-4)2 - 4 • 1 • 3 = 4λ1 =-(-4)+22•1 = 3λ2 =-(-4)-2=12•19 0− = 0Собственный вектор, отвечающий числу λ1 = 3 при x1 = 1:x1 =(1, 1).В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор:i 1=(1 1; )2 2где 12 + 12 = 2 - длина вектора x 1.Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ2 = 1,находим из системы:++ = 0 = 0j 1=(1 -1; ).2 29x2 =(1, -1)..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания