Теплотехника Учебн.для вузов. Под ред. А.П.Баскакова. М. (1013707), страница 35
Текст из файла (страница 35)
— л (д(/дх)„з=а ((,— ( ). (14.15) По условиям симметричности температурного поля при х=О Аналитическое решение ' задачи (14.13) — (14,16) обычно приводится в безразмерном виде. т 25!и р„ 0 = ~ — — — — соз (((„Х) Х !(„+з(п р„соз р„ Хехр ( — ((~г"„), (!4.17) где 0=(! — ( )/((ь — ! ) — безразмерная температура; р„— корни характеристического уравнении с(п м,= !л,/В1; 3 Методы решения задач подобного йода рассматриваются в специальной науке ма тематической физике и ь данном кратком кур.
се не приводятся. Прзвнльн(ють решения можно проверить его но!Штановкой з исходное уравнение, а также в начальные н граничные условия. Ео=ат/6' — число Фурье (безразмерное время); В>=<хб/Х вЂ” число Био. Число Био характеризует отношение термического сопротивления переносу теплоты теплопроводностью от середины твердого тела к поверхности >)х=б/(ХЕ) к термическому сопротивленик> теплоотдачи Я =1/(аЕ). Условие (14.1) для термически тонкого тела можно записать в виде В1-~0 (практически В> ( 0,1).
Расчет по формуле (!4.17) можно выполнить с помощью любого микрокалькулятора с простейшим программированием. Вначале н интервале от 0 до п/2 находят первый корень р, уравнения с!ц и„= 1<„/В1 н рассчитывают первый член ряда, затем к нему суммируются последующие, длн которых интервал П„ сдвигается на значение и по сравнению с предыдущим значением рм (рис. 14.2). Ряд быстро сходится, обычно достаточно шести членов. При Ео =.
>0,3 можно о>раничиться одним первым членом. Еше проще воспользоваться имеющимисн в справочниках (9) номограммами, особенно если рассматриваемое тело цилиндрической или сферической формы, поскольку в решения таких задач входят специальные функции, а стандартных программ для их расчета у микроЭВМ нет. Распределение температуры по тол>инне пластины в раэлн >ные моменты времени представляет собой семейство кривых в координатах О, Х (или С х) с максимумом на оси пластины (рис. 14.3).
В любой момент времени Ро)О(т)0) касательные к кривой распределения температуры на границе пластины выходят из одной точки С, расположенной на оси Х на расстоянии 1/В> от поверхности пластины. Это несложно показать, если граничное условие (14.15) привести к безразмерному виду (дй/дХ)»= > = — Вйй По определению производной (дй/дХ)» , — — — !ц <р (рис. !4.3), следовательно, !и >р= В>0, Из рис. 14,3 видно, что !и гр=АВ/АС, где АВ= О,. Следовательно, АС=1/В>. При больших значениях В1 (практически при В1 100), когда а~!</б, рас- Рнс 14 2.
Графическое решение урлвненнн с!й н. = н./О< Рнс. 14.3. Распределение температуры по толшине охллждаемон пластины стояние 1/В>. О. Это значит, чт< сразу после начала процесса поверхнос"ь тела охлаждается до температуры жидкости (рис, 14.4, а). При таких режимах изменение температуры внутри тела определяется только термическим сопротивлением теплопроводности и далыейшее увеличение п уже не ускоряет п! оцесса охлаждения. Случай малых значений В<. 0 специально рассмотрен в начале данн >й главы. При этом АС=(1/В<) оо, т.
е. температура по толщине пластины н. изменяется (рис. 14.4, б). Решение (14.17) можно испол зовать и для расчетов температурног > полн в бесконечном стержне прямоу> ольной формы и даже в параллелепипеде. Такие тела рассматриваются как образсванные 1!3 йй-(г.— г) бз Сг,= 2 чч где а/ Ю/ а,=г(н Л /и'= 114 Рис 14 4. Распределение температуры потолщине охлаждаемой пластины при В1 аа (а) и В( О (б) пересечением двух или трех взаимно перпендикулярных бесконечных пластин, и безразмерная температура в любой их точке находится в виде произведения безразмерных температур в бесконечных пластинах, пересечением которых образовано данное тело.
Пример !4.1. Рассчитать время нагрева круглого прутна нз стали 20 диаметрам 50 мм и длиной 2 и от 0 до 800 'С в электропечи с телшературой 900 'С. В пределах заданного интервала температуры нагрева детали теплофнзические свойства металла и условия теплообчена сильно меняются, поэтому при выпачиении точного расчета целесообразно этот интервал разбить на более мелкие и полное время нагрева найти а виде суммы.
В качестве иллюстрации метода выполним лишь приближенную оценку сразу для всего температурного интервала (методика расчета не зависит от величины интервала температур нагрева). Теплофизические свой. ства металла и условии теплообмена будем считать при средней в заданном интервале нагрева тенпературе Г, =400 'С.
Н справочнике [15) найдем теплофизиче. скис свпйства стали при г, =400 'С: Л. = =427 Нт/(и ° К); р,=7682 кг/м'! с= =682 Дж/(кг ° К), 4=0,8. Теплофнзические свойства воздуха при Г =900 С и 1,=400 "С: Л„= =7,63 ° !О 4 Вт/(м ° К); т =155,1 ° 10 " и'/с, Рг =О 717; Рг,=0678; й =1/Т =1/(273+ +900)=8,5 10 ' 1/К. Коэффициент теплоотдачи при естественной конвекции по аналогии с примером (10.2) )Чп =0 5(Сг,рг„)""(Рг,/Рг)' "=- = 0,5 (2,17 1О'.
0,717)"' (0,717/0,678)' " = = 5,66, 9,81 8,5 10 '(900 †4).0,05з (! 55,1. (О-')' 2 17 !04. = 5 66.7,63.10 ~/0,05 =8,6 Вт/(и ° К). Тепловой поток излучением от стенок печи, именнцнх температуру !, к прутку найдем по аналогии с примером ( И .1) С!! з=зСспгПЯ[(Т /100) — (7 /!ОО)4[ = Р и/3 Х4 =0,8.5,67 ° 3,14 ° 0,05 ° 2 ~~ — — )— ~~~ !00 / -( ) 1=24 (Оз В .
Коэффициент теплоотдачи излучением "'=4)! г/пг(!(!" !')= =24 !Оз/3,!4 0,05 2(900 — 400) =153 Вт/(м' К). Суммарный коэффициент тепл<ютдачи бу. дет равен а=н.+а,=86+153=162 Вт/(м .К) Обратите внимание, что при высоких температурах теплообмен излучением является преобладаюшим н без большой погрешности величиной а„можно было пренебречь и не рассчитывать ее. Для выбора способа расчета времени нагрева вычислим В1=аг/Л = 162.0,025/42,7= = 0,095. Обратите внимание, что в число В) входит тгплопроводность нагреваемаго тела (метал.
ла), а в число ч)о — теплопроводность газа. Поскольку В((0,1, нагреваемос тело можно считать термически тонким и воспользоваться формулой (14.7), из которой с учетом того, что для цилиндра гт/)4=4/4( (плошадью торцов пренебрегаем), падучим суъ ( т= — —. 4а 1и— (м (и 682 7682.0,05 800 †8 (п 4 162 800--0 =888 с =15 чин 14.5. ПОНЯТИЕ О ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОНОДНОСТИ Аналитические решения задач теплопроводности удается получить только для простейших условий. В то же время современная вычислительная техника позволяет численными методами рассчитать распределение температуры в теле практически любой формы, даже с учетом изменения граничных условий или теплофизическнх свойств в зависимости ат температуры или времени.
Для решения численными методами уравнение теплопроводности заменяется системой алгебраических уравнений. Для этого рассматриваемое тело разбивается на несколько объемов АУ конечных размеров и каждому объему присваивается номер. В пределах объема АУ обычно в его центре выбирается у з л ов а я т о ч к а или у з е л. Теплоемность всего вещества, находящегося в объеме ЬУ (С= сРДУ), считается сосредоточенной в узловой точке. Узловые точки сое. пинаются друг с другом теплопроводящими стержнями с термическим сопротивлением теплопроводности Дх стенки толщиной, равной расстоянию между узлами, и плошадью, равной площади контакта объемов. Крайние узлы в зависи- Рис 14.5.
Участок числовой сетки для двух мерной ввдвчи гепдоправодности мости ат рода граничных условий либо поддерживаются при определенно ! температуре, либо обмениваются теплотой с окружающей средой. Система узлов и теплопроводяших стержней пазы )ается с ет к о й. [Для двухмерной зада (и она и в самом деле похожа на сетку (рис. 14.5).) Чем точнее и деталыее необходимо знать температурное поле в теле, тем мельче должна быть сетка, но при этом резко возрастает объем вычислений. Теплофиэические свойства вещества в узлах и условия нх теплообмен) друг с другом могут меняться от точки к точке и соответствовать реальной завис(мости теплофизических свойств и граничных условий от координат. После представления рдссма( риваемого тела в виде сетки састав.(яются уравнения теплового баланса для,(аждого узла.
Система балансовых уравнений представляет собой разностный аналог дифференциального уравнения теглопроводности, в котором произ водные заменены отношениями конечных приращений (разностей) независимых иеременных. Например, если начальные температуры узлов сетки, приведенн)дх на рнс.!4,5, равны й (эти температ(ры из.
вестны из начального условия), ) через промежутон времени Ьт будут равны (~, то для любого узла можно составить баланс теплоты, приравняв измене(ие энтальпни с~р,ЬК(б — й) к алгебраической сумме приходящих за время бт ковичеств теплоты АО, по всем теплоправ )дящим стержням. Так, для пятого узла сетки 2 5 св рва Ув (15 — Гз) = — + Д(2- 5) 4 5 6 5 8 5 (4 — 5) (6 — 5) (8 — Щ ( ! 4 . 1 8 ) Число таких уравнений буде г равно числу узлов, причем дл я всех в ну грен н и х узлов уравнения будут аналог ( ч ным и, а уравнения дл я крайних узл о ) будут учитывать граничные условия .
Решив эт и уравнения от н ас ител ьи о г,', найдем температуру всех узл ов через и р ом еж уток времени бт с н а ч ал а п роцесс,(. Затем полученное распределение температур 115 глс ! 5 (5 — 2! (2 — ) Х( ' ! ! й == — —; аг а61 ' 6'1 Л)2 2 +(! — 4Го — 2ро В() 12. )!! х «ь 116 берется за начальное и решение повторяется. Граничные условия и теплофизиче.
ские константы в каждом цикле могут отличаться от предыдуших, если они за. висят от температуры или времени процесса. Многократное повторение расчета позволяет найти распределение температуры в узловых точках в любой момент времени т= й/Лт, где й( — число повторений расчета. Пример 14.2.
Найти изменение во времени распределения температуры и тепловых потоков от боковых поверхностей кирпичной ко. лонпы сечением (Х ! ч и высотой (О и. Уело. вия на поверхностях колонны изображены на рис. (4.6 Теплофиэические свойства кирпичной клз.(чи Х=0,8 Вт/(м ° К), с= =900 Д,к/(кг ° К), р= (700 кг/м'. Началь. иая гемпература 1«=20 С Разобьем поперечное сечение колонны иа девять ячеек и в пределах этих ячеек выберем узловые точки. Узловые точки 1, 4, 7 и 3, Б, р лежат иа поверхностях, температуры которых поддерживаются шжтоянными, следовательно, (, (,=1,=.!ОО С и 1,=1«=1»= =200 'С ! (ерсме44нукг температуру будут иметь только три узла 2, 5, 8. Составим балансовые уравнения этих узлов.
Длн центрального узла 5 уравнение баланса ((4.!8) уже записано. Учитывая, что й 2 =(т 4 5 5 ! )( 5-5 ~~ з — 5 = = — = — и ЛУ»= ( — ! ( — ! ХЕ 661 Х( =6'1, выразим в явном виде температуру 15.' Н 1 =2()«С,се«гойтУ(мг И) Рис. (4.6. К примеру !4.2 15 — — Ро (12+ 14 + 15+ 15) +(! — 4ро) 1ы где Ро=оЛт/6' — число Фурье. Составим уравнение баланса энергии для узла 2, одна иэ границ которого обменииается теплотой с окружающей средой по закону Ньютона (9.!): ~1 — 1 г сгяглрг (12 — 12) = ) — + и -2! 12 12 12 15 2 ~ й«Л(э-2! М вЂ” 2! 1 Я 6 2 2 П вЂ” 2! В(з — 2! Выразим в явном виде температуру Н: 12 — — Ро(1(+12+215+2ВО )+ ай 20 ° 0,5 Здесь В(= — = — '=!2,5. 0,8 Точно так же можно составить и уравнение баланса энергии для восьмого узла, с ток' лишь разницей, что а=о и В(=О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
