Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

К сказанному добавим, что замена исходной конструкции совокупностью конечных элементов подразумевает в том числе равенство энергий конструкции и её дискретной модели. Для некоторых конструкций соблюдение энергетического баланса ведёт к получению дискретной модели, точно описывающей поведение исходной конструкции. Это характерно для конструкций, которые уже состоят из отдельных элементов с дискретным сочленением между ними, например, ферм, рам, стержневых конструкций. Если же элементы реальной конструкции имеют вдоль своей границы непрерывные связи со смежными элементами, то при построении дискретной модели следует вводить некоторые предположения о характере силового или кинематического взаимодействия между смежными элементами. В этом случае дискретная модель будет лишь приближенно отражать поведение исходной конструкции.

Выбор основных неизвестных

В качестве основных неизвестных в МКЭ принимаются узловые значения искомой функции и её частных производных до m - го порядка.

Правда, для обеспечения условий сходимости метода достаточно включить в число неизвестных лишь определенную часть из общего числа производных m - го порядка. Кроме того иногда производные m - го порядка полностью исключаются из числа узловых неизвестных. Например, при решении задач, описываемых квазигармоническим уравнением (2m = 2) типа

(квазигармоническим уравнением, дополненным условиями на границе описываются кручение призматических стержней, теплопроводность, гравитация, волновые процессы, гидродинамика жидкости).

В качестве неизвестной в каждой i - ой узловой точке достаточно принять значение определяемой функции . Если же рассматривается более сложная задача для плоской области, описываемая бигармоническим уравнением (2m = 4)

То для строгого соблюдения условий сходимости метода в каждой узловой точке следует уже принять в качестве неизвестных:

Общее число неизвестных для конечного элемента определяется числом его степеней свободы, от которого зависит точность описания искомой функции в объёме каждого из конечных элементов, а следовательно и во всей области . Повысить точность решения можно либо путем увеличения числа конечных элементов, либо путём увеличения числа свободы для каждого из конечных элементов.

Например:

Построение интерполирующего полинома

Интерполяция и аппроксимация

Напомним основные понятия интерполяции и аппроксимации.

(Интерполирование (интерполяция). Термин происходит от латинского interpolare- «подделывать», «подновлять». Это слово первоначально означало подделку рукописи, т.е. введение в рукописный документ одного или нескольких слов, не находившихся в подлиннике.)

П редположим, что задано некоторое упо­ря­до­чен­­­­­ное множество вещественных абcцисс х₁, х₂, ..., х_n и свя­зан­ное с ним множество вещественных ор­ди­­нат у₁, у₂, ..., у_n. Пусть х₁< х₂< ...< х_n и каждое у_i есть некоторое ве­щес­т­венное число, отвечающее х_i, которое определяется математически или в результате каких-либо на­блю­де­ний (см. рисунок). Точки (x_i,y_i) называются узлами ин­тер­поляции. Кривая, которая точно проходит через эти уз­лы, называется интерполяционной кривой.

При решении задач достаточно час­то воз­ни­кает обратная задача, т.е. необходимо по­до­брать некоторую простую функцию, кото­рая, с од­ной стороны, име­ла бы в известных точ­ках за­дан­ные значения, а с дру­гой — вычис­лялась бы быстрее и проще исходной.

Исходя из изложенного, можно сфор­му­ли­ро­вать (не строго) следующие определения. Задача одно­мер­­­ной ин­тер­­­по­ля­ции за­клю­ча­ет­ся в по­­строении такой не­пре­рыв­ной функ­ции f, при которой для всех , т.е. функция f обя­за­тельно должна про­хо­дить абсолютно точ­но че­­рез задан­ные узлы интер­поляции. Однако при этом долж­на при­нимать "разумные" значения для всех , ле­жа­­щих между за­данными точ­ка­ми . Кро­­ме того, на ин­тер­­по­ли­ру­ющую функ­цию на­кла­ды­ва­ет­ся еще ряд очевидных ограничений: не иметь особых точек на ин­тер­ва­ле интерполирования; быть дос­таточно глад­кой; иметь не­­об­ходимое ко­ли­­­чест­­во про­из­вод­ных и прочее.

Интерполяционный многочлен

Пусть на сегменте [a, b] заданы n + 1 опорных (узловых) точек

.

Пусть, кроме того, заданы n + 1 действительных (например, как значения функции f(x) в узловых точках). Тогда имеем следующую задачу интерполяции.

Найти многочлен

степени не больше n, такой что , где j = 0, 1, …, n.

Всегда существует только один интерполяционный многочлен, который может быть представлен в различной форме со своим способом нахождения коэффициентов.

Форма Лагранжа:

, где

Нетрудно увидеть, что при и, следовательно, .

Пример 1. Нахождение интерполяционного многочлена

Пусть x₁=4, x₂=6, x₃=8, x₄=10, y₁=1, y₂=3, y₃=8, y₄=20.

Форма Ньютона:

, где при j = 0, 1, …, n, а , где , при j = 0, 1, …, n.

Выражение называется разделенной разностью.

Для определения многочлена в форме Ньютона применяют разностную схему или схему спуска:

Коэффициенты многочлена Ньютона равны числам в верхнем спускающемся ряду (выделены цветом).

Для примера 1 разностная схема будет следующей:

Тогда многочлен Ньютона будет:

Вывод из вышесказанного следующий: если даны n+1 табличных значений неизвестной функции, всегда можно представить эту функцию приближённо полиномом n-ой степени. Эта операция называется интерполяцией. При этом полином будет проходить через заданные табличными значениями точки - точно, а представлять функцию между точками - неточно.

Перейдём к более общему понятию - аппроксимации.

Термин аппроксимация происходит от латинского approximo- «приближаюсь», буквальное значение – «приближение». Из самого названия следует решаемая аппроксимацией задача: представить приближённо таблично заданную функцию.

Существует два основных подхода к аппроксимации таблич­ных данных кривыми.

При одном из них данные аппроксимируют одной простой функцией, применимой во всем диапазоне табличных данных, но не обязательно проходящей через все точки. Эта функция должна удовлетворять ряду критериев, в частности, минимальному среднеквадратичному отклонению. Можно предложить и другие критерии.

При втором подходе требуют, чтобы ап­проксимирующая кривая прохо­дила через все точки, заданные таблицей.

Именно последний подход реализуется в МКЭ, но с некоторыми нюансами.

Как мы уже видели, если задача аппроксимации заключается в построении ОДНОЙ функции на всём диапазоне таблично заданных значений неизвестной функции, то эта задача - задача интерполяции и решается построением одного интерполирующего полинома, проходящего через все точки таблично заданной функции.

Но возможна и другая интерпретация задачи аппроксимации (подчеркнём – задачи приближённого представления неизвестной функции) – представить неизвестную функцию, хотя и проходящей через точки таблично заданной функции, но не одной функцией-полиномом, а кусочно-гладкой, т.е. представленной между точками какими-либо локальными функциями, приближённо описывающими поведение неизвестной функции между точками. Эти локальные функции между точками в МКЭ называют локальными интерполирующими полиномами хотя бы потому, что принципиально мы можем эти локальные функции тоже представить в виде локальных интерполирующих полиномов.

В результате аппроксимирующая функция в МКЭ для всей области составляется из интерполирующих полиномов в каждой из подобластей, т.е. искомая функция аппроксимируется локальными непрерывными функциями (см. рисунок), при этом, необязательно разными по типу.

Для двумерного случая аппроксимацию искомой функции полиномами можно представить в следующем виде:

Поэтому одной из наиболее ответственных операций МКЭ является построение этих локально непрерывных функций - интерполирующих полиномов для аппроксимации (замены) искомой функции и (х, у, z) в каждой из под­областей.

Построение интерполирующего полинома

В отличие от вышеприведённой задачи отыскания интерполирующего многочлена, проходящего через фиксированной ряд известных точек, построение локального интерполирующего полинома для подобласти в МКЭ проводится только через граничные точки (узлы конечных элементов), значения функции в которых мы полагаем известными исключительно для дальнейших логических построений. На самом деле они неизвестны.

Характеристики

Список файлов лекций