МУ - М-107 (1003873)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Андреев А. Г.Момент инерции и крутильные колебанияТеоретическая частьЦель работы. Ознакомление с динамическими характеристиками вращательногодвижения твёрдого тела, экспериментальное определение моментов инерции телразличной формы , проверка теоремы Штейнера-Гюйгенса.Движение тела в пространстве можно рассматривать как совокупностьпоступательного и вращательного перемещений. Кинематические характеристикиэтих двух движений и взаимосвязь характеристик подробно проанализированы вразделе "Кинематика" [1]. Важной динамической характеристикой поступательногодвижения тела и системы тел является импульс, изменение которого происходит приналичии внешнего воздействия на тело или систему.

Связь импульса и скорости телаrrили системы ρ = m ⋅υ обеспечивает однонаправленность этих векторов, а массавыступает как мера инертных свойств тела (системы) в поступательном движении.Аналогичной по важности динамической характеристикой тела во вращательномдвижении является момент импульса (момент количества движения, угловойrr r r rrмомент) L . В системе координат с центром в точке "О" величина L = r × p = r × m ⋅υопределяет вектор момента импульса материальной точки m , положение которойrзадано радиусом - вектором r .Если тело представляет собой дискретную совокупность N точек, то векторr N rL = ∑ Liпредставляет собой момент импульса тела относительно точки "О". Вi =1некоторый момент времени вращательное движение тела характеризуется векторомrrrугловой скорости ω .

В отличие от поступательного движения связь векторов L и ω вобщем случае оказывается достаточно сложной.Совместим одну из осей, например, ось Z системы координат, закреплённой наrтеле, с вектором угловой скорости ω . Если не принимать специальных мер в видевнешнего воздействия на ось вращения, то добиться неподвижного положения осивращения в пространстве в общем случае не удаётся. На практике мы встречаемся стакой ситуацией, наблюдая, например, "скачку" стиральной машины по полу врежиме отжима при неравномерном распределении белья по объёму бака, илииспытываядискомфортпридвижениитранспортногосредстваснесбалансированными колёсами, и в других подобных случаях.Однако возможны случаи вращения тела относительно оси, положение которойостаётся неизменным и без внешнего воздействия.

Такая ось называется свободной.Опыт показывает, что любое твёрдое тело имеет три взаимно-перпендикулярныесвободные оси, проходящие через центр инерции тела. Эти свободные оси называютещё главными осями инерции. Для тела, форма которого и распределение плотностисимметричны относительно некоторой оси, данная ось является главной осьюинерции.Если ось вращения не является главной осью инерции, то для сохранения еёположения в пространстве используют устройства, называемые подшипниками. Онии создают то внешнее воздействие, которое делает ось вращения неподвижной.Для твердого тела (его форма не изменяется во время вращения) с неподвижнойrосью вращения (пусть это будет ось Z) величина проекции вектора L на ось Zопределяется выражением [1,2]NLz = ∑ mi ⋅ ri 2 ⋅ ω z =IZ · ωZ(1)i =1Здесь mi , ri - соответственно масса и расстояние до оси вращения точек тела сномером i, ω z - угловая скорость вращения тела вокруг оси Z.Величина mi ⋅ ri 2 называется моментом инерции материальной точки относительноNоси вращения, а Ι = ∑ mi ⋅ ri 2 - момент инерции тела, относительно оси вращения.i =1Практически мы встречаемся с непрерывным распределением вещества тела по егообъему V, поэтому моментом инерции тела относительно произвольной оси Zназывают величинуΙ z = ∫ dm ⋅ r 2 = ∫ ρ ⋅ r 2 ⋅ dV ,(2)VVЗдесь ρ – плотность вещества тела, которая может быть функцией координат.Уравнение динамики вращательного движения для системы материальных точекrdL r внешd (Ι z ⋅ ω z )=Μв проекции на ось Z можно записать в виде= Μ внеши, учитывая,zdtdtчто Ι z = const , получитьΙz ⋅ε = Μ z ,(3)где ε - угловое ускорение вращающегося тела, а Μ z - суммарный момент сил,приложенных к телу, в проекции на ось вращения.Уравнение (3) динамики вращательного движения твердого тела относительнонеподвижной оси вращения аналогичноуравнению динамики поступательногоr rдвижения тела постоянной массы ma = F .В уравнении (3) величина IZ определяет инертные свойства тела во вращательномдвижении и зависит не только от величины массы тела, но и от распределения этоймассы относительно оси вращения.

Например, стержень массой m и тонкий дисктакой же массы при приложении к этим телам одинакового момента сил будутменять свою угловую скорость по разному (рис.1).Расчет момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр массы поформуле (2) выполняется достаточно легко для симметричных тел простой формы(стержень, диск, обруч, кольцо, шар). Как и масса, момент инерции являетсяаддитивной величиной, т.е. момент инерции системы тел равен сумме моментовинерции отдельных тел относительно общей оси. Это позволяет в случае сложнойформы тела, "разбить" его на простые тела, моменты инерции которых относительнооси тела известны. Если же ось симметрии отдельной части тела не совпадает с осьюсимметрии всего тела, но параллельна ей, то можно воспользоваться теоремойШтейнера-Гюйгенса, согласно которой, момент инерции тела относительнопроизвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно оси,проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояниямежду осями, которые должны быть параллельными.В качестве ответа на контрольный вопрос № 3 – предлагаетсяполучить1выражение Ι z = mR 2 для момента инерции тонкого диска массой m и радиусом R4относительно оси Z, проходящей через центр диска и лежащей в плоскости диска.Учитывая теорему Штейнера - Гюйгенса и указанное выражение для моментаинерции тонкого диска, можно рассчитывать момент инерции прямого круговогоцилиндра массой m , радиусом R и высотой H относительно оси, проходящейчерез центр массы цилиндра и параллельной плоскостям оснований: (рис 2)Ιz =m3R 2 + H 2 )(12(4)Это соотношение будет использовано в расчетах в экспериментальной части работы.Определение момента инерции тела поформуле (2) представляет собойаналитический способ нахождения этой важной динамической характеристикитела во вращательном движении.

При возникновении значительных вычислительныхсложностей в расчете по формуле (2) можно применять динамический способ оценкимомента инерции, основанный на уравнении динамики (3) или соотношении,связывающем кинетическую энергию тела и его угловую скорость.Использование динамического способа требует знания величины момента сил иуглового ускорения. Экспериментальное определение этих величин иногда требуетдостаточно сложног оборудования. Однако возможен достаточно простой способопределения момента инерции тела, который мы рассмотрим на примеревращательно-колебательного движения, возникающего при действии на исследуемоетело возвращающего момента пружины, работающей по закону ГукаПри повороте тела с моментом инерции IZ вокруг оси Z на угол φ прикрепленнаяк телу спиральная пружина деформируется и в ней возникает упругий моментΜ упр = Dϕ , пропорциональный углу закручивания.

Если пренебречь потерями натрение, то уравнение динамики вращения тела вокруг оси Z будет иметь вид:Ι ⋅ ϕ&& = −Μ упр = − D ⋅ ϕD⋅ ϕ = 0 илиΙϕ&& + ω 02 ⋅ ϕ = 0ϕ&& +(5)В (5) коэффициент упругости пружины D должен быть известен, а, определяяпериод свободных колебаний системы Τ =2πΙ= 2π, можно найти момент инерцииω0Dтела. Необходимо отметить, что в найденное значение I войдут инертные свойстваоси установки и пружины. При необходимости они могут быть рассчитаны и учтеныпри оценке момента инерции собственно тела.

В предлагаемой лабораторной работеиспользуется динамический метод, а его точность оценивается сравнением саналитическим способом расчета момента инерции тела простой формы. В работепредлагаются экспериментально проверить справедливость теоремы ШтейнераГюйгенса.Экспериментальная частьНа рис.4 изображены принадлежности, используемые при выполнениилабораторной работы. Это массивное трехопорное основание с вертикальной осьювращения, установленной в подшипниках и связанной с опорой через ленточнуюспиральную пружину, создающую возвращающий момент при движенииисследуемых объектов. В набор принадлежностей входит так называемый "световойбарьер", представляющий собой П-образную конструкцию с размещенной внутриэлектронной схемой и элементами управления снаружи.

Зазор между выступамиустройства пересекает узкий пучок инфракрасного излучения, при перекрытиикоторого движущимся непрозрачным объектом, электронная схема получает входнойсигнал. Длительность сигнала определяется временем перекрытия луча, диаметркоторого около 1мм. Нужно иметь ввиду, что чувствительность электронной схемытакова, что объект толщиной 0,3мм, пересекающий световой луч, может вызватьсрабатывание схемы.Устройство "световой барьер", которое в дальнейшем для краткости будемназывать счетчиком, может работать в одном из четырех режимов, которыевыбираются движковым переключателем. Индикация выбранного 2, 3 или 4 режимапосле нажатия кнопки "Set" (обнуление, сброс) осуществляется высвечиванием двух,трех или четырех точек в нижней части светодиодного дисплея. При работе в первомрежиме (счет числа импульсов) после нажатия кнопки "Set" на дисплеевысвечиваются 4 нуля.В настоящей лабораторной работе используется четвертый режим работысчетчика, обозначенный на переключателе символомчто означаетизмерение периода колебаний.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги