УМК (1013374), страница 28

Файл №1013374 УМК (Учебно-методический комплекс) 28 страницаУМК (1013374) страница 282017-06-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Сравним f x 1 и f x 0 . Вывод: f x 1 < f x 0 . Перейдем к шагу 9.90 . Вычислим x 1x1 − x 001010Вывод: положим k = 1 и перейдем к шагу 3.( ) ( )∇f (x ) : ∇f ( x1 )31 . Вычислим ∇f x 1 : ∇f x 1 = ( − 0,625; 0,51) .41 . Вычислим1T= 0,81 > 0,1 . Перейдем к шагу 5.51 . Проверим условие k ≥ M : k = 1 < 10 = M .

Перейдем к шагу 6.61 . Зададим t1 = 0,25 .71 . Вычислим x 2 : x 2 = ( − 0,25; 0,375) − 0,25 ( − 0,625; 0,5)TT( )= ( − 0,094; 0,25) ;Tf x 2 = 0,056 .( )( )( ) ( )− x и f (x ) − f (x ) := 0,2 > 0,15 ;f (x ) − f (x )81 . Сравним f x 2 с f x 1 . Вывод: f x 2 < f x 1 . Перейдем к шагу 9.91 .

Вычислим x 2x 2 − x112121= 0,115 < 0,15 .Вывод: положим k = 2 и перейдем к шагу 3.( ) ( )∇f (x ) : ∇f (x )32 . Вычислим ∇f x 2 : ∇f x 2 = ( − 0,126; 0,406) .4 2 . Вычислим22T= 0,425 > 0,1 . Перейдем к шагу 5.5 2 . Проверим условие k ≥ M : k = 2 < 10 = M , перейдем к шагу 6.6 2 .

Зададим t 2 = 0,25 .7 2 . Вычислим x 3 : x 3 = ( − 0,094; 0,25) − 0,25 ( − 0,126; 0,406)TT( )= ( − 0,063; 0,15) ;f x 3 = 0,021 .( )( )( ) ( )− x и f (x ) − f (x ) := 0,105 < 0,15 ;f (x ) − f (x ) = 0,035 < 0,15 .82 . Сравним f x 3 и f x 2 . Вывод: f x 3 < f x 2 . Перейдем к шагу 9.92 . Вычислим x 3x3 − x223232Вывод: положим k = 3 и перейдем к шагу 3.( ) ( )∇f (x ) : ∇f (x )33 . Вычислим ∇f x 3 : ∇f x 3 = ( − 0,102; 0,237) .43 . Вычислим33T= 0,257 > 0,1 . Перейдем к шагу 5.53 .

Проверим условие k ≥ M : k = 3 < 10 = M , перейдем к шагу 6.63 . Зададим t3 = 0,25 .166T73 . Вычислим x 4 : x 4 = ( − 0,063; 0,15) − 0,25 ( − 0,102; 0,237)T( )T= ( − 0,038; 0,091) ;Tf x 4 = 0,0076 .( )( ) ( ) ( )9 . Вычислим x − x , f (x ) − f (x ) :x − x = 0,064 < 0,15 ;f (x ) − f (x ) = 0,015 < 0,15 .) − f (x ) < ε выполнены при k = 2,3 . РасчетУсловияx−x <ε ,f (xокончен.

Найдена точка x = ( − 0,038; 0,091) ; f ( x ) = 0,0076 .83 . Сравним f x 4 и f x 3 : f x 4 < f x 3 .344k +13433k4k +123k2T44II. Проведем анализ точки x 4 . Функция f ( x ) = 2 x12 + x1x 2 + x 2 2 является дваждыдифференцируемой, поэтому проведем проверку достаточных условий минимума в точке⎛ 4 1⎞x 4 . Для этого проанализируем матрицу Гессе H = ⎜⎟ .

Матрица является постоянной⎝ 1 2⎠и положительно определенной (т.е. H > 0 ), так как оба ее угловых минора Δ 1 = 4 иΔ 2 = 7 положительны. Следовательно, точка x 4 = ( − 0,038; 0,091)Tесть найденное при-( )ближение точки локального минимума x ∗ = (0,0) , а значение f x 4 = 0,0076 есть найT( )денное приближение значения f x ∗ = 0 . „Б. МЕТОД НАИСКОРЕЙШЕГО ГРАДИЕНТНОГО СПУСКААлгоритмШаг 1. Задать x 0 , ε1 > 0 , ε 2 > 0 , предельное число итераций M. Найти градиентT⎛ ∂ f (x )∂ f (x ) ⎞⎟ .функции в произвольной точке ∇f ( x ) = ⎜⎜,...,⎟xx∂∂1n ⎠⎝Шаг 2. Положить k = 0 .( )Шаг 3. Вычислить ∇f x k .( )Шаг 4. Проверить выполнение критерия окончания ∇f x kа) если критерий выполнен, то x ∗ = x k ;б) если критерий не выполнен, то перейти к шагу 5.Шаг 5.

Проверить выполнение неравенства k ≥ M :а) если неравенство выполнено, то x ∗ = x k ;б) если нет, то перейти к шагу 6.Шаг 6. Вычислить величину шага t k∗ из условия(.( )) → mintϕ(t k ) = f x k − t k ∇f x kk167< ε1 :( )Шаг 7. Вычислить x k +1 = x k − t k∗ ∇f x k .Шаг 8. Проверить выполнение условий(x k +1 − x k < ε 2 ,) ( )f x k +1 − f x k< ε2 :а) если оба условия выполнены при текущем значении k и k = k − 1 , то расчетокончен, x ∗ = x k +1 ;б) если хотя бы одно из условий не выполнено, то положить k = k + 1 и перейти кшагу 3.Геометрическая интерпретация метода для n = 2 приведена на рис.

2.C1 > C 2x2f ( x ) = C1x0− ∇f ( x 0 )x1f (x ) = C 2x1Рис. 2Пример 2. Найти локальный минимум функцииf ( x ) = 2 x12 + x1x 2 + x 2 2 .† I. Определим точку x k , в которой выполнен по крайней мере один из критериевокончания расчетов.1. Зададим x 0 , ε1 , ε 2 , M : x 0 = (0,5;1) ; ε1 = 0,1; ε 2 = 0,15; M = 10 . Найдем граTдиент функции в произвольной точке ∇f ( x ) = (4 x1 + x 2 ; x1 + 2 x 2 )T .2. Положим k = 0 .( ) ( )∇f (x ) : ∇f (x )30 . Вычислим ∇f x 0 : ∇f x 0 = (3; 2,5) .4 0 .

Вычислим00T= 3,9 > 0,1 . Перейдем к шагу 5.5 0 . Проверим условие k ≥ M : k = 0 < 10 = M , перейдем к шагу 6.6 0 . Следующую точку найдем по формулеx 1 = x 0 − t 0 ∇f ( x 0 ) = (0,5; 1)T − t 0 (3; 2,5)T = (0,5 − 3t 0 ; 1 − 2,5 ⋅ t 0 )T .168Подставим полученные выражения x11 = 0,5 − 3t 0 , x 21 = 1 − 2,5 ⋅ t 0 для координатв f ( x ) : ϕ(t 0 ) = 2 ⋅ (0,5 − 3t 0 ) 2 + (0,5 − 3t 0 ) ⋅ (1 − 2,5 ⋅ t 0 ) + (1 − 2,5 ⋅ t 0 ) 2 . Найдем минимумфункции ϕ(t 0 ) по t 0 с помощью необходимых условий безусловного экстремума:dϕ(t 0 )dt 0= 4 ⋅ (0,5 − 3t 0 ) ⋅ (−3) + (−3) ⋅ (1 − 2,5t 0 ) + (−2,5) ⋅ (0,5 − 3t 0 ) + 2 ⋅ (1 − 2,5 ⋅ t 0 ) ⋅ (−2,5) =d 2 ϕ(t 0 )∗= 63,25 > 0 , найденное знаdt 02чение шага обеспечивает минимум функции ϕ(t 0 ) по t 0 .Заметим, что можно получить формулу для вычисления наилучшей величины шага∗t k на любой итерации из условия= −15,25 + 63,25 ⋅ t 0 = 0 . Отсюда t 0 ≅ 0,24 . Так как(.( )) → mintϕ(t k ) = f x k − t k ∇f x kИмеем( ) (∇f x k = 4 x1k + x 2k ; x1k + x 2k)Tk( ) [(2k1k2t k∗=)) + (x − t (4x + x ))(x+ ( x − t ( x + x )) .ϕ(t k ) = 2 x1k − t k (4 x1k + x 2k )Из условия((4 4 x1 + x 2)k 2(4 x1k(+ 2 4 x1Определим t 0∗ : t 0∗ = 0,24 .k12k1( )k2)− t k (x1k + x 2k ) ++ 2x 2 kkk+ 2x 2)) + 2 (x2T)k 2.k+ 2x 2T= ( − 0,22; 0,4) .17 0 .

Найдем x 1 = x 0 − t 0∗ ∇f x 0 : x 1 = (0,5;1) − 0,24(3; 2,5)T( ) ( ):80 . Вычислим x 1 − x 0 : x 1 − x 0 = 0,937 > 0,15 . Вычислим f x 1 − f x 0( ) ( )f x1 − f x 0= 1,83 > 0,15 . Вывод: положим k = 1 и перейдем к шагу 3.( ) ( )∇f (x ) = 0,752 > 0,1 .31 . Вычислим ∇f x 1 : ∇f x 1 = ( − 0,48; 0,58) .41 . ВычислимT151 .

Проверим условие k ≥ M : k = 1 < 10 = M .61 . Определим t1∗ : t1∗ = 0,546 (см. п. 6 0 ).( )71 . Найдем x 2 = x 1 − t1∗ ∇f x 1 :x 2 = ( − 0,22; 0,4) − 0,546 ( − 0,48; 0,58)Tx 2 − x1= (0,04; 0,08) .TT( ) ( )= 0,41 > 0,15 ;f (x ) − f (x )81 . Вычислим x 2 − x 1 ,f x 2 − f x1 :2169)]2k12k2k2) + (x+ x )(x+ x2kkk1kkdϕ= 0 получаемdt kk(; x k − t k ∇f x k = x1k − t k 4 x1k + x 2k ; x 2k − t k x1k + x 2k1= 0,156 > 0,15 .T,Положим k = 2 и перейдем к шагу 3.( ) ( )∇f (x ) : ∇f (x )32 . Вычислим ∇f x 2 : ∇f x 2 = (0,24; 0,2) .4 2 . Вычислим22T= 0,312 > 0,1 .5 2 . Проверим условие k ≥ M : k = 2 < 10 = M .6 2 .

Определим t 2∗ : t 2∗ = 0,24 (см. п. 6 0 ).( )7 2 . Найдем x 3 = x 2 − t 2∗ ∇f x 2 :x 3 = (0,04; 0,08)− 0,24 (0,24; 0,2)T= ( − 0,0176; 0,032) .T( ) ( ):= 0,0749 < 0,15 ;f (x ) − f (x )82 . Вычислим x 3 − x 2 ,x3 − x2Tf x3 − f x232= 0,0116 < 0,15 .Положим k = 3 и перейдем к шагу 3.( ) ( )∇f (x ) : ∇f (x ), f ( x ) = 0,00127 .33 . Вычислим ∇f x 3 : ∇f x 3 = ( − 0,012; − 0,0816) .43 . Вычислим3x 3 = ( − 0,0176; 0,032)T3T= 0,082 < 0,1 .

Расчет окончен. Найдена точка3II. Проведем анализ точки x 3 . В примере 1 было показано, что точка x 3 являетсянайденным приближением точки минимума x ∗ . ■В. МЕТОД ГАУССА–ЗЕЙДЕЛЯАлгоритмШаг 1. Задать x 00 , ε1 > 0 , ε 2 > 0 ; предельное число M циклов счета, кратное n ,где n – размерность вектора x . Найти градиент ∇f (x ) .Шаг 2. Задать номер цикла j = 0 .Шаг 3.

Проверить условие j ≥ M :а) если j ≥ M , то расчет окончен и x ∗ = x jk ;б) если j < M , то перейти к шагу 4.Шаг 4. Задать k = 0 .Шаг 5. Проверить условие k ≤ n − 1 :а) если k ≤ n − 1 , то перейти к шагу 6;б) если k = n , то положить j = j + 1 и перейти к шагу 3.( )Шаг 6. Вычислить ∇f x jk .( )Шаг 7. Проверить выполнение условия ∇f x jk< ε1 :а) если условие выполнено, то расчет окончен и x ∗ = x jk ;б) если нет, то перейти к шагу 8.170Шаг 8. Вычислить t k∗ из условия⎛⎞⎛ ∂ f (x ) ⎞⎟⎟e⋅ϕ(t k ) = f ⎜ x jk − t k ⎜⎜k +1 ⎟ → min .⎟⎜tk⎝ ∂ x k +1 ⎠ x = x jk⎝⎠⎛ ∂ f (x ) ⎞⎟Шаг 9.

Вычислить x jk +1 = x jk − t k∗ ⎜⎜⋅ e k +1 .⎟x∂⎝ k +1 ⎠ x = x jkШаг 10. Проверить выполнение условийx jk +1 − x jk < ε 2 ,() ( )f x jk +1 − f x jk< ε2 :а) если оба условия выполнены в двух последовательных циклах с номерами j иj − 1 , то расчет окончен, найдена точка x ∗ = x jk +1 ;б) если не выполняется хотя бы одно условие, положить k = k + 1 и перейти кшагу 5.Геометрическая интерпретация метода для n = 2 приведена на рис.

3.x2f ( x ) = C1C1 > C 2x 01x 00x 02f ( x) = C 2x1Рис. 3Пример 3. Найти локальный минимум функцииf ( x ) = 2 x12 + x1x 2 + x 2 2 .† I. Определим точку x jk , в которой выполнен хотя бы один из критериев окончания расчетов.1. Зададим x 00 , ε1 , ε 2 , M : x 00 = (0,5;1) , ε1 = 0,1; ε 2 = 0,15; M = 10 . Найдем граTдиент функции в произвольной точке ∇f ( x ) = (4 x1 + x 2 ; x1 + 2 x 2 )T .2.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,34 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6417
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее