algebra (1014201), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Если ,то

,

где для i>m, и

,

где для всех i=0,1,2,...,m+n

Многочлен f(х) называется неприводимым над R, если он не яв­ляется произведением двух многочленов над R ненулевой степени.

4. Пусть R[x] - кольцо многочленов над кольцом R и f(x)R[x]. Отображение φ кольца R[x], при котором каждому многочлену h(x) из R[x] соответствует остаток от деления его на f(х), называют фак­торизацией по модулю f(х).

Множество образов отображения φ, обозначаемое R[x]/f(x), явля­ется кольцом относительно операций сложения и умножения (с по­следующей факторизацией по модулю f(x)) и называется фактор-кольцом кольца многочленов R[x] по модулю f(x). Отображение φ:R[x]→R[x]/f(x) является гомоморфизмом.

Кольцо называется кольцом с единицей, если оно имеет мульти­пликативную единицу, то есть такой элемент е, что а*е = е*а = а для любого aR.

Кольцо называется коммутативньхм, если операция умножения коммутативна.

Коммутативное кольцо называется полем, если его ненулевые элементы образуют группу относительно операции умножения. Ина­че говоря, полем называется множество Р элементов, на котором оп­ределены операции сложения + и умножения *, обладающие свойст­вами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, при этом относительно обеих операций существуют нейтральные элементы и для всякого а (для всякого b≠0) существует обратный эле­мент относительно операции + (относительно операции *).

Примеры полей:

1. Множество действительных чисел D.

2. Множество рациональных чисел Q.

3. Множество комплексных чисел K.

4. Кольцо Z/p. Если р - простое, то Z/p является полем Галуа по­рядка р и обозначается GF(p).

5. Если Р - конечное поле простого порядка р u f(х) -неприводи­мый многочлен степени п над полем Р, то P[x]/f(x), является полем порядка

Порядок единицы поля Р как элемента аддитивной группы поля Р называется характеристикой поля Р. Таким образом, характеристи­ка поля GF(p) равна р. Поле Q по определению имеет характеристику 0.

Векторные пространства

Пусть имеется поле Р и множество R, на котором заданы две опе­рации: внутренняя бинарная операция сложения + и операция умно­жения * элементов множества R на элементы поля Р, результат кото­рой принадлежит множеству R. Множество R называется векторным пространством над полем Р, а его элементы - векторами, если R -абелева группа относительно + и для любых α,β  Р и x,y  R выполня­ется:

Вектор , называется линей­ной комбинацией векторов x₁,x₂,...,x_n из R. Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если a₁ = a₂ = ... = a_n = 0, и не­тривиальной в противном случае.

Векторы x₁,x₂,...,x_n называются линейно зависимыми, если их некоторая нетривиальная линейная комбинация равна нулевому век­тору, и линейно независимыми - в противном случае.

Пространство R называется n-мерным, а n- числом измерений или размерностью пространства R (обозначается dimR = п), если в R существуют и линейно независимых векторов, а любые n+1 векторов из R линейно зависимы.

Если в пространстве можно найти линейно независимую систему из любого числа векторов, то пространство называется бесконечно­мерным.

Система {x₁,x₂,...,x_n} из п линейно независимых векторов про­странства R, заданных в определенном порядке, называется базисом пространства R. Любой элемент пространства R представляется од­нозначно в виде линейной комбинации элементов базиса {x₁,x₂,...,x_n}:

Числа a₁,a₂,...,a_n называются координатами вектора х в базисе {x₁,x₂,...,x_n}.

Примеры n-мерных векторных пространств.

1. Множество V_n двоичных n-мерных векторов:

где Р - поле.

2. Множество Р[λ] многочленов над полем Р степени, меньшей n:

Подмножество пространства V, являющееся пространством, на­зывают подпространством пространства V.

Если , то наименьшее подпространство пространства V, содержащее в качестве подмножества Н, то есть , называют линейной оболочкой множества H или подпространством, порож­денным множеством Н (подпространством, натянутым на мно­жество H). Обозначим это подпространство через <Н>. Несложно показать, что подпространство <Н> состоит из всевозможных линей­ных комбинаций векторов множества H.

Конечные расширения полей

Если F,P - поля и , то F называется подполем поля Р, а Р называют надполем или расширением поля F.

Каждое конечное поле характеристики р содержит простое поле, то есть поле, порожденное единицей. Такое простое поле изоморфно полю GF(p).

Если характеристика поля равна 0, то простое подполе изоморфно полю рациональных чисел. Таким образом, каждое поле есть расши­рение своего простого подполя.

Если , то поле Р можно рассматривать как векторное про­странство над полем F. Размерность этого пространства называется степенью расширения и обозначается символом [P:F].

Элемент аР называется алгебраическим над полем F, если он является корнем многочлена f(λ)F[λ]. При этом многочлен f(λ) на­зывается аннулирующим многочленом элемента а. Минималь­ным многочленом элемента а называется его аннулирующий мно­гочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным 1. Минимальный многочлен элемента а определяется однозначно и де­лит любой аннулирующий многочлен элемента а.

Теорема 2.8. Всякое расширение конечной степени является алгебраическим, то есть все элементы поля Р - алгебраические над полем F.

Доказательство. Для произвольного аР рассмотрим множество А его степеней:

где n = [P:F]. Так как число элементов множества А превышает раз­мерность пространства Р над полем F, то элементы множества А ли­нейно зависимы. То есть найдутся элементы c₀,c₁,...,c_n такие, что

Tем самым найден аннулирующий многочлен элемента а.

Пусть F(a) - наименьшее подполе поля Р, содержащее элемент а и поле F. Если элемент а алгебраичен над Р, то F(a) - это фактор-кольцо кольца многочленов F(X) по модулю минимального много­члена т_а(λ) элемента а.

Элемент а называется примитивным элементом расширения F F(a), а само расширение называется простым алгебраическим расширением. Степень этого расширения равна degm_a(λ).

Конечное расширение Р поля F называется полем разложения неприводимого над полем F многочлена f(λ), если Р - наименьшее поле, порожденное полем F и корнями многочлена f(λ). Многочлен f(λ) разлагается на линейные множители из кольца многочленов Р[λ].

Рассмотрим конечные поля. Так как любое конечное поле Р со­держит простое подполе F_p = GF(p), то степень расширения [P:F_P] конечна, пусть [P:F_P] = n и базис расширения есть x₁,...,x_n .Tогда лю­бой элемент х поля Р однозначно записывается в виде

где c₁,...,c_nF_p Для каждого из коэффициентов имеется p вариантов выбора, поэтому порядок поля равен pⁿ. Покажем существование по­ля Галуа GF(pⁿ) порядка pⁿ для любого простого р и любого нату­рального n.

Лемма 2.1. Многочлен не имеет кратных корней в поле разложения характеристики р.

Доказательство. Вычислим производную многочлена:

Многочлен взаимно прост со своей производной, значит, он не имеет кратных корней в поле разложения.

Теорема 2.9. Поле разложения многочлена содержит ровно pⁿ элементов.

Доказательство. Достаточно показать, что все pⁿ корней много­члена образуют поле. Пусть a,b - ненулевые корни нашего много­члена, а значит, и многочлена . Тогда

Используя формулу бинома и учитывая, что все слагаемые в пра­вой части формулы бинома, кроме первого и последнего, кратны степени, имеем:

Следствие. Все поля Галуа GF(pⁿ) изоморфны.

Теорема 2.10. Мультипликативная группа Р* любого конечного поля Р является циклической.

Доказательство. Группа Р* имеет порядок pⁿ –1 и является абелевой. Если она нециклическая, то, согласно теореме 2.3, НОК поряд­ков всех ее элементов равен r, где r - собственный делитель числа pⁿ -1. Следовательно, для всех a_i P* выполнено равенство (a_i )^r = 1. Отсюда имеем, что многочлен - аннулирующий для каждого элемента группы Р* и поэтому делится на минимальный для всех элементов группы Р* многочлен

Имеем противоречие, так как степень последнего многочлена больше r.

Образующий элемент а циклической группы GF(pⁿ)* называется примитивным элементом поля GF(pⁿ). Если взять элемент а в каче­стве примитивного элемента расширения F_p GF(pⁿ) то получаем, что всякое конечное поле характеристики р является простым алгеб­раическим расширением поля F_p.

Минимальный многочлен примитивного элемента поля GF(pⁿ) имеет степень n. Поле GF(pⁿ )изоморфно фактор-кольцу кольца мно­гочленов F_P[λ] по модулю некоторого неприводимого многочлена т(λ) степени п, при этом

Теорема 2.11. Поле GF(pⁿ) есть поле разложения всякого непри­водимого многочлена f(λ) степени п над полем F_p.k,

Характеристики

Список файлов книги