Дополнительная лекция по теме СЛНДУ (1012981)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Дифференциальные уравнения. Лекция «СЛНДУ»стр.1Лекция №12 (дополнительная)СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДУ С ПОСТОЯННЫМИКОЭФФИЦИЕНТАМИ (СЛНДУ)Определение. Системой линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постояннымикоэффициентами (СЛНДУ) n -го порядка называется СДУ вида: y 1 = a11 y1 + a12 y 2 + ... + a1n y n + f1 (t) y = a y + a y + ... + a y + f (t) 221 122 22n n2........ y n = a n1 y1 + a n2 y 2 + ... + a nn y n + f n (t)Решение СЛНДУ может быть найдено методом вариации произвольных постоянных, а в случае,если функции f j (t) имеют специальный вид – методом подбора частного решения.Решение СЛНДУ методом вариации произвольных постоянныхАлгоритм решение СЛНДУ методом вариации произвольных постоянных1. Решить соответствующую СЛОДУ, записать её общее решение.2. В полученном решении заменить произвольные постоянные C j на неизвестные функцииC j (t )3.

Подставить полученное решение в исходную СЛНДУ, получится система алгебраических .уравнений относительно Cj .4. Решить систему, найти: Cj : C (t) = C5. Найти C j ( t ) , проинтегрировав Cjj∫ j (t)dt + C j6. Подставить полученные выражение в решение из п. 2. Получится решение СЛНДУ.Доцент Лунева С.Ю., каф. 805 МАИ , 2017 г.Дифференциальные уравнения. Лекция «СЛНДУ»стр.2Пример 1. x = 2x + yДано: 4t y = x + 2y − 3eРешить СЛНДУ методом вариации произвольных постоянных.Решение: x = 2x + y1. Решаем ЛОДУ вида: . y = x + 2y 2 1Составим матрицу коэффициентов системы: A = . 1 21 2− λСоставим матрицу A − λE : A − λE = .2 − λ 1Составим характеристическое уравнениеλ 2 − 4λ + 3 = 0и найдем собственные значенияматрицы: λ1 = 1 , λ 2 = 3 . Собственные значения матрицы – корни характеристического уравнения– простые, действительные.Найдем собственные вектора матрицы и запишем решение СЛОДУ:x 1  1⋅t1 3⋅t  = C1   ⋅ e + C 2   ⋅ e y −1 1Запишем решение системы в скалярной форме: x = C1 ⋅ e t + C2 ⋅ e3tt3t y = −C1 ⋅ e + C2 ⋅ e2.

В полученном решении заменим произвольные постоянные на неизвестные функции: x = C1 (t) ⋅ e t + C 2 (t) ⋅ e3tt3t y = −C1 (t) ⋅ e + C2 (t) ⋅ e3. Подставим полученное решение в исходную СЛНДУ.Для этого найдем сначала производные x и y : ⋅ e3t + 3C (t) ⋅ e3tx = C 1 ⋅ e t + C1 (t) ⋅ e t + C22tt3t ⋅ e + 3C (t) ⋅ e3ty = −C ⋅ e − C (t) ⋅ e + C1122 ⋅ et + C ⋅ e3t = 0C12После подстановки получим: t ⋅ e3t = −3e 4t−C 1 ⋅ e + C2Доцент Лунева С.Ю., каф.

805 МАИ , 2017 г.Дифференциальные уравнения. Лекция «СЛНДУ»стр.3 иC .Это система алгебраических уравнений с неизвестными C123 3tC1 = 2 ⋅ e4. Решаем систему: .3t =− eC 223 3t1 3tC(t)=⋅edt=e + C11∫225. Найдем функции C1 (t) и C2 (t) :  = − 3 e t dt = − 3 e t + CC2 2 ∫ 226. Подставим найденные функции в решение из пункта 2: 1 3t t  3 t 3t x =  2 e + C1  ⋅ e +  − 2 e + C2  ⋅ e y = −  1 e3t + C  ⋅ e t +  − 3 e t + C  ⋅ e3t122 2 x = C1 ⋅ e t + C2 ⋅ e3t − e4tПолучим: t3t4t y = −C1 ⋅ e + C2 ⋅ e − 2e x = C1 ⋅ e t + C2 ⋅ e3t − e4tОтвет: t3t4t y = −C1 ⋅ e + C2 ⋅ e − 2eРешение СЛНДУ со специальными правыми частями методом подборачастного решенияВ случаях, когда неоднородности в правых частях уравнений СЛНДУ имеют специальный вид:cos(β t )f j ( t ) = ∑ Pm ( t ) ⋅  или  ⋅ e αt может быть применен метод подбора частного решения.sin(β t ) cos(β t )Рассмотрим подробнее структуру слагаемых правой части ДУ: Pm ( t ) ⋅  или  ⋅ e αt , здесьsin(β t ) •Pm ( t ) = p o + p1 t + p 2 t 2 + p 3 t 3 + ...

+ p m t m - многочлен по целым, неотрицательным степенямt степени m .•cos(βt ) или  - необязательный множительsin(β t ) Доцент Лунева С.Ю., каф. 805 МАИ , 2017 г.Дифференциальные уравнения. Лекция «СЛНДУ»стр.4Алгоритм решение СЛНДУ со специальными правыми частями методом подбора частногорешения1. Решить соответствующую СЛОДУ, записать её общее решение.2. Для каждого слагаемого в правой части каждого уравнения выписать параметры:m - максимальная степень t в многочлене Pm ( t ) , если слагаемое не содержит t , тоm = 0;β - коэффициент при t в аргументе cos(β t ) или sin(β t ) , если слагаемое не содержит ниcos(β t ) , ни sin(β t ) , то β = 0 ;α - коэффициент при t в аргументе экспоненты, если слагаемое не содержит экспоненты,то α = 0 .3. Сгруппировать слагаемые с одинаковыми парами ( α , β )для каждого уравнения, длясформированной группы выписать параметры: максимальное из m и общие β и α .

Каждое изнесгруппированных слагаемых представляет собой отдельную группу со своими параметрами.4. Сгруппировать слагаемые с одинаковыми парами ( α , β ) для всех уравнений, длясформированной группы выписать параметры: максимальное из m и общие β и α .5. Для каждой выделенной группы записать структуру частного решения по следующемуправилу:а) если β = 0 , то Yчаст = Q m +s (t) ⋅ eα⋅t , гдеQ m+s ( t ) - вектор многочленов по целым, неотрицательным степеням t степени m + s в общемвиде, здесьm - параметр группы;α - коэффициент при t в аргументе экспоненты является параметром группы;s - определяется следующим образом: если величина(α + iβ) , составленная изпараметров группы совпадает с корнями λ характеристического уравнения из п.1 , тоs равняется числу совпадений, если же величина (α + iβ) среди корней λ характеристическогоуравнения не встречается, то s = 0 .Доцент Лунева С.Ю., каф.

805 МАИ , 2017 г.Дифференциальные уравнения. Лекция «СЛНДУ»стр.5б) если β ≠ 0 , то Yчаст = [ Q m+s (t) ⋅ cos(β t) + R m+s (t) ⋅ sin(βt)] ⋅ eα⋅t , гдеQ m +s ( t ), R m +s ( t ) - векторы многочленов по целым, неотрицательным степеням t степениm + s в общем виде с разными коэффициентами, здесьm - параметр группы;α - коэффициент при t в аргументе экспоненты является параметром группы;β - коэффициент при t в аргументе cos(β t ) и sin(β t ) является параметром группы;- определяется как и в случае а).6.

Определить значения неизвестных коэффициентов методом неопределенных коэффициентов.7. Записать решение СЛНДУ как сумму решения СЛОДУ и всех частных.Пример 2. x = 2x + yДано: 4t y = x + 2y − 3eРешить СЛНДУ методом подбора частного решения.Решение: x = 2x + y1. Решаем ЛОДУ вида:  y = x + 2y x = C1 ⋅ e t + C2 ⋅ e3tОна имеет решение вида: (см.

пример 1.)t3t y = −C1 ⋅ e + C2 ⋅ e2. Исследуем структуру неоднородности в каждом уравнении исходной системы.Первое уравнение не содержит неоднородности.Второе уравнение содержит неоднородность f 2 (t) = −3e 4t с параметрами α = 4 β = 0 m = 0 .3,4. Группировки по уравнениям нет.5. Сформируем столбец частного решения по параметрам: α = 4 β = 0 m = 0 :α + iβ = 4 + i ⋅ 0 = 4 → S = 0 → m + S = 0 .Доцент Лунева С.Ю., каф. 805 МАИ , 2017 г.Дифференциальные уравнения. Лекция «СЛНДУ»Тогда Yчастстр.6 x част = A ⋅ e4t x част   A  4t=. =   ⋅ e или 4t y част   B y=B⋅e част6. Найдем значения A и B методом неопределенных коэффициентов.Для этого найдем сначала производные x и y :x част = 4A ⋅ e4ty част = 4B ⋅ e4tПодставим найденные функции в исходную систему:4A ⋅ e4t = 2A ⋅ e4t + B ⋅ e 4t4t4t4t4tB ⋅ e = A ⋅ e + 2B ⋅ e − 3 ⋅ e⇒4A = 2A + BB = A + 2B − 3⇒ x част = −e4tОкончательно: 4t y част = −2e x = C1 ⋅ e t + C2 ⋅ e3t − e4t7.

Получим: t3t4t y = −C1 ⋅ e + C2 ⋅ e − 2e x = C1 ⋅ e t + C2 ⋅ e3t − e4tОтвет: t3t4t y = −C1 ⋅ e + C2 ⋅ e − 2eДоцент Лунева С.Ю., каф. 805 МАИ , 2017 г. A = −1 B = −2.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций