01Hastq_1_2010 (1006397), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Прежде всего отметим, что ДЗС устойчиво существует только в телах, где заряды пространственно фиксированы: это диэлектрики, диэлектрические мембраны и металлы, погруженные в электролит. В проводящих телах локальный избыток зарядов быстро растекается и потенциал ДЗС существует короткое время - импульсно. Таков типовой процесс в мышцах и нейронах.

Простейшая структура ДЗС - плоский конденсатор (например, участок заряженной мембраны). Однако чаще поверхность мембраны может быть произвольно изогнута (рис 2.12). Поле, создаваемое ДЗС произвольной формы во внешней точке А определяется фундаментальной теоремой о потенциале ДЗС. Утверждается, что потенциал U_A не зависит от формы поверхности ДЗС, а зависит только от формы контура L, замыкающего эту поверхность. (Тамм) Величина потенциала в точке А с точностью до постоянного коэффициента равна значению пространственного угла , под которым виден контур L замыкающий поверх­ность ДЗС:

U _А = k ,

где k - коэффициент плотности зарядов диполей на поверхности ДЗС,  - пространственый угол.

Представим поверхность ДЗС суммой элементарных площадок dS. Каждая площадка имеет слои с зарядом +σdS и - σdS разделенные расстоянием ℓ. Момент М такого элементарного диполя равен σdSℓ. Потенциал U_dА в точке А от элемента dS по формуле для диполя будет:

U_dА = (M /8R²)_*cosφ = (σℓdS/8πR²)_*cosφ

где R- расстояние до точки А, φ - угол между перпендикуляром к поверхности dS и направлением на точку А. Из геометрических соображений видно, что (dS/R²)_*cosα есть величина телесного угла dΩ, под которым видна площадка dS из точки А. Потенциал U_А от всей поверхности S будет равен сумме (интегралу) по U_dА от всех элементов σdSℓ этой поверхности, т.е. сумме элементарных пространственных углов dΩ:

ч
то и утверждалось. Более строгое доказательство изложено в Тамм.

Если поверхность нашего ДЗС замкнута, то контур L и угол Ω отсутствуют. Замкнутая клетка не имеет внешнего поля. Если точка А расположена внутри замкнутого ДЗС, то потенциал А равен σℓ/2 не зависимо от точки расположения А, ибо в этом случае телесный угол  всюду равен 4 π. Так мы можем найти значение σ мембраны клетки.

Зная, что поле ДЗС не зависит формы его поверхности, обратим внимание на замыкающий контур L. Пусть он расположен в плоскости, а точка наблюдения А расположена далеко. В этом случае пространственный угол _А мал и равен S/R², где S - площадь, охватываемая замыкающим контуром. Будем перемещать точку А вокруг центра контура ДЗС по окружности радиуса R (много большего размера контура). _А будет изменяться как cos φ (иметь вид восьмерки). Следовательно для больших R поле ДЗС совпадает с полем диполя. Если форма замыкающего контура L не расположена в одной плоскости, то она может быть представлена набором отдельных "плоских" контуров ( рис 2.13). Если мембрана неоднородна и σℓ различна на разных участках, то мы имеем случай вложенных ДЗС со своими контурами L.

О
бычно вектора диполей заменяются общим суммарным вектором. При этом теряется информация о структуре дипольного набора. Поэтому приведение к единому вектору беспроигрышно только при измерениях на больших расстояниях.

2.8. Мультиполи высших порядков

Диполь и монополь есть простейшие элементы поля. Математики определили и более сложные структуры, например квадруполь (суммарное поле 4х монополей) и высшие мультиполи. Произвольную картину поля можно выразить через ряд / набор мультиполей. Эта задача является пространственным обобщением задачи Фурье: представить произвольную кривую набором (рядом / суммой) синусоид. Синусоида при переходе к полярным координатам имеет вид восьмерки, вторая гармоника этой синусоиды представляется лепестками диаграммы поля квадруполя и т.д. В пространстве сигналов разложение Фурье облегчает анализ преобразований (или искажений) частотными фильтрами и решение дифференциальных уравнений. Спектр сигнала имеет точный инженерный смысл. Спектр мультиполей не отображает четкие физические понятия. Более того, очень часто источниками полей биосигналов являются геометрически протяженные и разнесенные структуры: введение точечного центра разложения нарушает смысл отображения, а само разложение по мультиполям скрадывает физические особенности. Поэтому не рекомендуется пользоваться разложениями по мультиполям. Реальные поля произвольной формы практично представлять композицией полей диполей, монополей и структур ДЗС, т.е разложение желательно проводить по ряду форм физически существующих источников.

2.9. Метод зеркальных отображений

Измерительные электроды получают потенциал той точки тела, в которой установлены. В предположении, что тело безгранично продолжено и изотропно, на основании выше полученных формул не сложно рассчитывать потенциал поля в любой точке. Однако размеры тел ограничены и электроды мы располагаем чаще всего на поверхности, т.е. на границе, где наши формулы редко корректны. Существуют искусственные приемы, позволяющие использовать полученные выше простые формулы безграничного пространства в реальных ограниченных телах. Выше мы уже использовали возможность замены проводимости ρ в разных руслах тока. Однако в ряде случаев граница тела не совпадает с границами линий тока. Тогда можно применять принцип зеркальных отражений.

П
усть излучающий диполь лежит достаточно близко к одной поверхности тела, тогда мы можем не учитывать влияние обратной его стороны. Будем считать, что поверхность, где накладывается электрод, имеет большой радиус кривизны, т.е правомочна замена поверхности плоскостью. На практике это часто выполняется (рис 2.14.). Тогда слева от границы безграничная область с проводимостью σ=1/ρ, справа воздух с нулевой проводимостью. На этой границе должно выполняться следующее условие: токи, перпендикулярные к плоскости, равны нулю, ибо ток из тела в воздух не вытекает. То же можно сказать и о векторе Е напряженности поля. Это граничное условие будет выполнено, если проводящую среду продлим в правую область до бесконечности, но зеркально относительно плоскости раздела расположим второй источник поля, полностью аналогичный первому. Согласно принципу суперпозиции на плоскости раздела ортогональные составляющие линий тока реального и зеркального источников вычтутся (как встречные) до нуля: граничное условия будут выполнено. В результате мы получаем безграничную среду, где применимы точные формулы. Расчет снова делается простым. Отметим, что величина потенциала по плоскости раздела увеличится вдвое, увеличатся и тангенциальные составляющие плотности тока.

Многие реальные задачи не могут быть решены этими методом и требуют более подробных расчетов поля с использованием ЭВМ. Одним из способов построения алгоритма расчета использует замену сплошной непрерывной среды проводящего тела сеткой сосредоточенных резисторов, имеющих узлы i,j,k (метод электрических сеток). Составляются уравнения Киргофа и находятся потенциалы в интересующих точках (например, в точках расположения электродов). Первоначально шаг сетки делается редким для упрощения расчетов. Затем итерациями шаг уменьшается для достижения необходимой точности. Подобное построение используется в программе Консол (Сonsol Maltiphysics), обеспечивающей расчет поля с учетом конечных размеров тела.

2.10. Электродные отведения

Электроды используются как минимум в парном подключении. Два электрода образуют биполярное отведение. Если число электродов больше двух, то формируется или набор биполярных отведений, или синтезированные отведения (потенциалы разных электродов взвешенно обьединяются). В частном случае, если один электрод расположен близко к источнику, а другой далеко, то отведение называют униполярным. Действительно, вклад удаленного электрода пренебрежимо мал, следовательно его можно не учитывать, этот электрод можно размещать в произвольной удаленной точке. Такой электрод называют индиферентным. А близко расположенный электрод - референтным или сигнальным. Униполярными являются грудные отведения в электрокардиографии.

Если мы проведем линию от точки диполя к электроду, то потенциал каждого униполярного электрода будет определен как проекция момента диполя М на линию соединения с учетом величины квадрата расстояния 1/R². Потенциал равен проекции момента вектора диполя на соединяющую линию.

Векторное описание отведений

Биполярному отведению приписывается вектор отведения. Начало вектора расположено между электродами, он направлен от электрода, подключенного к отрицательному входу усилителя к «положительному» электроду. Принимаемый электродным отведением сигнал может интерпретироваться как проекция вектора диполя источника на вектор отведения (рис 2.15).

Д
ействительно, пусть источник - диполь лежит на линии, соединяющей точки размещения электродов (база отведения). Принимаемая электродами разность потенциалов V может быть записана:

V=(M /8πR₁²)_*cosφ - (M/8πR₂²)_*cos(180-φ),

где V - воспринимаемый сигнал, R₁,R₂ -расстояния от центра диполя до электродов, φ - угол между векторами диполя и отведения. Знак “-“ обозначает, что электроды расположены с разных сторон диполя и подключены к разнополярным входам биоусилителя. Т.к. cosφ = - cos(180-φ), то выражение упрощается:

V=[(1/R₁² + 1/R₂²) M/8π]_*cosφ,

В квадратных скобках сосредоточен член, определяющий изменение амплитуды с расстоянием, а cosφ определяет проекцию вектора диполя на вектор отведения. Мы имеем очень наглядную интерпретацию приема потенциала диполя отведением электродов.

Полученная выше формула совпадает с формулой для униполярного отведения. Действительно, если R₂>>R₁, то вкладом R₂ можно пренебречь. Остается референтный электрод и сохраняется векторное соотношение.

Имея два отведения с углами относительно диполя источника φ₁, φ₂, возможно синтезировать новое отведение по правилам векторного сложения. Так формируются «усиленные» отведения aVR, aVL, aVF в электрокардиографии по формулам:

aVR = R - (L+F)/2 и т.д.

Рассматривая отведения L - R, F-R, F-L как вектора, видим, что они образуют примерно равнобедренный треугольник, его стороны развернуты на 60⁰, Для векторов усиленных отведений aVR, aVL, aVF получаем новый треугольник. Он повернут на 30 градусов относительно исходного. Таким образом набор конечностных отведений позволяет рассматривать вектор сердца в наиболее удобной проекции с шагом в 30⁰. К сожалению только в одной фронтальной плоскости.

Векторная элегантность справедлива только для расположения источника на линии вектора отведения. Если положение диполя произвольно, то приведенные соотношения не выполняются. Необходимо брать проекцию вектора сердца на линию, соединяющую его центр с электродом. Обычно выделяется зона приближенного представления векторных соотношений (в электрокардиографии сердце расположено примерно в центре векторного треугольника конечностных отведений). В этом случае все векторные представления приближенны. Однако при произвольном расположении электродов незыблемым остается факт: 1) электроды воспринимают потенциал изолинии, на которой они расположены. 2) Электроды получают потенциал как проекцию вектора диполя источника на линию, соединяющую начало вектора с электродом.

Поле чувствительности отведений

Для общего случая расположения электродов векторная взаимосвязь с отведениями выполняется не всегда. Имеется искусственный прием, который позволяет векторные свойства сохранить для произвольных отведений. Вводятся линии "поля чувствительности отведения". Поле чувствительности состоит из поверхностей равной чувствительности (их сечения - линии). Эти поверхности можно построить, если для каждого конкретного отведения пробный диполь перемещать в пространстве и находить зоны равного по величине сигнала. Каждой такой "линии чувствительности" присваивается свой коэффициент передачи (Рис 2.16).

Если поле чувствительности отведения известно, то принимаемый отведением сигнал от диполя, расположенного на конкретной линии чувствительности равен проекции вектора этого диполя на касательную к этой линии.

Характеристики

Список файлов лекций