5Simulation systems Лекция 17-18 МКЭ вар в примерах (1014129), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Тогда суммарный вектор перемещений для е – го элемента будет:

где – прямоугольная матрица размером rxr, значения элементов которой зависят от положения рассматриваемой точки.

Используя далее зависимости Коши, связывающие деформации и перемещения, и закон Гука, можно получить выражения для компонентов деформации и напря­жения е-го элемента:

Здесь – матрица дифференциальных операторов, опре­деляемых содержанием зависимостей Коши; – матрица параметров, которыми характеризуются упругие свойства мате­риала тела в пределах объема рассматриваемого конечного эле­мента. Матрица упругости, которая связывает напряжения с деформациями, подробно изучается в учебниках по основам теории упругости. В структуре, состоящей из разных материалов, для каждого элемента можно задать свою собственную матрицу упругости. Кроме того, матрица упругости позволяет учесть изотропию или анизотропию свойств материала.

При расчете конструкций методом конечных элементов в перемещениях за неизвестные принимаются перемещения узлов по границам элементов, на которые расчленена вся конструкция.

Полная потенциальная энергия всей конструкции может быть записана в следующем виде:

Где первый член выражает потенциальную энергию деформации, а последний – работу внешних сил. Здесь обозначено:

– вектор деформаций всех конечных элементов

– матрица упругости элементов

– вектор – столбец перемещений узлов

– вектор – столбец внешних сил

Деформацию элементов можно выразить через первое из выражений (6.28). С учетом (6.27) подставляя его в (6.40) получаем:

Для отыскания неизвестных воспользуемся принципом Лагранжа, согласно которому действительным перемещениям соответствует минимум энергии .

Для обеспечения этого минимума надо составить производные от по перемещениям и приравнять их нулю.

Учитывая, что компоненты перемещений есть запишем первое слагаемое в (6.41) как:

Представив матрицу в виде диагональной матрицы, запишем :

Или, перемножая, получаем выражение:

Производные от которого будут:

В матричной записи производной называются вектор – столбец производных по элементам:

Взяв производную от второго слагаемого в (6.41), получаем:

Или, обозначая, , предыдущее равенство запишем в виде:

Это и есть основное уравнение метода перемещений. Здесь - матрица жесткости, вычисляемая по формуле (6.42).

8.2. Построение матрицы жесткости КЭ и системы вариационным методом (треугольный конечный элемент)

Реализацию вариационного подхода к формированию матрицы жесткости покажем на примере построения матрицы жесткости треугольного конечного элемента (пластины).

Для более глубокого понимания сути дальнейших математических операций кратко изложим основные положения плоской задачи теории упругости.

8.2.1.Плоская задача теории упругости

Отнесём твердое тело к прямоугольным осям координат x, y, z. Возьмём произвольную точку М тела, координаты которой до деформа­ции обозначим через x, y, z. После деформации эта точка займёт положение M₁ и её новые координаты обозначим че­рез x₁, y₁, z₁. Вектор MM₁ представляет перемещение точки М при деформации. Проекции вектора MM₁ на оси x, y, z обозначим соответственно через u, , w. Тогда имеем очевидные соотно­шения:

x₁ = x+ u, y₁ = y + , z₁ = z + w.

В дальнейшем мы будем рассматривать только такие перемеще­ния твёрдого тела, при которых расстояния между частицами тела изменяются, причём составляющими этих переме­щений будут величины u, , w. Перемещения u, , w будут меняться при переходе от одной точки, тела к другой и являются функциями координат точки:

u = f₁(x,y,z), = f₂(x,y,z), w = f₃(x,y,z)

Если деформируемое тело при деформации не получает разрывов, то эти функции будут

непрерывными и можно предполагать непрерывность частных производных этих функций.

Плоскую деформацию ( параллельную данной плоскости, например, Оxy), мы имеем

если имеют место только перемещения, параллельные этой плоскости. Поэтому для плоской задачи теории упругости:

u = u (x, y ), = v (x, y ), w = 0

Для определении внутренних сил, действующих в твердом теле при деформации, используют так называемые условия равновесия, которые требуют отсутствия движения тела при приложении к нему системы сил. Упрощенная развернутая запись этих условий для плоской задачи теории упругости приводит к системе следующих двух уравнений, называемых уравнениями Ламе:

; здесь: ; E –модуль упругости,

; ; - модуль упругости сдвигу.

- коэффициент Пуассона. ( - буква греческого алфавита. Произносится как ню)

(объемная деформация); (оператор Лапласа).

Неизвестными в этих уравнениях являются перемещения u = u (x, y ), v = v (x, y ).

По найденным перемещениям из соотношений Коши (2) можно определить деформации :

;

Из формул обобщенного закона Гука для плоского деформированного состояния определяются напряжения

При расчете пластин на нагрузки, действующие в их плоскости, задача описывается разрешающими уравнениями плоской задачи теории упругости. В качестве неизвестных здесь выступают перемещения u = u (x, y) и v = v (x, y) точек тела. Зная u и v можно определить деформации , а по ним – напряжения и , после нахождения которых задача считается решённой.

Покажем теперь решение подобных задач методом конечных элементов (вариационным подходом).

При расчете методом конечных элементов за неизвестные принимаются перемещения узлов по границам элементов, на которые расчленена вся конструкция.

Установим зависимость между перемещениями узлов треугольного элемента и действующими на узлы силами (см. рисунок).

Так как максимальная степень (по производным) уравнений (6.38) равна 2 (2m = 2), то минимальная степень интерполирующего полинома для этой задачи будет равна n = 2m –1 = 1. Поэтому примем, что перемещения любой точки внутри треугольного элемента зависят от координат точки линейно, т.е.:

Применяя первую формулу из (6.46) к узлам получим:

Отсюда определяем коэффициенты , выражая их через координаты узлов. Аналогично, записав вторую формулу из (6.46) для перемещений v узлов, выразим через координаты узлов. Подставив найденные значения в формулы (6.46), получим:

Где , а остальные коэффициенты получаются круговой перестановкой индексов i, j, m. Величина f представляет собой площадь треугольника, т.е.

Где означает определитель матрицы.

Имея формулы (6.47) для перемещений, можно по формулам Коши (6.44) найти деформации в точке пластины:

Где , а вектор – вектор перемещений узлов, т.е. .

Напряжения выражаются формулами (6.40) или в матричной записи:

.

Более компактно это запишется так: , где - матрица упругости (жесткости) элемента.

Вектор нагрузок:

и вектор перемещений узлов:

связаны известным уравнением .

Для установления интересующей нас зависимости, воспользуемся обозначением из формулы (6.42), полученной вариационным методом.

Так как , где – толщина пластины, – элемент площади, то считая постоянным и интегрируя, найдем для матрицы жесткости элемента формулу:

Где – матрица геометрии, – толщина пластины.

Матрицу жесткости можно записать в виде:

Если произвести перемножение матриц в формуле (6.48), то для коэффициентов получим:

Напряжения в пластине будут:

8.2.2. Построение матрицы жесткости системы (пластины)

Пусть требуется найти напряженно-деформированное состояние плоской пластины (см. рисунок), находящейся под действием системы распределённых нагрузок, приложенных к её сторонам (нагрузки находятся в равновесии, т.е. суммарные силы от этих нагрузок соответственно по осям х и у равны нулю).

Для решения задачи методом конечных элементов разбиваем пластину на треугольные панели – конечные элементы и заменяем распределённые нагрузки сосредоточенными в узлах силами в виде компонентов по осям xи y.

Например, для i- го узла, лежащего на границе, такими компонентами будут силы Pxi и Pyi. Цифры 1,2,3 и т.д – номера узлов, при этом 1,2,3,5 – узлы, лежащие на внешней границы пластины, а узел 4 – внутренний, к которому внешние нагрузки не приложены.

В дальнейшем будем рассматривать узел iи примыкающие к нему конечные элементы Л, П и Н, обозначающие соответственно левый, правый и нижний конечный элемент.

В i – ом узле конечных элементов Л, П и Н действуют силы . Эти же силы будут действовать в обратном направлении и на узел i, вырезанный из пластины, но на него также действуют и внешние силы . Из условия равновесия узла получим:

Такие условия равновесия можно составить для всех узлов пластины.

Условия равновесия в общей матрице будут:

, где - система сил, действующих в узлах конечного элемента I, записанная в столбце, содержащих 2n элементов; - система сил, действующих в узлах конечного элемента II и т.д.

Узловые силы в этой формуле могут быть определены как произведение матрицы жесткости на перемещения, т.е. ,только в соответствии с размером столбца сил, матрица жесткости должна быть записана как часть матрицы размером 2n х 2n, в которой 6 х 6 элементов соответствуют жесткости рассматриваемой части панели m в соответствующих ей строках и столбцах, а остальные элементы нулевые. Вектор представляет 2n всех перемещений узлов и имеет размерность2n.

Подставляя в условия равновесия в общей матрице получаем:

Где представляет суммарную матрицу жесткости пластины.

Характеристики

Список файлов лекций