Алгебраические системы и некоторые их приложения в теории информации и автоматизации проектирования (1012854), страница 10
Текст из файла (страница 10)
На етом графе опять определена описывающая функция (3.37) Тогда, если столбцы структурного чяслаЯЗ взаимно однозначно соответствуют осговным деревьям орграфа / так, что каждый столбец представляет совой ла~ожество значений описывакяцей функции (3,37) соответствующего остовного дерева, то орграф/" наэь$ веется геометряческвм иэображением чяспа Я я запвсывается в виде / =03(Я /. (343) Если простой орграф/"= сР,М> с верппшами г б с~1г ='/ ~~,) одностороние связен и /=-с>Ь/ЯЗ~, то .гВ .>(х) ® 3 .у у '*' з Я ~~ пР '3 пр * пр /~-/ г (3.44) где /' - однострочное структурное число, геометрвческггй образ которого Вс = ОЬ ( /у ) есть базяггасй подграф, т.е.
звезда юЗ з орграфа /', образованная дугами, инцидентнымн вершине е операшш /~~~~ соответствует перемножению структурных чисел по третьей хомпонеяте. Очевидно, что такая геометрическая шггерпретация структурного числа третьего порядка практически зквввалентна геометрической интерпретации структурных чисел первого порядка, но позволяет по значениям описывающей функция в столбцах структурного числаЯ сразу посгроять все оринггвроваяные доревья, 3 п~хсп ррь, с у р.зл,, а структурное чвслоЯ~, опвсывакацее деревья графа, а по значениям описывающей функции в столбцах определить псе деревья оргра) л.
; цч эрграфа составляем ссх:х; с~ са. -., х- .'1 числам и выражению (3.44) нвходвм: По этим структурным с 1,2,1 » 2,3,2 > к 3,6,6 » к 3,4,Я » с 1,2 ° 1» к 2,3,2> С 3,6,6 Ь 442 5» 1 2,1» в 4,2,5» к З„б,б " с 3,4,3 » Оу 3 ® (4) В) Рис. 3.4 Деревья, соответствуюаие столбпвм Я~, й~, Й у струк у у э турного числами~, поквзвны нв рис, 3,4>б,в,г соответственно.
Заметим, что среди этих деревьев есть првдерево с корнем 1, 3,4, Алгеб аические и оиэводные структурных чисел порядкв ь' Определим нв множестве структурных чисел порядка й Е опервиии, которые назовем алгебраическими производными. Нахождение алгебраических производных будем нвзыввть дюфференп»н олвнием. Прямой алгебраической производной структурного числа порядке~,лу называется сгруктурное число порядка ь': д,~'/д . ~ ~~ '~Я ~=-,2 т 1~„') „~б а„" в~у я ) (3.45) Обратной злгобрвической производной структурного числа порядка г.т нвзыввется структурное чьгло порядка ~: д.4 /Д~ "=-~Д, /с~/ фй~ ЕЯ ~ . (3 46) По алгобрвяческим производным (3.45) и (3.46) структурного числвЯ' можно восстановить само структурное число, т,е, пьйтп лорвообразпую ,4 = — —, В(~Х '~Ю вЂ”, ), (3 47) с .т' ~ пя Х вЂ” ~ ям~ пты число.т Заметим также, что —,( с') =У, Р (3.46) — Сс 3 =г).
у г У (ч 4а) Па~ей, Найти прямую и обратную алгебраические производные структурного числа ЯЗ из примера 5 (см.раэд. 3.3) по элементу сС У = ' 4,2,5 >: уды с 1,2,1> с 1,2,1> ( ~ЯЗ вЂ” с 3,66> с 2,3,2> г>аг с 3,4,3 > с 3,6,6 > гй с 1,2,1 > ' 2,3,2 ' 3,6,6 с 3,4,3 > Дн(~ференцирование структурных чисел для некоторых значений параметра г имеет простую геометрическую интерпретацию, Остановимся здесь танька на геометрической интерпретации производной структурного числа второго порядка Я , столбцы которого взаимно однозначно соответствуют факторам однородного орграфаГ=сЕ )(,~Р> с вершинами г еМ(г'с/и ) и дугами сф ~>б~ (,Ф ~ е Х), Геометрическое изображение столбца структурного числа ~' /ф я, где сра '~Ф, б>> предо>валяет собой факториальное соединение от г -го (фиктивнога) входа к е -му (фиктивному) выходу искомого орграфа Г.
Геометрическое изображение столбца структурного числа Я гг~' с где сгсесА, г >, представляет собой фактор искомого орграфа Г, который не содержит дугусг~хсА, г > в качестве составляющей одного из своих контуров 3.5. Функции от структурных чисел порядка На множестве с можно определить различные функции. Определим одну иэ этих функций и назовем ее детерминантной.
Пусть струит~нее число порядка с р'=Ж Жс. ~;1, ( 3.,5О-) г'= / где Ь - число столбцов структурного числа; г г ° - числа эаомепс тов в столбце структурного числа; 2' - заданное множество комплексных чисел,й;с с ., т,е. ~, ~ф . е 2. РС ;Петерминантной функцией (определителем) структурнага числа порпцка бЯе называется функция (3.51) ггу ~о гг' а о!е1 А~с=с(Н Ж IЮ~аг~й 3=Х~(-!) ' 'Пс~еб. ~йг .') = агу 4г .г~ йГ з, ~.е и; -Д(у) ' ' И.«,, гчу Фпа "'й,.' гдето ° - натуральное число, значение которого опреденгВтся с' парамсерамь г и с . Так, например, есин й 1, то;девермшгантная функдня структурного числа Я '= Я преобразуется к виду ,о 77 Ые~я=~ /7 я„ с3.52) сь=у йьг ~А; ДИйюЕ, Найти определитель структурного чиода лг' = 3 г 5 По отношению к комплексным числам й'г,,тэ, Е Ег.,й~ о' й,~йг ел. ~ег Я = г, К„Я'„К,гй'„,г Е; Х .
4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРЕЛАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИИ МЕТОПОМ СТРУКТУРНЫХ ЧИСЕЛ Как известно, линейная система упревпения описьпиется системой линейных диффереиниапьньгх уравнений в обшем спучае с перемшгньсми параметрами 18 ). Испопьзуя интегральное преобразование Лапласа, линейную стапнонарную систему можно отписать в об асти комплексного переменного в ап браической форме.
Используя спектральные преобразования, линейную стачиоиариуго и нестапионарную сисгы у также можно .записать в спектральной обпасгн в апгебраической форме. Следовательно, зад 1ча нахождения систеьвых характеристик систем управпения сводзггся к решению линейных алгебраических уравнений в свмвопьиой форме, Поэтому в этом раэдепе остановимся на продставпенгзя пинойаой системы управления, заданной системой лии зйных алгебраических уравнений ипи структурной схемой, снгиапьными графами, которыо являются но только графнчоской формой представления линейных систем, ио и формой иродставпения пинейяых систем управпения в ПВМ дпя автоматилапии ях проектирования, а также рассмотрим м.годику пычисзеиии псгл паточных функпий стапиопарных систоп; управпоьия методом структурных чисел.
34 ° ° 4 1 Сигяальные графы и их обжал характе нстика В настоящее время сушествует несколько форм представления лине%пах систем управления в виде сигнальных графов. Форма представления зависит от записи систем лвнейиых уравнений. Рассмотрим три связанных между собой сигнальных графа, введеияых Коутсом, Мезоном, Анисимовым. Граф Коттса.
Пусть система пикейных алгебраических уравнений задана в форме ЯХ =О. (4.1) Предположим, что матридаЯ=~Й»'' )) и вектор,Кж~~Д'-)) заданы как'блочные матрипы, Система (4.1) в зтсм случае имеет вид (4.2) где Я~Г - невырождевная матрена порядка Рт» тЕ;А - матри- па порядка Ух»,; Х г - вектор-столбеп порядка П»» неизвест- ных выходных переменных; »(д — вектор столбеп порядка г» ~ входных перемипчых;М,'ру - нулевая матрипа порядка Р" »Ру, а А~Х» - нулевая матршш порядка». »»', Свяжем нагруженный орграфСй с матрипей У . Пусть бй Й7) содержит/у+У верппш.к»,Хз...Х»х» н дуги ' Х Х >, нмекеее вес й; °, если й ' ГО. Очевидно, чтоЯ траиспоиированвая матрипа смакности графа»»'ф .
Граф б~ (А) Ф~ называется сигнальным графом Коутса, связанным с матрицей Я или, что то же самое, с системой (4 1). Учитывая, что.4д~ О и.»р»»2 0> матричное уравнение (4 2] можно представить в виде Я,А', +я х =О. (4,2) Подграф б~ ~'У ) графа ~~ Я~ называется однородпым сигнальным г Кжоутса и равеиб'ф(',т)М (Я ), Оп соответ- ствует одпородкой системе уравнений Ау~,,х~ =(». (4. ) Заметим, что если взять вернпшу Х 'однородного графа 6'~(.р ) и приравнять к кулю сумму провзведений весов дуг, заходяших в вершинуХ, и перемеиных, соответствукххих вер- шинам графа оф(.4 ), из которых эти дуги исходят, то получим г уравнение пз системы (4.1), дам а пр» (».о ЕХ = (Оу +Е~М, (4.Я где Я вЂ” определчяная ранее матрипа порядка ('»» Г)Х(П+ ), Е единичная матрипа того же лорщиа, что в»»', е Х -век- тор-столбеп переменных Х», Х,..., д'»х, г,.
( 4.6) иным и 56 ". эр-ш записи системы уравнений (4.1) в виде (4.5) наэы . ~о . причинно-следственной формой. Сьпжем нагруженный орграф б хйс матрипей Я . Пусть й'„(Я ) содеРжит: 1) йт ? веРшин Х~,х~й,...ххх,~( 2) дУгн хд",Х;>, имеющие вес йй -, если йй -ж0 и г'г,~ , .3) петли Х;,.Тй >, имеющие вес Я;;+1. Очевидно, что-'Р~,~ трзпспопщ.оеанная матрипа смежности графа Б"м .
Граф ~, (Я ) называется сигнальным графом Мезона, съя.— .йаллым с мэтрипей йй илп с системой (4.5) Заметим, что граф Коутса С„(Я йЕ ) есть сигиал~лый граф Мезона Б'„т(Я ), а граф Мезонаблу (Я-Е ) есть сигнальный граф Коутса С~ ГЯ~. Граф Мезона дает удобное графическое представление потока порелй нных в системе, так как каждую воршину Х. в гра( фо б',Ч (Я ) можно рассматривать как переменную (сигнал), которая равна сумме произведений весов дуг, заходящих в верши- нуХ, й и переменных, соответствующих вершинам, из которых лсходят эти дуги Используя продставление сисгемьс (4.1.) в виде (4.2), уравнение (4,5) можно записать и так: ~ ~с~-~ '~М ~~Ра ~ 2 "г лги У2 ° Подграфй хй (.~У ) графао',и (Я ) называется одноро сигнальным графом Мозона. Он соответствует однородной ме линешнях уравнений г„х, =~и„г„,) х,. (4:.7 ) Заметим, что наиболее характерной структурой графа Мезопа шйляется структура, отвечающая условию йй.--+ 1 =О, (4,8) гдг ~2 .- — диагональный элемент матрипы УХу ° сс ~д~А рр й.й б й й р йй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
