Первообразные корни (1014302)
Текст из файла
2
Первообразные (примитивные) корни
Определение. Число a, взаимно простое с m, принадлежит показателю d, если d - наименьшее натуральное число, для которого ad mod m = 1.
Определение. Число, принадлежащее показателю (m) ((m) – функция Эйлера), называется первообразным (примитивным) корнем по модулю m.
Свойство. Пусть число a - взаимно простое с m, и a принадлежит показателю d, тогда числа a0, a1, a2,… ad-1 попарно несравнимы по модулю m.
Доказательство. Допустим an ak mod m и k < n. Разделим обе части сравнения на ak. Получим an-k 1 mod m. Тогда n-k должно быть кратно показателю d и не может быть меньше d. То есть среди чисел a0, a1, a2,… ad-1 пары an ak mod m нет.
Следствие. Если a – первообразный корень по модулю m, ряд a0, a1, a2,… a(m)-1 представляет собой совокупность всех взаимно простых с m чисел, меньших m. То есть ak пробегает приведенную систему вычетов при k = 1, 2,… (m).
Примеры. Находим первообразные корни чисел 2, 3, … m по модулю m.
ax mod 7 2 первообразных корня
| a | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 2 | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 | |
| 3 | 3 | 2 | 6 | 4 | 5 | 1 | 3 - первообразный корень |
| 4 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | |
| 5 | 5 | 4 | 6 | 2 | 3 | 1 | 5 - первообразный корень |
| 6 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 |
xax mod 11 4 первообразных корня
| a | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 2 | 2 | 4 | 8 | 5 | 10 | 9 | 7 | 3 | 6 | 1 | 2 - первообразный корень |
| 3 | 3 | 9 | 5 | 4 | 1 | 3 | 9 | 5 | 4 | 1 | |
| 4 | 4 | 5 | 9 | 3 | 1 | 4 | 5 | 9 | 3 | 1 | |
| 5 | 5 | 3 | 4 | 9 | 1 | 5 | 3 | 4 | 9 | 1 | |
| 6 | 6 | 3 | 7 | 9 | 10 | 5 | 8 | 4 | 2 | 1 | 6 - первообразный корень |
| 7 | 7 | 5 | 2 | 3 | 10 | 4 | 6 | 9 | 8 | 1 | 7 - первообразный корень |
| 8 | 8 | 9 | 6 | 4 | 10 | 3 | 2 | 5 | 7 | 1 | 8 - первообразный корень |
| 9 | 9 | 4 | 3 | 5 | 1 | 9 | 4 | 3 | 5 | 1 | |
| 10 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 |
xax mod 9 2 первообразных корня
| a | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 2 | 2 | 4 | 8 | 7 | 5 | 1 | 2 - первообразный корень |
| 3 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | не взаимно простое с 9 |
| 4 | 4 | 7 | 1 | 4 | 7 | 1 | |
| 5 | 5 | 7 | 8 | 4 | 2 | 1 | 5 - первообразный корень |
| 6 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | не взаимно простое с 9 |
| 7 | 7 | 4 | 1 | 7 | 4 | 1 | |
| 8 | 8 | 1 | 8 | 1 | 8 | 1 |
xax mod 8 нет первообразных корней!
| a | 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 2 | 2 | 4 | 0 | 0 | не взаимно простое с 8 |
| 3 | 3 | 1 | 3 | 1 | |
| 4 | 4 | 0 | 0 | 0 | не взаимно простое с 8 |
| 5 | 5 | 1 | 5 | 1 | |
| 6 | 6 | 4 | 0 | 0 | не взаимно простое с 8 |
| 7 | 7 | 1 | 7 | 1 |
Теорема. Пусть p – нечетное простое (то есть простое, не равное 2). Тогда по модулям вида pk и 2 pk , k = 1, 2, 3,… существуют первообразные корни.
Доказательство смотри в книге Ю.С.Харин и др. «Математические и компьютерные основы криптологии»
Множество чисел меньших m и взаимно простых с m (приведенная система вычетов) образует циклическую мультипликативную группу, причем первообразный корень является образующим элементом этой группы.
Дискретный логарифм
Определение. Пусть b - натуральное число, взаимно простое с m и ax mod m = b, тогда число x называется дискретным логарифмом числа b по модулю m при основании a или индексом числа b по модулю m при основании a. Обозначается: x = inda b или без указания основания: x = ind b.
В приведенных выше табличных примерах дискретные логарифмы (индексы) для чисел взаимно простых с модулем (строки с желтыми заголовками) находятся в заголовках столбцов - ячейках с зеленым фоном. Как видно из примеров, однозначность определения дискретного алгоритма обеспечивается только в том случае, когда основанием a является первообразный корень. Причем, для того чтобы дискретные логарифмы существовали для всех чисел, меньших модуля m, необходимо чтобы m было простым числом, то есть взаимная однозначность и замкнутость операций возведения в степень и дискретного логарифмирования выполняется только в поле Галуа.
Свойство. Дискретный логарифм произведения равен сумме логарифмов:
inda bc = inda b + inda c (mod m).
Доказательство. Перемножим по модулю m степени b = aind b mod m и c = aind c mod m.
Получим bc mod m = aind b+ind c mod m, что и требовалось доказать.
Свойство. Показатель степени выносится как множитель за знак дискретного логарифма:
inda bk = k inda b (mod m).
Доказательство. Полагаем сначала k = 2 и, опираясь на предыдущее свойство дискретного логарифма, по индукции доказываем равенство для любого k.
А.В.Бруханский
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
