6Simulation systems Лекция 20 Случайные числа (1014328), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Разобьем (a,b) на n интервалов и будем считать f_(Y) на каждом интервале постоянной; тогда случайную величину  можно представить в виде:

,

т.е. на каждом участке (a_k ,a_k+1) величина _k считается распределенной равномерно_.

Чтобы аппроксимировать f_(Y) наиболее удобным способом, целесообразно разбить (a,b) на интервалы таким образом, чтобы вероятность попадания случайной величины  в любой интервал

(a_k ,a_k+1) была постоянной, т.е. не зависела от номера интервала k. Для вычисления a_k пользуются следующим соотношением:

где n - количество интервалов (обычно принимается равным 2^m,

1. целое положительное число).

Процедура моделирования предполагает следующее:

1. выбирается случайное равномерно распределенное число _i;

2. с помощью _i случайным образом выбирается интервал (a_k ,a_k+1);

3. берется следующее равномерно распределенное число _i+1 и масштабируется с целью приведения его к интервалу (a_k ,a_k+1) т.е. _i+1 становится случайной величиной, равномерно распределенной в интервале (a_k ,a_k+1). Случайное число Yi с требуемым законом распределения вычисляют по формуле: Yi= a_k,+_i+1 (a_k+1 - a_k)

Рассмотрим несколько подробнее процесс выборки интервала

(a_k ,a_k+1) с помощью _i. Как известно, случайное число _i получается на машине в виде последовательности нулей и единиц. Если число интервалов n равно 2^m, то количество всевозможных комбинаций нулей и единиц m-разрядного двоичного числа даст нам количество интервалов n, т.е. каждому интервалу (a_k ,a_k+1) можно поставить в соответствие одну и только одну комбинацию нулей и единиц m-разрядного двоичного числа. Это обстоятельство сильно упрощает методику выбора интервала (a_k ,a_k+1).

Каждый интервал кодируется m-разрядным двоичным числом и результаты заносятся в специальную таблицу. В эту же таблицу заносятся a_k - a_k-1 коэффициента масштабирования. Таким образом, выделив m разрядов _i, мы сразу определяем номер интервала (a_k ,a_k+1).

Для реализации изложенного метода приближенного моделирования случайных величин на ЭВМ требуется небольшое количество операций; кроме того, количество операций не зависит от точности аппроксимации (т.е. от количества интервалов n). Точность аппроксимации влияет только на размеры участка памяти, куда помещается таблица закодированных значений a_k. Этим способом преобразования случайных чисел широко пользуются в практике статистического моделирования.

9.4.4 Моделирование случайных векторов

При решении задач методом статистических испытаний нередко возникает необходимость в формировании возможных значений или, как говорят, реализаций случайных векторов. Случайный вектор можно задать проекциями на оси координат, причем эти проекции являются случайными величинами, описываемыми совместным законом распределения. В простейшем случае, когда рассматривается случайный вектор на плоскости XOY, необходимо задать совместный закон распределения его проекций  и  на оси X и Y соответственно. Предположим сначала, что двумерная случайная величина (, ) является дискретной и ее составляющая  принимает возможные значения X₁, X₂,..., X_n, а составляющая  - значения Y₁, Y₂,..., Y_n , причем каждой паре (X_i ,Y_i) соответствует вероятность P_ij. При этих предположениях можно найти частное распределение случайной величины , а именно: каждому возможному значению X_i случайной величины  будет соответствовать вероятность

(1)

Теперь по правилам, рассмотренным ранее

,

можно определить конкретное значение X_i случайной величины  в соответствии с распределением вероятностей. Пусть это будет X_i1. Тогда из всех значений P_ij выберем совокупность

P_i1⁽¹⁾, P_i1⁽²⁾,..., P_i1⁽ⁿ⁾, (2)

которая описывает условное распределение случайной величины при условии, что . Затем по тем же правилам определим конкретное значение Y_i (пусть оно равно Y_i1) случайной величины в соответствии с распределением вероятностей (2).

Полученная пара (X_i1, Y_i1) и будет первой реализацией моделируемого случайного вектора. Далее аналогичным способом определяем возможное значение X_i2, в соответствии с распределением (1) выбираем совокупность P_i2⁽¹⁾, P_i2⁽²⁾,..., P_i2⁽ⁿ⁾

и находим Y_i2 в соответствии с полученным распределением вероятностей и т.д.

Процедура моделирования не претерпевает принципиальных изменений и в том случае, когда речь идет о моделировании непрерывного случайного вектора. В этом случае двумерная случайная величина ( ) описывается совместной функцией плотности f(x,y). Частная функция плотности случайной величины может быть определена в соответствии с соотношением, аналогичным (1):

Имея функцию плотности , можно найти случайное число (пусть это будет Х₁) с помощью приближенных способов преобразования случайных чисел. Затем определяется условное распределение случайной величины при условии, что .

В соответствии с этой полученной функцией плотности можно определить случайное число Y_i (пусть это будет Y₁). Тогда пара (X,Y) и является искомой реализацией вектора ( ). При больших n объем вычислений существенно возрастает.

Процедура формирования реализаций случайного вектора значительно упрощается и становится менее громоздкой в том случае, когда многомерная случайная величина задается в рамках корреляционной теории (при помощи корреляционной матрицы). Остановимся кратко на трехмерном случае. Пусть требуется сформировать реализации трехмерного случайного вектора , имеющего нормальное распределение с математическими ожиданиями:

(3)

и корреляционной матрицей

Здесь К₁₁, К₂₂, К₃₃ - дисперсии случайных величин и соответственно, К₁₂ =К₂₁, К₁₃ =К₃₁ и К₂₃ =К₃₂ - корреляционные моменты

и , и , и соответственно. Будем предполагать, что в нашем распоряжении имеются случайные числа , имеющие одномерное нормальное распределение с математическим ожиданием m и дисперсией . Способы формирования случайных чисел, обладающих такими свойствами, мы уже рассматривали.

Выберем три числа, скажем и преобразуем их так, чтобы они имели характеристики (3) и (4). Искомые составляющие случайного вектора обозначим через X,Y,Z и представим в виде:

(4)

где Сij - пока неизвестные нам коэффициенты. Для вычисления коэффициентов Сij воспользуемся элементами корреляционной матрицы.

По определению:

, ,

поэтому

Аналогично, поскольку (5)

при (случайные величины независимы между собой)

(6)

Эти соотношения (5) и (6) представляют собой систему уравнений относительно коэффициентов . Решив эту систему, найдем:

; ;

; ;

;

Располагая коэффициентами Сij легко три последовательных независимых случайных числа i преобразовать в составляющие случайного вектора (xi, yi, zi).

24

Характеристики

Список файлов лекций