Алгебраические системы и некоторые их приложения в теории информации и автоматизации проектирования (1012854), страница 3
Текст из файла (страница 3)
1.Б. ГЕ~пы подстановок Пусть Л вЂ” коне шо мн ьк ство из Рп элементов. Гр~ппа всех биекпий множества л в себя наэь веется с им яг гвической группой степени гк . Без ограничения обшносги можчо считать, что лшожество Х состоит из элементов 1 1,2„., П~ . Нам лая биекпия уэ называется подстанов хой и запнсьгвается (у,г ...,Ф .. ~ъ е.4' 4 ' ' г г" :дс под элементом.ф подписан его обр эЩ',4)эг'й. Произведением чодстановок является композиция отображ гний( ээф) ( л ) = Я'~(~Ф)). Например, для подстаяовоч лй -- (, ~~ ) и гР 2З4,123 Н (, ) плюомМуэ — — (, )„В го же времяфУэ — ( Н ~), тпк»то)дугуэ(Р. Единичная (тожпествгнпая) под- 1 ') 32 12 стаяоэка~ ', Сямметряческая группа степеви М /12, П1 ((1 2„.П/ обозкачается лагг я содержит П, .
элементов, / пх~ \ гол Яз нз тов: ,. =82:) .-():~) "-И~И ~132) Г(21З)Г Х ~З21)' Ппшаер 2 Для подставовкв / 1 2 3 4 5~ Т~2 (1 2 3 4 81 ~Ц3, 2 3 4 8 ) ~ 1 4 3 8 2/ (1 8 3 2 4 6 (1 2 3 4 8/ Тогда М (йг) - 4, Я' (2) * 5, Я'з(2) = 2, В подставовкаж~ элемшггы 1, 3 остаются па месте, элемеит 2 переходят в 4„ элемеят 4 - э 8, а элемеят 8 - сжова в 2.
Такая подстаповка мазыаается пяклом [248) длшпя трп, Зтст же пюгл маяло за- писать тэкг (482), (824). В обшем случае подставовкв,Ж, которая перемешает эле . ювты Д гу'Г„„,,~ь так по Х(~' Д у',.„~Я~~~) э~' °, т,е, Я' Я,)э~г, где А - ваяьишьшее число, обладаюшее этим г зйством в оставлякяцее ка месте осталыпле элемепты, пазмпяклом длшпл Х. я обозяачается (г~, ...,/~ ), ((пк- лы яазываются кезависвмымя, если овя ве имеют обшвх переставляемых элемевтов, тдшьь 5.
к ~„р ем яезавксвмых ппклов. Разлакевяе подстэвовки в провзведшпю пвклов определево одвозвачко с точяостью до порядка пяклов, ,((2)(йййййщ~таоэ ~1азовем два элемеата г яг: миожестваХ эпвявалептяымя отвосягальяо подставовхи Л, если~ = Л ( г) для некоторого пелого чясла Я, Отвошеяке эквявалептвостя от яосвтельпо перестановка Х есть отяошеяие экэввелеятиоств ва множестве Х, Ово разбивает мяожество па классы эквивалент ности по этому отношению: ХэХ,ОХ~К,. ОХа, Каждый элемепт (АХ прпнадлежвт одпому я только одному классу Хг, причем мяо- жество Хр состоит яэ образов элемеята с лрп дейсгаяп степеней подстаповкя с Я ~г Я(1)~,й~(г)1 Т~г г(()) Любой элемент, яе прянаалежаший Хг, остаетсп яе месте при действии степеней Я .
В каждом классе эквиэалеятпостяХ вы.- берем по одяому лредставвтелю Г и лоставкч ему в соотаетст,Фр,- г, зие цикл дликыА,»: (г,,Ф'г', ) „, 7 ~'с', ),), Тогда под- =таловка Л есть провзведеяве пиклов Л!'-"Я г Л~... 7о . (1,4) Доказательство единственности разложеяня (1,4) предосгавляется чвтатевю в качестве упражнения. Замечание, Если ияклЯ =фе~ ямеет длкну 1, то он действует как тождественная подстановка; такие циклы в записи (1,4) можно опускать. ~52876143 Пример 3 (1 2 3 4 5 6 7 8) (156)(38)(47)(2) „ = (156)(38)(47).
Пякл дэбы 2 называется транспозкияей, Любой пякл можно записать в виде проязведеняя тракспозкцнй, напрвмер, так: (У2... ~б-~1б)- (УЙ)('~б-Ф) .. (У3,)('~2~ Тогда вз теоремы 5 вытекает Слерсгвре Каждая подстановка в„з является произведением транспознцвй. Проев 4, В,Х„(123) (13)(12) (23)(13) = (13)(24) (12) (14). Разложение в произведение тракспозяпнй не является едвнс'пювным Можно доказать, что еслкЯеЯ ...~'й разложекне Я в произведение транспознияй, то число с = ('- ~) а', называемое четностью подстановки Я', не зависят от способа разложения ~ФО" " ~ ~0 для любых двух подстановок Я'и Сг .
Подстановка Хс ~отказывается четкой, если с'уу 1, и не четкой, если Р„7 -1. Все траяспозвцкн - нечеткые подстановки. Множество четных подстановок степени ~т образует подгрутюу У . Она называется знакопеременной подгруппой. Действнтельйо, согласно (1,5) Е~б' 1, еслк 8~еР ° * 1 иЕзу , поскольку б~ 1, Множество нечетных подстановок не образует группы, так как произведенке двух нечетных подстаковок есть четная подстановка. В пряложеняях к перечнслвтельным задачам комбкнаторяки ис. пользуется понятие ииклового индекса группы, Пусть ь: - подгруппа группы подстаяовок з .
Разложим каждую подстановку Д б С в произведение циклов, Есля в этом разложенни Ьт циклов длияы 1, ЬЗ циклов длины 2,Ь,~ циклов длины Рз, то говорят, что подстановка ~ имеет твп (Ь~,5з, ...,Ь ). Многочлеи от м переменных Л'„.х'~, ...,~б рз ~г~ !б ! ~бС где) (44 ( — число элементов группы 434, (4,,-,14»...„о~ )» тип подстановки ~1, называется цикловым индексом групПЫ23 . и юхе 5 пусть(34 — подгруппа Яе, порожденная элемен- 3 4 1~, Тогда23 состоит из четырех элементов: =12341 1 2 3/ и ее цикловой индекс равен 33' 2 Ж~„,й-„л~,ж )и„-йС,,)(, -~Х„). Упражнения.
у1 2 3 4 5 6 7 1. Раз3южнть перестановки, а) ~3 2 4 7 5 6 1 6/: 321234 5671 2. Найти порядок подгруппы, порожденной подстановкой (2 3 4 3 1) 3, Пусть Зт' — множество подстаиовок группы 48 . Будет лн оно подгруппой для ((2 3 1 4) (1 2 3 4) (3 1 2 4)'(2 4 1 3)~ 4 Описать все подгруппы симметрической группы,5 Группы б и Зт называются изоморфными, если сушествует биекция (и; ( И, сохреняюшая групповую оперению, т,е. (р® О») а(р(~~) ~9 (~~» ) оля любых ~ ~» е ~', (1.6) Группа саамосовмешений правильного треут'ольника из примера 6 (сьг.раэд, 1,4) изоморфна симметрической группе 3Уу .,Пействительио, груцпа самосовмешеннй состоит из трех врашений (Р3 1 о о о Ф~ 3ф» против часовой стрелки на углы О, 12О, 240 и трех симмеч733й ((32 1ф,фу относительно осей симметрии (см, рис.
1.1). Если перенумеровать множество вершин, то каждому из этих преобразований соответствует подстановка на множестве 11, 23 31; ,. ~1 2 3~ ((.„~1 2 3) 16 Это соответствие есть биекция, причем кз геометрических сооб- ражений вытекеет справедливость условия (1„6), т.е, групповая операция сохраняется, Группа классов вычетов по модулю 3 изоморфне цикличес кой группе порядке 3, что следует из рвссмстрения теблипы Кэпи (табл, 1,3), Мультвпдикативная группе положительных действвтельвь«х чисел изсморфиа еддитвввой группе всех дейст- ви е~ ных . Бис и (Р(««) 6"««'«у,) у твнэвлю ет и омор- фИЗМ, ЧтО СЛЕДУЕТ ИЗ РВВЕНСтзв бГ«('«ХЫ и б7 Й т Ь2 Р . Отметям спедукхпие свойстве изсморфизмв." 1. При изоморфизме единичный элемент переходит в единич- ный.
2. Обратный элемент переходит в обретный:(Р(~7 ) с(Р(д) 3, Обратное отображение(Р;Уэб' (существующее в силу того, что (Р - биекция) твкже является изоморфизмом. Тйсреь«е 6, Все циклические группы одного порядка изоморф- вы, Докэзвдййьстэо ействительно, если Б'х ")тэ - бесконечнвя группа, то все степени ~~ различны и б изоморфна аддитивиой группе целых чиселч Х, + 0>, так кек биекция «~~фэч)хЛ«удов- летворяет условию (1.6), Пусть теперь« - хонечиая группе порядка р . Тогдв онв иэоморфна группе клвссов вычетов по модулю 4.
~см.пример 6, рвэд. 1.4). Биекция «Р переводит элемент я в клесс Счч, 7тх 0,1, ..., ~ - ~, Пелагея ж+ г«э = ~+)",Оду "«Р, для любых хч и гх имеем «Р/~у 7"л ~ ~с~ (Р«'У/'Ф) б' э~' ~ (" (Р('~7 ) «Р(Д ) Разумеется, группы одного порядка мггут не быть изоморф- ными, Например, можно показать, что существуют ровно две нэ- изоморфные группы четвертого поридка: циклическея группа чет вертог«порядке ЕГ= хд э и тэк нэзывэемая четвертая группа Клейна К~ с таблипами Кэпи (тебл„1,4), Таблипэ 1,4 Оказыается, что с точностью до нзоморфвзма свмметрн- ческяе группы однсывшот все конечные группы, Тейд~ ~ (Твереза Кэлн), Всякая конечная группа поряд- ка»М изомор»)ша некоторой подгруппе свмметрической группы З~ . Дсч»ц»эат~ео: Пусть 6' — исходная группа порядка»т ~ =Щ,„, Д вЂ” ее элементы, 3,х - симметРическая группа по- рядка;т, которую можно считать группой всех бнекпнй множе- ства» в себя, так как прврода элементов, составля»ошах ото- бражаемое множество, несушествевна Лля любого элемента 2 к С рассмотрим отобра»кение.Ь » ' б, состошкее в умножении всех элементов пзй слева пад» ~,з»ф) =Я~~; ° тогда»2, 2~»э» ..
а~» будут различвымя эле» ментами группы», так как ар;=2у,'дь2 ~'ау,)ка7ау~;)з~'а'а.)р,. «у; ау .. и, следовательно, снова составляя»т всю группуб", отличаясь от~~,~э, „~гэ лишь расположением элементов, Значнт,Ьа- биектнвное отображеняе ~подстановка), образным к нему будет , ешинчным отображением являетсяЛк . Вследствве ассопяатввпосгн узшшкення в», имеем ~„~ ® з~айд вайд,) в~ ~~~ ~ дЦ. Отсюда вытекает, что ъпюжествс I~з~Ьа ~ ~ ..., Е оэ образует подгруппу в группе всех.бяектявяых отобра»пеняй мно- жества 0 иа себ»», т.е, в3 . Тогда отобра»кение ф»» С- »» сЗ такое, чтоу»»»»з~з~, для любого»2аР, есть взоморфвзм, поскаль»~~~~ б~) =~да =~а ' »а = 9»а 9»3 Упражнения, 1.
Найти все ~с точностью до взоморфвзма) группы, содер- кащяе: а) 2 элемента; б) З элемента, 2. Какие из следуюшвх групп кзоморфпы: а) группа враще- чий квадрата; б) группа самосовмешвяий ромба; в) группа само- совмешеянй прямоугольппка; г) группа классов вычетов по мо- зулю 4~ 3. Описывая самосовмешепия следу»оыих геометрических фягур подстановками па множестве вера»яп, указать.* а) группу врашепий тетраэдра; б) подгруппы этой группы, изоморфяые лнклической группе второго порядка и третьего; о) группу врашеиий куба. 1,8, Смежные классы по подг, Но ю делителя Пусть Ч - подгруппы группыь . Левым смежным классом б' поН называется множествоуФ всех элементов ви- да ~>Ь, где ~ — фиксированный элемент вэ й', а /х пробегает все элементы подгруппы И: ~Иэ ~ДЬ /Ь ЕН~ .
Аналогично определяется правый смежный класс И =~Ь~~ Я кИ~ . Заметны, что одянм из смежных классов является самз подгруп ИжИ эГИ. я Тщйемй Я, Ява чалых смежных классаб по И либо не ..е- ресекаются, либо совпадают, н множество левых смшкных клас- сов образует разбиение Б', ~дазателл~~ Лейсчъятельно, пусть классы Я~И и ~я И кмеют обшяй элемент й=у~,'г~ = Д~Ьг ую „Ргл 4И ТогдаЯ~э~,Ь Ь~ и:побой элемент~~ Уг класса~~~И имеет внд ~й~г.Л~9ю, где а~Рта УгэИ', значпт,Я~Ис~~ и, Аналогично можно показать, что~~ИсЯ~И и следовательно, эти классы ссъБпадают Так как любой элемент~~С содержится в смежном классе ~И, то множество левых смежных классов образует разбиэнне С=~ф. И. Поскольку кшкдое разбив~не порождает отношение эквива- лентности, то вэ денной теоремы вытекает Слещтвве, Отношение пршхадлежностя к одному левому смж- ному классу есть стнопшнне эквввалентностн, Лва элемента ~~ЩяС лежат в одном левом смежном клао- се Б поИ тогда н только тогда, когдаЯ~ Д ЕИ, Дейсчънгель но, пусть~~б~И, Я~ ЯЯИ, тогла у э~у, у у,ут ~у ~~ =у~-у~~~ эут-'~-ф Ь'г" .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
