Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Методическое пособие

по курсу

"Математический анализ"

для студентов ф-та №4

Тема: Интеграл Фурье.

Автор: ст.преподаватель каф.805

Савостьянова Н.И.

Построение интеграла Фурье.

Будем рассматривать функции удовлетворяющие определённым условиям.

Опр.1. f(x) называют кусочно-гладкой на , если f(x) и f '(x) непрерывны для любого xÎR, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва 1-го рода (т.е. односторонние пределы для f(x) и f '(x) существуют и конечны). Если x_k – точка разрыва f(x), то выполнено равенство:

, (*)

т.е. значение f(x) в точке разрыва равно полусумме её односторонних пределов.

Опр.2. f(x) называют абсолютно интегрируемой на , если .

Совокупность непериодических кусочно-гладких абсолютно интегрируемых на функций обозначим .

Для функции f(x)Î введём следующие функции: , , , sÎ . (1)

Можно показать, что так определённые a(s), b(s), c(s) непрерывны для любого sÎR, а значит и интегрируемы на любом конечном промежутке.

Заметим, что в формулах (1) функция f(x) записана как f(t), что не означает замены переменной, а подразумевает лишь переобозначение её другой буквой.

Аналогом отдельного слагаемого ряда Фурье является функция , которая интегрируема на любом конечном промежутке. Преобразуем эту функцию с использованием формул (1), а также формул Эйлера: , , откуда ; , или . Тогда = = внесём cos(xs) и sin(xs) под интеграл, т.к. относительно переменной интегрирования "t" – это постоянные величины = воспользуемся формулой Эйлера = (2)

Аналогом частичной суммы ряда Фурье является следующий интеграл:

, (3)

или , (3')

т.к. для любого sÎ[o;N] имеем: -sÎ[-N;0].

Можно доказать, что для fÎ . Тогда из (3) следует . (4)

Полученное представление называют действительной формой интеграла Фурье, где функции a(s) и b(s) определяются по формулам (1).

При этом из (3') следует: , (5)

это называют комплексной формой интеграла Фурье, где c(s) определяется по формуле (1).

Заметим, что функцию c(s) называют спектральной характеристикой, а функцию Ф(s)=|c(s)| - спектром.

Преобразование Фурье.

Перепишем равенство (5), используя формулу (1).

. (6)

Функция называется прямым преобразованием Фурье, а функция называется обратным преобразованием Фурье.

Из равенства (6) ясно, что применение к f(x) Î прямого, а затем обратного преобразования Фурье восстанавливает функцию f(x).

Задача. Найти спектральную характеристику функции ; и построить график спектра.

Решение. Спектральная характеристика = определенный интеграл от "0" равен нулю = т.к. при , т.к. a>0 по условию ; итак, .

Вычислим . Для построения графика Ф(s) учтем, что Ф(s)>0, s ; Ф(-s)=Ф(s) и Ф(s)0 при s.

Н айдем экстремумы Ф(s). . Ф'(s)=0 при s=0, Ф'(s).

в т. s=0 Ф(s) имеет максимум, Ф(0)= .

Найдем точки перегиба. . Ф"(s). Ф"(s)=0 при s= .

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций