Трёхмерная реконструкция лица человека по его изображениям (1006006), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. , ) ∈ R .Обычно их приводят к виду, когда последняя координата равна единице.Очевидно, что вместо плоскости +1 = 1 может быть с равным успехомвыбрана любая гиперплоскость в R+1 .Можно попытаться построить обратное отображение, ставя в соответствие точкам проективного пространства PR , то есть прямым в R+1 , точкивыбранной гиперплоскости, в которых прямые её пересекают.
Однако прямые, параллельные этой гиперплоскости, не дадут пересечений. Эти точкипроективного пространства называют бесконечно удалёнными или идеальными точками. В случае, когда выбрана плоскость +1 = 0, все идеальные точки и только они имеют координаты вида x = (1 , . . . , , 0) .В дальнейшем нам понадобятся проективные пространства размерности2 и 3.2Точки и прямые в проективном пространстве. Точки в проективномпространстве PR задаются однородными векторами. В пространстве R+1им соответствую прямые.Гиперплоскости в PR тоже задаются однородными векторами. Точка xлежит на гиперплоскости l, если x l = 0.
Проективной гиперплоскости,задаваемой в PR вектором l, соответствует гиперплоскость в R+1 , задаваемая своей нормлью l.Определение 4 Прямая в PR — множество точек, задаваемое − 1 линейными однородными уравнениями: l1 x = 0, . . . , l−1 x = 0.В проективном пространстве произвольной размерности PR прямыеполучаются пересечением − 1 гиперплоскостей.10В двумерном проективном пространстве PR2 прямые задаются однимуравнением l x = 0 и поэтому могут быть отождествлены со своим вектором l. Ясно, что в двумерном случае прямые являются гиперплоскостями.Можно показать, что точка пересечения двух прямых l и l′ в PR2 можетбыть найдена как векторное произведение: x = x × l′ . Аналогично прямаячерез две точки x и x′ задаётся однородным вектором l = x × x′ .Если точка x лежит на прямой l, то говорят, что x и l инцедентны.3Проективные преобразования.Определение 5 Преобразование H называется проективным (иначе — гомографией) если оно любые три точки x1 , x2 , x3 ∈ PR , лежащие на однойпрямой, переводит в три точки, также лежащие на одной прямой.Следующая теорема даёт конструктивное описание проективных преобразований.Теорема 1 ([5]) Преобразование H пространства PR является проективным тогда и только тогда, когда в выбранном базисе в однородных координатах оно записывается с помощью невырожденной матрицы:H(x) = xМожно доказать (см.
[5]) ещё одну полезную в дальнейшем теорему оразложении произвольной гомографии в произведение:Теорема 2 Произвольное проективное преобразование может быть разложено в произведение(︃H = H H H =)︃ (︃)︃ (︃R tK 0I010 10)︃v где R — матрица вращения, K — диагональная матрица с det K = 1, I —единичная матрица и ∈ R.111.2.1.31Модель точечной (проективной) камерыОпределения. Нам требуется математическая модель камеры, то естьустройства, отображающего трёхмерную сцену на плоскость. Введём следующие определения.Определение 6 Мировое пространство (world space) — трёхмерное проективное пространство.Точки в мировом пространстве будем обозначать заглавными жирными буквами: X, Y, .
. . , координаты точек — заглавными буквами, например,X = (, , ) в неоднородных координатах или X = (, , , ) в однородных.Запись в неоднородных координатах X = (, , ) эквивалентна записив однородных координатах, где последняя координата равна единице: X =(, , , 1).Определение 7 Пространство (плоскость) изображения (image space (plane))— двумерное проективное пространство, вложенное в мировое пространство как гиперплоскость.Точки на плоскости изображения будем обозначать строчными жирнымибуквами: x, y, . . . , координаты точек — строчными буквами: x = (, ) внеоднородных координатах, x = (, , ) в однородных.Определение 8 Камера — отображение мирового пространства на плоскость изображения.
Оператор P, осуществляющий это отображение, будем называть оператором камеры.Поскольку камера однозначно определяется своим оператором, в дальнейшем термины “камера” и “оператор камеры” будут употребляться в качестве синонимов.Определение 9 Общая проективная камера (general projective camera) —камера, оператор которой является линейным отображением PR3 → PR2 .12Из определения следует, что при фиксированных базисах в мировом пространстве и на плоскости изображения P(X) = PX, где P — произвольнаяматрица размеров 3x4.Рис. 1.1.
К описанию общей проективной камеры (рисунок взят из книги[5])2Построение матрицы проективной камеры. Построим оператор про-ективной камеры. Начнём с простейшего случая и постепенно будетм егоусложнять.Рассмотрим вначале оператор центрального проектирования с центромC в начале координат мирового пространства. Плоскость проектирования расположим параллельно плоскости = 0 на расстоянии . Этот случайпроиллюстрирован на рис. 1.1.Величина называется фокусным расстоянием, плоскость проектирования — фокальной плоскостью, центр проектирования C — центромкамеры или оптическим центром.При проектировании точка (, , ) перейдёт в ( /, /, ), или, воднородных координатах, (, , , ) ↦→ ( , , ).
Матрица этого пре-13образования:⎛⎜P=⎜⎝0⎞⎟0⎟⎠ = diag(, , 1)(I|0) = K(I|0)1 0где⎛⎜K=⎜⎝⎞1⎟⎟⎠Определение 10 Если для камеры возможно разложение P = K(I|0) длянекоторой верхнетреугольной матрицы K, то матрица K называется калибровочной матрицей камеры P.Рис. 1.2.
Координаты точки пересечения оси с фокальной плоскостью(рисунок взят из книги [5])Начало координат в плоскости изображения до сих пор совпадало с точкой p пересечения этой плоскости осью мирового пространства. Пустьтеперь эта точка имеет в пространстве изображения координаты p = ( , ) .Калибровочная матрица примет вид:⎛⎞⎜⎟⎟K=⎜⎠⎝114Рис. 1.3. Переход от мировых координат к координатам, связанным с камерой (рисунок взят из книги [5])Пусть теперь центр камеры C не совпадает с началом мировых координат и имеет координаты C = ( , , ) , а координатные оси мировогопространства повёрнуты относительно тех, в которых фокальная плоскость параллельна плоскости = 0. Пусть этот поворот совершается матрицейR. Тогда проективное преобразование(︃)︃R −RCH=01переводит систему мировых координат в некоторую новую, в которой справедливы предыдущие допущения.
Обозначим координаты мировой точки вэтой новой системе координат через X :X = HXПолучим матрицу камеры в исходных координатах:x = K(I|0)X = K(I|0)HX = K(R| − RC)X = KR(I| − C)XВведём ещё одно усложнение. Физически камера может быть устроенатак, что масштаб координатных осей в пространстве изображения различен. Такое происходит, когда ячейки светочувствительной матрицы сенсора15камеры неквадратны. Это можно учесть, изменив калибровочную матрицу:⎛⎞⎜ ⎟⎟K=⎜⎠⎝1где = , = — фокусные расстояния в единицах измерениясоответствующих координатных осей пространства изображения.Если координатные оси пространства изображения вдобавок не ортогональны, в калибровочную матрицу добавляется ещё один компонент:⎛⎞ ⎜ ⎟K=⎜ ⎟⎝⎠1где — параметр скоса.Определение 11 Камера с матрицей P = KR(I| − C) называется конечной проективной камерой.Ясно, что первые три столбца матрицы конечной проективной камерыобразуют невырожеднную матрицу.
Обратно, если обозначить P = (M|p3 ),то в случае невырожденности M можно найти её QR-разложение (см. [18])M = KR и записать в виде, указанном в определнии.3Геометрический смысл матрицы камеры. Пусть оператор камерызадан матрицей P. Рассмотрим геометрические объекты, связанные с этойматрицей.Центр камеры может быть найден из условияPC = 0Это вытекает из следующих рассуждений. Пусть для некоторой точкимирового пространства PX = x. Рассмотрим прямую в проективном пространстве — линейную оболочку точки C и этой точки X. Возьмём оттуда16произвольную точку X = C + (1 − )X. Независимо от камера отображает её в одну точку x проективного пространства изображения:PX = PC + (1 − )PX = (1 − )x ∼ x.Значит, эта прямая проходит через центр камеры.
В силу произвольностивыбора X заключаем, что C и есть этот центр.Рис. 1.4. Столбцы матрицы камеры (рисунок взят из книги [5])Обсудим геометрический смысл столбцов матрицы камеры:P = (p1 p2 p3 p4 )Столбцы произвольного линейного оператора есть образы базисных векторов исходного пространства (см. [19]). В нашем случае векторы D , =1, 2, 3, 4 с -ым компонентом, равным единице, и остальными нулевыми компонентами образуют базис в R4 , а в PR3 первые три из них имеют смыслбесконечно удалённых точек в направлениях координатных осей. Поэтомувекторы p , = 1, 2, 3 — образы этих бесконечно удалённых точек в пространстве изображения (см. рис.
1.4).Вектор D4 = (0, 0, 0, 1) — начало координат мирового пространства, ипоэтому четвёртый столбец матрицы камеры p4 — образ начала координат.Проясним теперь смысл строк матрицы камеры:P = (P1 P2 P3 )17Рис. 1.5. Строки матрицы камеры (рисунок взят из книги [5])Строки произвольного линейного оператора задают гиперплоскости висходном пространстве (см. [19]). Конкретно, вектор P задаёт гиперплоскость как множество решений уравнения P X = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
