rpd000004998 (1010914), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Прикрепленные файлы:
Вопросы для подготовки к экзамену/зачету:
1.Понятие множества. Операции над множествами. Логическая символика.
2.Предел функции. Необходимое условие существования конечного предела функции. Единственность предела функции.
3.Теорема о пределах основных элементарных функций.
4.Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.) функции. Их свойства и связь между ними.
5.Арифметические свойства пределов функций.
6.Достаточное условие существования конечного предела монотонной последовательности. Число е.
7.Односторонние пределы.
8.Замечательные пределы и их следствия.
9.Сравнение функций. - и о-символика. Эквивалентные функции и их свойства. Таблица эквивалентных функций.
10.Непрерывность функции в точке, односторонняя непрерывность. Свойства функций, непрерывных в точке.Формулировка свойств функций, непрерывных на отрезке.
11.Непрерывность основных элементарных функций.
12.Точки разрыва и их классификация.
13.Производная функции. Односторонние производные. Необходимое условие существования конечной производной.
14.Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой, заданной явно.
15.Определение функции, дифференцируемой в точке, и дифференциала. Необходимое условие, необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
16.Дифференциал, его геометрический смысл и свойства.
17.Общие правила дифференцирования
18.Теоремы о производной сложной и обратной функций. Логарифмическая производная.
19.Дифференцирование функций, заданных параметрически. Уравнение касательной и нормали к кривой, заданной параметрически.
20.Теоремы о среднем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши
21.Правила Лопиталя-Бернулли
22.Формула Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.
23.Формулы Маклорена разложений функций: ex, cos x, sin x, ln(1+x), 1/(1+x)
24.Достаточное условие монотонности функции на промежутке. Критерий постоянства функции на промежутке.
25.Необходимое условие экстремума; достаточные условия экстремума (с использованием производных первого и высших порядков). Отыскание наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке.
26.Достаточное условие выпуклости функции вверх и вниз на промежутке. Точки перегиба. Необходимое условие и достаточное условие точки перегиба.
27.Определения асимптот. Необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения графика.
2. Экзамен (2 семестр)
Прикрепленные файлы:
Вопросы для подготовки к экзамену/зачету:
1.Точечное и векторное пространство Rn . Декартово произведение множеств. Понятие метрического и нормированного пространства
2.Окрестность точки в n-мерном пространстве. Замкнутые и открытые множества, свойства. Замыкание множества. Внутренность множества. Связность множества. Граница множества
3.Последовательность точек в Rn . Предел последовательности. Предел функции многих переменных (2 эквивалентных определения). Примеры вычисления
4.Непрерывность функции многих переменных в точке и на множестве. Свойство непрерывной функции на компакте.
5.Полное и частные приращения функций многих переменных. Частные производные первого порядка, их геометрический и физический смысл.
6.Понятие дифференцируемости функции многих переменных. Дифференциал функции. Теорема о существовании частных производных у дифференцируемой функции. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Дифференцируемость функции, имеющей непрерывные частные производные.
7.Производная по направлению. Градиент функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
8.Дифференцирования сложных и неявно заданных функции многих переменных.
9.Частные производные и дифференциалы высших порядков функций многих переменных: определения; связи между ними; матричная форма записи первого и второго дифференциалов.
10.Формула Тейлора для случая многих переменных.
11.Экстремум функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.
12.Определение первообразной и ее свойства
13.Неопределенный интеграл. Определение и свойства. Таблица интегралов. «Неберущиеся» интегралы
14.Формула замены переменной и формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла
15.Интегрирование элементарных дробей. Разложение действительных многочленов на множители
16.Схема разложения правильной рациональной дроби в сумму элементарных дробей. Интегрирование произвольных рациональных дробей.
17.Интегрирование тригонометрических и иррациональных выражений. Рационализирующие подстановки.
18.Определение определенного интеграла и его свойства. Условия существования.
19.Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его свойства
20.Основная теорема интегрального исчисления. Формула Ньютона-Лейбница.
21.Формула замены переменной и формула интегрирования по частям для определенного интеграла.
22.Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур; длин дуг плоских и пространственных кривых; вычисление объемов тел по площади поперечного сечения и тел вращения; площадей поверхностей тел вращения.
23.Несобственные интегралы. Понятия сходящегося и расходящегося несобственного интеграла. Эталонные несобственные интегралы
24.Интегральное исчисление функций многих переменных. Двойной интеграл Римана. Вычисление двойного интеграла. Свойства двойного интеграла.
25.Вычисление двойного интеграла через повторный в декартовой системе координат. Геометрические и механические приложения двойного интеграла.
26.Переход к полярным координатам в двойном интеграле. Геометрический смысл якобиана преобразования
27.Интегральное исчисление функций многих переменных. Тройной интеграл Римана. Вычисление тройного интеграла. Свойства тройного интеграла.
28.Вычисление тройного интеграла через повторный в декартовой системе координат. Геометрические и механические приложения тройного интеграла.
29.Понятие интеграла по мере. Измеримые множества. Свойства интеграла Римана.
30.Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройном интеграле. Геометрический смысл якобиана преобразования.
31.Криволинейный интеграл 1-го рода. Определение. Свойства. Вычисление для различных способов задания кривой.
32.Приложения криволинейного интеграла 1-го рода.
33.Поверхностный интеграл 1-го рода. Определение. Свойства. Вычисление для случаев проектирования на разные координатные плоскости.
34.Приложения поверхностного интеграла 1-го рода
35.Векторные и скалярные поля. Построение криволинейного интеграла 2-го рода; вычисление в случае пространственной кривой.
36.Вихрь (ротор) векторного поля, его свойства. Символика Гамильтона.
37.Потенциальное векторное поле. Теорема о существовании потенциала. Доказательство эквивалентности двух условий.
38.Потенциальное векторное поле. Теорема о существовании потенциала. (необходимость и достаточность).
39.Потенциальное векторное поле. Пример нахождения потенциала. Проверка правильности нахождения потенциала.
40.Понятие ориентируемой и ориентированной поверхности, сторона поверхности. Согласование ориентации поверхности с обходом её границы.
41.Построение поверхностного интеграла 2-го рода, его физический смысл.
42.Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода (через проекцию на плоскость, путем перехода к поверхностному интегралу 1-го рода)
43.Дивергенция векторного поля, её физический смысл.
44.Теорема Гаусса-Остроградского.
45.Теорема Стокса. Частный случай: формула Остроградского-Грина.
3. Экзамен (3 семестр)
Прикрепленные файлы:
Вопросы для подготовки к экзамену/зачету:
1.Основные понятия и определения. Задача Коши. Условия существование и единственность решения дифференциального уравнения 1-го порядка
2.Геометрический смысл ОДУ 1-го порядка. Метод изоклин
3.ОДУ 1-го порядка, разрешенные относительно производной. ОДУ с разделяющимися переменными.
4.ОДУ 1-го порядка, разрешенные относительно производной. Однородные ОДУ 1-го порядка.
5.ОДУ 1-го порядка, разрешенные относительно производной. Линейные ОДУ 1-го порядка. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)
6.ОДУ 1-го порядка, разрешенные относительно производной. Линейные ОДУ 1-го порядка. Метод подстановки (метод Бернулли).
7.ОДУ 1-го порядка, разрешенные относительно производной. Уравнение Бернулли
8.ОДУ 1-го порядка, разрешенные относительно производной. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
9.Уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной. Методы решения.
10.Особые решения. Нарушение единственности. Способы определения особых решений
11.ОДУ n-ого порядка. Основные понятия.Теорема существования и единственности решения для ОДУ n-го порядка
12.ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка: уравнения вида y'=f(x).
13.ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка: уравнения, не содержащие независимой переменной
14.ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка: уравнения, не содержащие искомой функции.
15.ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка: уравнения однородные относительно неизвестной функции и ее производных
16.Свойства линейного дифференциального оператора порядка n. Линейные ДУ порядка n. Определитель Вронского и его свойства
17.Структура общего решения линейного ОДУ n-порядка. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами
18.Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного ДУ с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных
19.Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Метод подбора частного решения
20.Понятие систем ОДУ. Приведение ОДУ n-ого порядка, разрешённого относительно производной к системе из n ДУ 1-ого порядка. Линейные системы ОДУ.
21.Решение линейных однородных систем ОДУ с постоянными коэффициентами (случай действительных корней характкристического многочлена).
22.Решение линейных неоднородных систем ОДУ. Структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных.
23.Числовой ряд: определение, сходящийся, расходящийся. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости. Сходимость и расходимость известных рядов.
24.Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами: признаки сравнения, Даламбера. Их применение к знакопеременным числовым рядам.
25.Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимости. Признаки сходимости Абеля, Дирихле,Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.
26.Функциональные ряды. Равномерная сходимость функциональных рядов. Дифференцируемость и интегрируемость равномерно сходящихся функциональных рядов.
27.Степенной ряд. Интервал и радиус сходимости. Нахождение радиуса сходимости. Исследование сходимости на концах интервала.
28.Операции алгебры и анализа над степенными рядами. Ряды Тейлора и Маклорена.
29.Условия сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции. Разложения ex, cos x, sin x, ln(1+x), (1+x) по степеням x
30.Функциональные пространства. Пространство L2 интегрируемых в квадрате функций. Свойства тригонометрической системы функций: 1,cos(pi*n/l) , sin(pi*n/l) на [-l;l], n=1,2,.
31.Разложение периодической функции в ряд Фурье. Вычисление коэффициентов Фурье. Условие Дирихле разложимости в ряд Фурье.
32.Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Неполные ряды Фурье. Ряды Фурье в комплексной форме.
33.Представление непериодических функций интегралом Фурье. Вычисление коэффициентов. Косинус-преобразование Фурье и синус-преобразование Фурье.Спектральная характеристика, спектр
4. Зачет (4 семестр)
Прикрепленные файлы:
Вопросы для подготовки к экзамену/зачету:
1.Множества на комплексной плоскости.
2.Числовые последовательности и ряды с комплексными членами. Анализ сходимости
3.Функция комплексного переменного. Элементарные функции.
4.Функция комплексного переменного. Непрерывность. Производная. Правила дифференцирования. Условия дифференцируемости
5.Аналитические функции. Их связь с гармоническими. Восстановление аналитической функции по заданной ее действительной или мнимой части. Простейшие отображения.
6.Интегрирование функций комплексного переменного. Криволинейный интеграл и его свойства. Вычисление интегралов
7.Основные теоремы интегрального исчисления. Теорема Коши для простого и сложного контураИнтегральная формула Коши. Вычисление интегралов по замкнутому контуру от функций комплексного переменного
8.Функциональные ряды в комплексной области. Анализ сходимости: нахождение области сходимости, исследование на равномерную сходимость
9.Степенные ряды: круг сходимости, свойства, действия над степенными рядами
10.Ряды по целым степеням
11.Разложение функций в ряды. Разложение функций в степенные ряды: ряд Тейлора, основные разложения
12.Нули аналитических функций. Алгоритм их нахождения и определения порядков
13.Разложение функций в ряды по целым степеням. Ряд Лорана
14.Особые точки функций комплексного переменного. Классификация. Ряд Лорана в окрестности особой точки. Правила определения порядка полюса
15.Определение типа особых точек для суммы, разности, произведения и частного функций.
16.Вычеты и их применение. Определение. Вычисление вычетов в полюсе и устранимой особой точке.
17.Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
