rpd000004705 (1008913), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

В то же время использование ряда других комбинаций норм матрицы и вектора приводит в данном случае к нарушению условия согласованности:

, .

Рассмотренный пример наглядно иллюстрирует важность использования согласованных норм матрицы и вектора.

Вычислим число обусловленности матрицы , взяв в качестве нормы матрицы . Для этого найдем сначала обратную матрицу:

и вычислим ее норму:

= .

В результате

=56.

Practice3.doc

Практическое занятие 3. Итерационные методы решения СЛАУ (2 ч, СРС – 1 ч, тема 1, лекция 3).

Пример 1. Методом простых итераций с точностью решить СЛАУ.

Р е ш е н и е.

Приведем СЛАУ к эквивалентному виду:

или

где ; ;

, следовательно достаточное условие сходимости метода простых итераций выполнено.

Итерационный процесс выглядит следующим образом.

; ; ;

;

;

; .

Таким образом, вычислительный процесс завершен за 4 итерации. Отметим, что точное решение исходной СЛАУ в данном случае известно . Отсюда следует, что заданной точности удовлетворяло решение, полученное уже на третьей итерации. Но в силу использования для вычисления погрешности оценочного выражения (1.20) (видно, что в данном случае , при этом , хотя ) процесс останавливается только на четвертой итерации.

Отметим также, что априорная оценка необходимого количества итераций в данной задаче дает: , т.е. для достижения точности , согласно априорной оценке, необходимо сделать не менее пяти итераций, что иллюстрирует характерную для априорной оценки тенденцию к завышению числа итераций.

Пример 2. Методом Зейделя решить СЛАУ из примера 1.

Р е ш е н и е.

Приведение СЛАУ к эквивалентному виду аналогично примеру (1.5). Диагональное преобладание элементов исходной матрицы СЛАУ гарантирует сходимость метода Зейделя.

Итерационный процесс выглядит следующим образом:

Таким образом, уже на второй итерации погрешность , т.е. метод Зейделя в данном случае сходится быстрее метода простых итераций.

Practice6.doc

Практическое занятие 6. Решение систем нелинейных уравнений (2 ч, СРС – 1 ч, тема 2, лекция 6).

Пример 1. Методом Ньютона найти положительное решение системы нелинейных уравнений

с точностью .

Решение. Для выбора начального приближения применяем графический способ. Построив на плоскости в интересующей нас области кривые и , определяем, что положительное решение системы уравнений находится в квадрате .

За начальное приближение примем .

Для системы двух уравнений расчетные формулы удобно записать в виде разрешенном относительно ,

где ,

, .

В рассматриваемом примере:

,

, .

Подставляя в правые части соотношений выбранные значения , получим приближение , используемое, в свою очередь, для нахождения . Итерации продолжаются до выполнения условия , где

.

Результаты вычислений содержатся в таблице.

k
0	0.25000 0.75000	0.06875 0.04375		1.01250 0.02500	0.30000 0.97500	0.05391	0.04258	0.97969
1	0.19498 0.70654	-0.00138 0.00037		1.00760 0.00734	0.28262 0.98050	-0.00146	0.00038	0.98588
2	0.19646 0.70615	0.00005 0.00000		1.00772 0.00797	0.28246 0.98035	0.00005	0.00000	0.98567
3	0.19641 0.70615

.

Пример 2. Найти положительное решение системы из примера 1 методом простой итерации с точностью .

Решение. Преобразуем исходную систему уравнений к виду

Проверим выполнение условия , в области : , . Для этого найдем

Так как , ,

, ,

то в области имеем

.

Следовательно, если последовательные приближения не покинут области (что легко обнаружить в процессе вычислений), то итерационный процесс будет сходящимся.

В качестве начального приближения примем . Последующие приближения определяем как

где ,

Вычисления завершаются при выполнении условия

,

где .

Результаты вычислений содержатся в таблице.

k
0	0.25000 0.75000	0.18125 0.70702
1	0.18125 0.70702	0.19674 0.70617
2	0.19674 0.70617	0.19639 0.70615
3	0.19639 0.70615	0.19641 0.70615
4	0.19641 0.70615

.

Practice5.doc

Практическое занятие 5. Решение нелинейных уравнений (2 ч, СРС – 1 ч, тема 2, лекция 5).

Пример 1.

Решить уравнение

с точностью .

Решение.

Для локализации корней применим графический способ. Преобразуем исходное уравнение к следующему эквивалентному виду:

Построив графики функций и , определяем, что у решаемого уравнения имеется только один корень, который находится в интервале .

Метод половинного деления. В качестве исходного отрезка выберем [0.4, 0.6]. Результаты дальнейших вычислений, согласно приведенному выше алгоритму содержатся в таблице.

Метод Ньютона. Для корректного использования данного метода необходимо, в соответствии с теоремой 2.2 (лекции), определить поведение первой и второй производной функции на интервале уточнения корня и правильно выбрать начальное приближение .

Для функции имеем:

, - положительные во всей области определения функции. В качестве начального приближения можно выбрать правую границу интервала , для которой выполняется неравенство (2.3, лекции):

Дальнейшие вычисления проводятся по формуле , где , .

Итерации завершаются при выполнении условия .

Результаты вычислений содержатся в таблице.

Метод секущих. В качестве начальных точек зададим: и .

Дальнейшие вычисления проводятся по формуле ,

где .

Характеристики

Список файлов учебной работы