5Simulation systems Лекция 13-14 МКЭ (1014127), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Тогда, склеивая интерполирующие полиномы по отдельным элементам, получим аппроксимирующую функцию u(x) для всей области.

Функцию u(x) можно представить в виде суммы:

Поясним использование координатных функций более подробно, считая для определённости, что значения функции, которую мы представляем с помощью интерполирующих полиномов, нам известны в точках x₀=0, x₁=1 , x₂=2 и х₃=3 и равны, соответственно, значениям 2, 1, 3 и 0. (Понятно, что в реальной задаче значения функции как раз и надо найти, для чего и используется метод конечных элементов). Итак, на первом конечном элементе с начальной и конечной координатами по оси х, соответственно, равными х=0 и х=1 интерполирующий линейный полином должен проходить через точки (0; 2) и (1;1).

Тогда, согласно (6.14), формула для этого полинома будет:

Для соседнего конечного элемента с координатами 1 и 2 формула для линейного интерполирующего полинома, проходящего через точки (1;1) и (2;3), согласно (6.14) будет:

Для третьего конечного элемента с координатами 2 и 3 формула для линейного интерполирующего полинома, проходящего через точки (2;3) и (3;0), согласно (6.14) будет:

Тогда:

для

для

Отсюда видна локальность координатных функций _i (x), каждая из которых оказывается отличной от нуля лишь в области конечных элементов, непосредственно примыкающих к данному узлу.

Это свойство координатных функций МКЭ позволяет как бы набирать искомое решение из отдельных универсальных кирпичиков. Именно в этом - одно из основных достоинств МКЭ.

Пример 2

Для одномерной краевой задачи, описываемой дифференциальным уравнением 4 – го порядка (2m=4), следует построить интерполирующий полином для конечного элемента. К этому классу задач относится задача изгиба балок.

Решение: n=2m-1=3

Следовательно, интерполирующий полином имеет вид:

(6.15)

Значительно проще строить выражение для интерполирующего полинома не в общей, связанной со всей областью, системе координат, а в местной, связанной с рассматриваемым конечным элементом.

О бозначим длину конечного элемента через l. (На рисунке положительные направления сил 1 и 3 и моментов 2 и 4).

Неизвестные параметры а_i согласно (6.14) из следующих четырех условий:

Введем для узловых значений функции u(x) обозначения:

, , , .

На рисунке показаны положительные значения величин. С учетом этих обозначений, получаем:

a₁ = q₁ a₁+a₂ l+a₃ l ²+a₄ l ³= q₃

a₂ = q₂ a₂+ 2a₃ l+3a₄ l ²= q₄

откуда:

a₁ = q₁

a₂ = q₂

Подставляя найденные значения параметров a_i в (6.15) можно получить для интерполирующего полинома выражение:

Где:

так называемые одномерные функции формы (в теории аппроксимации - функции Эрмита), удовлетворяющие следующим свойствам:

₁(0)=1; ₁’(0)=0; ₁(l)=0; ₁’(l)=0;

₂(0)=0; ₂’(0)=1; ₂(l)=0; ₂’(l)=0;

₃(0)=0; ₃’(0)=0; ₃(l)=1; ₃’(l)=0;

₄(0)=0; ₄’(0)=0; ₄(l)=0; ₄’(l)=1

Графики этих функций в пределах конечного элемента представлены ниже:

Располагая выражениями для интерполирующих полиномов каждого из конечных элементов рассматриваемой области можно представить для аппроксимирующей функции U(x) в виде суммы произведения узловых неизвестных на соответствующие координатные функции.

Вид координатных функций для одномерной области, разбитой на два элемента.

Здесь через обозначены узловые неизвестные для всей области (или в общей системе координат).

Двумерная область. Прямоугольный элемент

Пусть некоторая двумерная область , отнесенная к системе осей Oxy, представлена в виде совокупности конечных прямоугольных элементов _K(к =1,2,....М). Стороны каждого элемента параллельны осям Оx и Оy. Искомую функцию u(x,y) в границе e -го элемента представим в виде полинома:

(6.16)

являющегося произведением двух ортогональных одномерных полиномов вида (6.11). Общее число неизвестных коэффициентов равно .

Доказано, что если среди условий для определения коэффициентов полинома (6.16) присутствуют 4m² следующих условий:

то получаемые при этом аппроксимирующие функции обеспечивают непрерывность функции и ее производных до (m-1)- го порядка во всей области .

Отсюда следует, что минимальное число неизвестных, при котором оказывается выполненными условия сходимости метода, равно: r =(n+1)² = 4m²

Если же число r = (n+1)² 4m², то 4m² условий необходимо дополнить аналогичными условиями, но выписанными для некоторых других узловых точек, расположенных, например, посередине каждой из строк прямоугольного элемента.

Пример 3

Для двумерной задачи, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка (2m=2), построить интерполирующий полином.

Решение: Число узловых неизвестных r = 4m² = 4, а показатель степени полинома n = 2m-1 = 1. Следовательно, интерполирующий полином должен иметь вид:

Неизвестные коэффициенты определяются из 4m² условий, которые в данном случае принимают вид:

С учетом (3) система получается такой:

a₀ = q₁

a₀ + a₁ a = q₂

a₀ + a₂b = q₃

a₀ + a₁ a + a₂ b + a₃ ab = q₄

Подставляя , найденные из последней системы, получаем для интерполирующего полинома в границах конечного элемента выражение вида:

Где:

Пример 4

Построить интерполирующий полином для краевой задачи, описываемой дифференциальными уравнениями четвертого порядка (2m = 4).

Решение: Число узловых точек r = 4m² = 16, а показатель степени полинома n = 2m-1 = 3. Следовательно, интерполирующий полином для функции u(x,y) должен иметь вид:

Для определения 16 неизвестных коэффициентов в каждой из четырех узловых точек прямоугольного элемента нужно составить по четыре условия типа:

Подстановка выражения для в эту систему приводит к системе 16 алгебраических уравнений относительно коэффициентов через узловые значения искомой функции и ее производные , , , которые в МКЭ принимаются в качестве основных неизвестных.

Внося полученные в выражение для , получаем интерполирующий полином.

Следующим этапам МКЭ является построение матриц жесткости каждого конечного элемента и получения системы разрешающих уравнений.

Здесь возможны разные подходы. Облегчить понимание этого достаточно сложного этапа поможет использование терминологии механики сплошных сред.

Дело в том, что для таких задач вся процедура МКЭ сводится к простой и удобной механической интерпретации, которая позволяет ясно понять существо каждого из составных этапов метода при решении краевых задач.

7

Характеристики

Список файлов лекций