В.А. Столярчук. Анализ результатов расчетов в САЕ-системах (учебное пособие) (1014115), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Можно на простом примере показать, как может возникнуть очень неэф­фективный метод. Во многих элементарных учебниках по теории матриц или линейной алгебре излагается правило Крамера решения систем линей­ных алгебраических уравнений. Это правило связано с вычислением отно­шений некоторых определителей. Определители же, в свою очередь, обычно вводятся как сумма всех возможных произведений элементов матрицы, по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Всего имеется n! таких произведений. Если мы теперь приступим к вычислению опреде­лителя, непосредственно следуя приведенному определению, то нам по­требуется (n — 1) n! умножений и n! сложений. Если применить такой метод к очень маленьким матрицам, скажем 3X3 или 4X4, ничего плохого не произойдет. Предположим теперь, что мы _применим этот метод к мат­рице размерности 20 X 20, являющейся крайне небольшой для задач современного научного программирования. Если считать, что на выполнение каждой арифметической операции требуется 1 мс (10~⁶ с), то требуемое для вычислений время, если даже пренебречь всеми вспомогательными опера­циями программы, превысит миллион лет! В то же время метод исключе­ния Гаусса, который будет далее, выполнит все арифметичес­кие операции, необходимые для решения линейной системы порядка 20 X 20, менее чем за 0,005 с (по-прежнему считая, что одна операция выпол­няется за 1 мс). Хотя это и исключительный пример, но он очень наглядно иллюстрирует те неприятности, которые могут возникнуть, если при реше­нии задач на ЭВМ наивно следовать математическим рецептам.

Но даже если метод сам по себе является хорошим, чрезвычайно важно, чтобы реализующая его программа для ЭВМ была составлена как можно лучше, особенно в том случае, если ею будет пользоваться не только автор программы

Погрешность в результате расчета при использовании МКЭ складывается главным образом из погрешности дискретизации, обусловленной заменой тела, обладающего бесконечным числом степеней свободы, моделью с конечным числом степеней свободы, и погрешности округления чисел при выполнении вычислительных операций на ЭВМ.

Ошибки дискретизации.

Погрешность дискретизации зависит от ряда факторов:

а) выбора предполагаемого закона изменения неизвестной функции в объеме конечного элемента;

б) точности приведения внешних распределенных воздействий (например, распределенной нагрузки) к узловым усилиям;

в) размера конечного элемента.

г) формы конечного элемента

Помимо того, что увеличение числа КЭ приводит к более точному воспроизведению исследуемой области и более точному представлению объекта как сплошного тела, появляются и чисто физические факторы, способствующие более адекватному представлению поведения объекта. Например, для задач упругости с уменьшением размера конечного элемента доля деформационных составляющих в значениях обобщенных перемещений уменьшается по отношению к той их части, которая связана с движением элемента как абсолютно твердого тела. Так как вся теория упругости и смежные с ней науки построены на предположении очень малых деформаций, то уменьшение размеров КЭ способстувует более точному воспризведению дифференциальных уравнений в этом классе задач.

Форма конечных элементов тоже есть очень важный фактор. Наиболее просто его объяснить на примере прямоугольного КЭ. Точность представления интерполирующим полиномом искомой функции зависит от расстояний между узлами по осям, например, Х и Y. Очевидно, что если расстояние между узлами в одном направлении будет больше, то точность представления искомой функции в этом направлении будет меньше. Получается, что для прмоугольника в одном направлении точность представления искомой функции выше, а в другом – ниже. Именно поэтому предпочтительны квадратные КЭ. Качество треугольных конечных элементов можно оценить по минимальному углу. Ошибка метода КЭ при решении на треугольной сетке обратно пропорциональна величине синуса минимального угла в элементах сетки. Понятно, что элементарные соображения приводят к желательности равностороннего треугольного КЭ.

Можно показать, что использование для решения задач, описываемых уравнением 2m - го порядка, МКЭ на базе интерполирующих полиномов степени p для аппроксимации функции в области конечного элемента, приводит к относительной ошибке:

(a)

где a и l - характерные размеры конечного элемента и конструкции соответственно. Таким образом, путем достаточного уменьшения размера элемента теоретически можно достичь любой требуемой точности округления.

Ошибки округления.

Ошибки округления при решении системы линейных алгебраических уравнений:

(б)

возникают из-за усечения или округления исходных данных для матрицы и вектора , а также из-за накопления погрешностей вследствие округлений в ходе самого процесса вычислений.

При точном решении систем уравнений (б) число операций умножения примерно n³/3, где n - число уравнений системы, и очень сложно оценить эффект влияния такого большого числа округлений.

Исследования по этому вопросу показали, что для получения решения системы (б) с точностью до t десятичных знаков при использовании метода исключения Гаусса необходимо элементы в матрицах и задавать с точностью до t+r десятичных знаков, где

r = lq₁₀ n ( с )

Заметим, что указанная граница является верхней; она соответствует самому невыгодному случаю влияния округлений на результат.

При статистическом накоплении ошибок в формулу (с) вместо n можно внести :

r = lq₁₀

Ошибка округления всегда возрастает при увеличении числа конечных элементов. Это связано прежде всего с тем, что увеличение числа элементов приводит к резкому возрастанию числа арифметических операций.

Устойчивость решения системы линейных алгебраических уравнений.

Одной из самых серьезных трудностей, которая может встретиться при решении систем алгебраических уравнений, является неустойчивость этого решения, состоящая в том, что малые изменения матриц и вызывают значительные изменения в величинах неизвестных. При этом матрица называемая плохо обусловленной, а обратная матрица - неустойчивой.

Поэтому очень важно оценивать обусловленность матрицы.

В качестве меры обусловленности матрицы можно принять отношение ее основного определителя к наибольшему его элементу k_ij^max в степени, равной порядку определителя:

Чем больше это отношение, тем лучше обусловлена матрица. Такой способ оценки требует нахождения значения определителя системы, что в общем случае является весьма трудоемкой операцией. Значительно удобнее оценивать обусловленность матрицы с помощью спектрального числа обусловленности , Тем более, что непосредственно через определяется относительная погрешность решения системы уравнений (а)

(d)

где S - число десятичных значащих цифр, которыми оперирует вычислительная машина. При равномерной сетке элементов спектральное число обусловленности:

где с - некоторое число, зависящее от степени интерполирующих функций, используемых для описания состояния конечного элемента.

При этом суммарная относительная ошибка

Формула показывает, что задачи более высокого порядка (например, изгиб пластин, где m=2 ) оказывается более чувствительными к погрешности округления, чем задачи более низкого порядка (плоская задача, m=1 ). Далее уменьшение размера конечного элемента приводит, с одной стороны, к уменьшению погрешности дискретизации (формула (а)), а с другой стороны - к возрастанию погрешностей округления (формула (d)). Поэтому при практических расчетах следует выбрать такой размер конечных элементов, который приводит к допустимой погрешности округления. Получаемую при этом ошибку дискретизации можно уменьшить с помощью использования элементов с большим числом степеней свободы, для которых степень p интерполяционного полинома выше.

В заключение сформулируем требования к выбору интерполирующего полинома для неизвестной функции, выполнение которых гарантирует сходимость решения по МКЭ к точному решению:

1. Выбранные выражения для полинома должны содержать члены, которые приводят к появлению постоянных значений.

3. Выбранные выражения для полинома должны обеспечивать непрерывность функции и их производных до (m-1)- го порядка включительно во всей области, т.е. по объему каждого из конечных элементов и на гранях стыковки смежных элементов. Производная m - го порядка может быть кусочно-гладкой, имеющей разрывы 1-го рода на гранях стыковки смежных элементов. Только при этих условиях функционал Э (полная энергия) рассматриваемой системы определяется суммой полных энергий всех конечных элементов.

1. Сравнение результатов расчета в разных САЕ –системах.

Метод конечных элементов – это приближенный метод решения физических задач, описываемых дифференциальными уравнениями. Чаще всего - в частных производных. Приближенный потому, что задачи, решаемые этим методом, не имеют аналитического решения, а потому исследователь, кроме опыта, не имеет более или менее точного ориентира, чтобы убедиться в правильности полученного результата. Именно поэтому при ответственных расчетах стараются решать одну и ту же задачу в двух и более системах, тем более, что составление физической модели является субъективным актом для каждого исследователя в отдельности.

Тем не менее, всегда встает вопрос о совпадении результатов при решении в разных системах, так как инженер всегда желает получить какое-либо подтверждение своим расчетам. Выявление же разницы в результатах, полученных в разных системах на простых задачах имеет не только теоретическое значение, но и практический выход для оценки самого решателя системы.

Благодаря наличию в CAE Sigma аппарата экспорта модели в другие системы, в частности, в Femap имеется уникальная возможность просчета абсолютно идентичной модели решателями AnSys, Nastran и других систем, использующих Femap.

Выяснилось, что программы Sigma, Nastran и AnSys для идентичной конечно-элементной сетки с идентичными граничными условиями и значениями сил внешней нагрузки в узлах не дают одинаковый результат расчета как по перемещениям, так и по напряжениям.

С другой стороны вряд ли можно предположить, что программы, реализующие один и тот же метод, считают столь неодинаково, что результатам их решения нельзя доверять на всем диапазоне значений.

Следовательно, по результатам решения задачи в двух системах можно выявить какие-то условия, закономерности, при которых результаты, подсчитанные в разных системах, близки друг к другу и на этом основании сформулировать ограничения или рекомендации по получению наиболее достоверных результатов при решении задач в той или иной системе.

Поэтому при сравнении результатов необходимо оценить отличия в значениях, тех же самых напряжений, полученных в 2-х системах, например, Sigma и Nastran, чтобы сделать вывод о степени доверительности расчетов в этих двух системах. Это тем более важно, что вместо простейшего пластинчатого треугольного КЭ, при решении в Nastran-е использует конечный элемент типа Laminate;

Характеристики

Список файлов книги