Лекция 12 (1014398), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Итак, надо построить интерполирующий полином для подобласти, внутри которой значения функции неизвестны, а известны (считаются известными) только значения функции на границе этой подобласти (узлах конечных элементов).

Понятно, что таких функций можно построить бесчисленное множество, как, например, в случае двух точек, через которые можно провести бесчисленное множество различных кривых.

Но в МКЭ ставятся жесткие условия: построенные локальные в подобластях полиномы должны обес­печивать непрерывность искомой функции и (х, у, г) и ее производных до (т — 1)-го порядка включительно по всей области. Для произ­водных m-го порядка есть отступление: они могут иметь разрывы первого рода на гранях стыковки смежных конечных элементов.

Эти условия вытекают не только из – за математических соображений, а, прежде всего, обуславливаются физическим смыслом решаемой задачи. Например, при изгибе линейки, мысленно разделённой на конечные элементы, нельзя представить, чтобы эти элементы при изгибе стыковались между собой под каким-либо углом, что логично приводит к мысли о необходимости выполнения требования равенства в узлах, по крайней мере, первых производных функции изгиба.

Выполнение указанных выше требований обеспечивает сходи­мость решения по МКЭ к точному при уменьшении размеров конеч­ных элементов. Естественно, при выбранной геометрии под­области для обеспечения условий сходимости нужно располагать в интерполирующем полиноме достаточным количеством произ­вольных параметров. Дальнейшее увеличение числа произвольных параметров в интерполирующем полиноме связано с необходи­мостью введения дополнительных узловых неизвестных и допол­нительных узловых точек в подобласти. В результате получаются так называемые высокоточные конечные элементы, о которых говорилось выше.

В качестве узловых неизвестных принимаются значения иско­мой функции и ее производных до (m-1)-го порядка. При этом необходимое число неизвестных в основных узловых точках сле­дует набирать, последовательно переходя от функции к производ­ным возрастающего порядка, исключение из числа узловых неизвестных какой-либо производной порядка ниже, чем (т — 1) может привести к нарушению сходимости решения по МКЭ к точ­ному.

Итак, повторим:

а) основной операцией МКЭ является построение интерполирующего полинома в объёме конечного элемента, которым аппроксимируется искомая функция u (x ,y, z) в объёме конечного элемента: коэффициенты в этом полиноме выражаются через значения узловых неизвестных элемента.

б) основная трудность состоит в том, что полиномы для каждого из конечных элементов должны обеспечить непрерывность функции u (x ,y, z) и её производных до (m-1)- го порядка включительно по всей области .

в) в каждом из интерполирующих полиномов должны сдержаться члены, обеспечивающие их переход к постоянным значениям при уменьшении размеров конечного элемента. При этом производные m - го порядка могут иметь разрывы первого рода по граням стыковки смежных конечных элементов.

Предположим, что интерполирующий полином может быть представлен для e – го конечного элемента в виде:

(6.6)

Где – вектор – столбец, состоящий из r узловых неизвестных е – го конечного элемента;

– вектор – строка, элементами которого являются известные функции координат точек . Вид этих функций определяется геометрией элемента, классом задач и содержанием вектора .

Тогда аппроксимация функции u(x, y, z) по всей области  определится суммой:

(6.7)

Или (6.8)

Где (6.9)

А (6.10)

Есть вектор узловых неизвестных для полной области в местной системе координат.

Построенные в локальных подобластях аппроксимации функции обеспечивают непрерывность функции u (x, y, z) и её производных до (m-1)- го порядка во всей области (при том, что производные m-го порядка могут иметь разрывы первого рода на гранях стыковки смежных конечных элементов).

Это обеспечивает сходимость решения по МКЭ к точному при уменьшении размеров конечных элементов.

Повторим, что при выбранной геометрии подобласти для обеспечения условий сходимости нужно располагать в интерполирующей функции достаточным количеством произвольных параметров. Увеличение числа произвольных параметров в интерполирующей функции связано с необходимостью введения дополнительных узловых неизвестных и дополнительных узловых точек подобласти. В результате получаются так называемые высокоточные конечные элементы. В качестве узловых неизвестных принимаются значения искомой функции и её производных до (m-1) - го порядка. При этом необходимое число неизвестных в основных узловых точках следует набирать, последовательно переходя от функции к производным возрастающего порядка. Исключение из числа узловых неизвестных какой - либо производной порядка ниже, чем (m-1) может привести к нарушению сходимости решения по МКЭ к точному.

Одномерная область

Пусть замкнутый интервал [0,l] изменения x разбит внутренними точками: 0= x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_l-1 < x_l < ... < x_m-1 < x_m = l на ряд замкнутых участков – элементов [x₀,x₁], [x₁,x₂], ... , [x_l-1,x_l], ... , [x_m-1,x_m].

Искомую функцию u(x) в e-oм элементе аппроксимируем полиномом n-ой степени:

, где (e = 1, 2, …, М) (6.11)

Доказано, что непрерывность функции u(x) и ее производных до m-1 -го порядка в интервале  0,l  обеспечена, если степень каждого из полиномов удовлетворяет условию:

(6.12)

и для определения неизвестных параметров a_i среди (n+ 1) -го условия для каждого e - го участка содержатся следующие условия:

(6.13)

……………………………………………………………………….

;

При n  2m-1 недостающие для нахождения параметров a_i условия составляются по аналогии с (6.13), но лишь для некоторых промежуточных узловых точек. Если для e-го элемента выбрана не одна, а несколько промежуточных точек, то не обязательно в каждой из них требовать выполнения одних и тех же условий. Важно лишь в каждой из точек не допускать пропуска условий по производным промежуточных порядков. В дальнейшем ограничимся рассмотрением простейших одномерных конечных элементов с расположением узловых точек лишь по его концам. Для таких элементов степень интерполирующего полинома n определяется из равенства:

n=2m-1

Пример 1

Для одномерной краевой задачи, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка (2m=2), построить интерполирующий полином для e – го конечного элемента. Заметим, что уравнением такого типа описываются некоторые из задач растяжения и кручения стержней, одномерные задачи теплопроводности, гравитации, гидромеханики.

Решение: n = 2m-1=1

Следовательно, интерполирующий полином будет иметь вид: . Неизвестные и определим из (6.13), которые для 2m = 2 дают два условия: ; . Отсюда: ;

Тогда получим формулу для интерполирующего полинома:

(6.14)

Пусть для определенности интервал изменения х разбит на четыре конечных элемента:

Тогда, склеивая интерполирующие полиномы по отдельным элементам, получим аппроксимирующую функцию u(x) для всей области.

Функцию u(x) можно представить в виде суммы:

Поясним использование координатных функций более подробно, считая для определённости, что значения функции, которую мы представляем с помощью интерполирующих полиномов, нам известны в точках x₀=0, x₁=1 , x₂=2 и х₃=3 и равны, соответственно, значениям 2, 1, 3 и 0. (Понятно, что в реальной задаче значения функции как раз и надо найти, для чего и используется метод конечных элементов). Итак, на первом конечном элементе с начальной и конечной координатами по оси х, соответственно, равными х=0 и х=1 интерполирующий линейный полином должен проходить через точки (0; 2) и (1;1).

Тогда, согласно (6.14), формула для этого полинома будет:

Для соседнего конечного элемента с координатами 1 и 2 формула для линейного интерполирующего полинома, проходящего через точки (1;1) и (2;3), согласно (6.14) будет:

Для третьего конечного элемента с координатами 2 и 3 формула для линейного интерполирующего полинома, проходящего через точки (2;3) и (3;0), согласно (6.14) будет:

Тогда:

для

для

Отсюда видна локальность координатных функций _i (x), каждая из которых оказывается отличной от нуля лишь в области конечных элементов, непосредственно примыкающих к данному узлу.

Это свойство координатных функций МКЭ позволяет как бы набирать искомое решение из отдельных универсальных кирпичиков. Именно в этом - одно из основных достоинств МКЭ.

Пример 2

Для одномерной краевой задачи, описываемой дифференциальным уравнением 4 – го порядка (2m=4), следует построить интерполирующий полином для конечного элемента. К этому классу задач относится задача изгиба балок.

Решение: n=2m-1=3

Следовательно, интерполирующий полином имеет вид:

(6.15)

Значительно проще строить выражение для интерполирующего полинома не в общей, связанной со всей областью, системе координат, а в местной, связанной с рассматриваемым конечным элементом.

О бозначим длину конечного элемента через l. (На рисунке положительные направления сил 1 и 3 и моментов 2 и 4).

Неизвестные параметры а_i согласно (6.14) из следующих четырех условий:

Введем для узловых значений функции u(x) обозначения:

, , , .

На рисунке показаны положительные значения величин. С учетом этих обозначений, получаем:

a₁ = q₁ a₁+a₂ l+a₃ l ²+a₄ l ³= q₃

a₂ = q₂ a₂+ 2a₃ l+3a₄ l ²= q₄

откуда:

a₁ = q₁

a₂ = q₂

Подставляя найденные значения параметров a_i в (6.15) можно получить для интерполирующего полинома выражение:

Характеристики

Список файлов лекций