ma2-4savos1 (1013197), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

1) График f(x).

Ч тобы нарисовать график f(x) как нечетной функции, нарисуем сначала график на (0;2)È(2;3), а затем воспользуемся тем, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Из этих соображений получаем график f(x) на (-3;-2)È(-2;0). Затем продолжаем f(x) на всю числовую прямую как периодическую функцию с периодом T=6.

2) График S(x).

График S(x) отличается от графика f(x) в точках разрыва функции f(x). Например, в т. x=2 f(x) не определена, а S(x) имеет при x=2 значение, равное полусумме односторонних пределов функции f(x), именно: , где , .

3)

.

Итак, , тогда разложение f(x) в ряд Фурье имеет вид: .

№4. Разложить в ряд Фурье по косинусам .

Решение. Заметим, что в ряд Фурье по косинусам раскладываются только четные функции. Т.к. f(x) задана только для x>0, xÎ(0;2)È(2;3], то это означает, что на симметричный промежуток [-3;-2)È(-2;0) f(x) нужно продолжить так, чтобы выполнялось равенство: f(-x)=f(x). Поэтому длина промежутка , на котором f(x) задана как четная функция, равна 6, тогда T=6, l=3. Ряд Фурье в этом случае имеет вид: , где ; ; n=1,2,... (по формулам (4')).

1) График f(x).

Чтобы нарисовать график f(x) как четной функции, нарисуем сначала график f(x) на (0;2)È(2;3], а затем воспользуемся тем, что график четной функции симметричен относительно оси ординат. Из этих соображений получаем график f(x) на [-3;-2)È(-2;0). Затем продолжаем f(x) на всю числовую прямую как периодическую функцию с периодом T=6.

Здесь график f(x) нарисован на двух полных периодах функции.

2) График S(x).

График S(x) отличается от графика f(x) в точках разрыва функции f(x). Например, в т. x=0 f(x) не определена, а S(x) имеет значение: , поэтому график S(x) не прерывается в т. x=0, в отличие от графика f(x).

3) ; .

;

Разложение f(x) в ряд Фурье по косинусам имеет вид: .

№5. Разложить в ряд Фурье f(x)=|x|, x(-2;2)..

Решение. По условию, f(x) является четной функцией на (-2;2); т.е. ее ряд Фурье содержит только косинусы, при этом T=4, l=2, , где ; ; n=1,2,...

1. Г рафик f(x):

1. Г рафик S(x):

1. , т.к. |x|=x для x>0. ; .

Тогда разложение f(x) в ряд Фурье имеет вид: . Заметим, что при интегрировании выражений или применяется формула интегрирования по частям: , где u=x; dv=cos(ax)dx или dv=sin(ax)dx.

Комплексная форма ряда Фурье.

Пусть f(x) удовлетворяет условиям Дирихле на [-l;l] и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье: , где , , .

Используя формулы Эйлера , или ; , представим одну гармонику в другом виде: = = во втором слагаемом избавимся от мнимой единицы в знаменателе, домножив и числитель, и знаменатель дроби на "i" = = = ; обозначим ; . Учитывая формулы для a_k и b_k, имеем: ;

.

Последние равенства в выражениях для c_k и c_-k получены с учетом формул Эйлера. Учитывая, что , можно записать c_k и c_-k одним выражением: , k=0,1, 2,... Заметим, что .

Используя новое выражение для гармоники, частичную сумму ряда Фурье для f(x) можно записать в виде: ; а сам ряд Фурье, порождаемый f(x) имеет вид: . Он сходится к f(x), если существует . Так определенная сходимость называется сходимостью в смысле главного значения.

Итак, имеет место равенство: , где . Это равенство и есть разложение f(x) в ряд Фурье в комплексной форме.

Пример 1. Представить рядом Фурье в комплексной форме f(x)=e^x, o x 2; T=2.

Р ешение. Здесь T=2  l= и ряд Фурье имеет вид: , где .

1) График f(x):

2 ) График S(x):

3)

. Итак, , или , x[0;2).

Заметим, что при вычислении c_k использовано свойство: , если f(x) – периодическая функция с периодом T=2.

Пример 2. Представить рядом Фурье в комплексной форме f(x)=2^x, x(-1;1), T=2.

Решение. Здесь T=2, l=1 и ряд Фурье имеет вид: , где .

1 ) График f(x):

2) График S(x):

3) ; . Итак, , или , x(-1;1).

Характеристики

Список файлов лекций