МУ - М-104 (1003868)
Текст из файла
Московский государственный технический университет им.Н.Э. БауманаКафедра ФН-4С.В. Башкин, А.В. Косогоров, Л.Л. Литвиненко, А.В. СемиколеновОБОРОТНЫЙ МАЯТНИКМетодические указания к лабораторной работе № М104по курсу общей физикиПод редакцией И.Н. АлиеваМоскваМГТУ им. Н.Э.Баумана, 2014ОГЛАВЛЕНИЕТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.....................................................................................................3Динамика твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси ...............................3Гармонические колебания. Физический маятник .............................................................5ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ ........................................................................................7Описание экспериментальной установки ..........................................................................7Порядок выполнения эксперимента ...................................................................................8КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ................................................................................................10РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА...................................................................................112Цель работы – определение ускорения свободного падения g по измерениюпериода колебаний оборотного маятника.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬДинамика твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной осиМоментом силы Fотносительно неподвижной точки О называютвекторное произведение радиуса-вектора r , проведённого из точки О в точкуприложения силы F , на саму эту силу: M = r, F .(1)Вектор M направлен перпендикулярно плоскости векторов r и F по[ ]правилу правого винта.
Модуль момента силыM = r ⋅ F ⋅ sin α = F ⋅ l ,(2)где α - угол между r и F ;l - плечо силы F длина перпендикуляра, опущенного из точки О налинию действия силы F .Главным моментом внешних сил относительно неподвижной точки Оназывают вектор, равный векторной сумме моментов относительно точки О всехвнешних сил, действующих на механическую систему:n М ВНЕШ = ∑ ri , Fi ВНЕШ .[](3)i −1Моментом импульса Li материальной точки относительно неподвижнойточки О называют векторное произведение радиуса-вектора ri материальной точки,проведённого из точки О, на импульс этой материальной точки pi = miυi : Li = [ri , pi ] .(4)Моментомимпульсамеханическойсистемы (твёрдого тела)относительно неподвижной точки О называют вектор L , равный векторнойсумме моментов импульса относительно той же точки всех материальных точексистемы (малых элементов твёрдого тела): n L = ∑ [ri , pi ] .(5)i =1Моментом импульса твёрдого тела относительно оси (например, Z)называют проекцию на эту ось вектора момента импульса тела относительно любой3точки, выбранной на рассматриваемой оси.
Моментом силы относительно осиназывают проекцию на эту ось вектора момента силы относительно любой точки,находящейся на этой оси.Уравнение динамики тела, вращающегося с угловой скоростью ωвокруг неподвижной оси Z , имеет видdLz= M zВНЕШ .dt(6)Здесь Lz = ∑ mi ⋅ riz2 ⋅ ω , где riz − радиус окружности, по которой движетсярассматриваемая материальная точка.Моментом инерции механической системы относительно оси вращенияZ (моментом инерции твёрдого тела) называют величину J z , равную суммепроизведений масс mi всех материальных точек, образующих систему, на квадратыих расстояний riz от данной оси:nJ z = ∑ mi ⋅ riz2 .(7)i =1Для тела, масса которого непрерывно распределена по его объёму V ,вычисление момента инерции проводится по формулеJz =∫ r dm = ∫ ρ ⋅ r dV .2(m)2(8)(V )Если тело в процессе вращения не деформируется, то его момент инерции неизменяется и уравнение (6) можно представить следующим образом:dωJz= M zВНЕШdtилиd 2ϑJ z 2 = M zВНЕШ .dt(9)Момент инерции тела относительно оси является мерой инертности телапри его вращении относительно этой оси.Теорема Штейнера: момент инерции J z относительно произвольной оси Zравен сумме момента инерции J с относительно параллельной ей оси Z C ,проходящей через центр масс С тела, и произведения массы тела т на квадратрасстояния d между этими осями:J z = J c + md 2 .(10)4Гармонические колебания.
Физический маятникГармоническими называют периодические колебания величины ξ (t ) , еслиξ (t ) = A ⋅ sin (ω0t + ϕ 01 )илиξ (t ) = A ⋅ cos(ω0t + ϕ02 ) , (11)где ϕ 02 = ϕ 01 − π / 2 ,ω0 − циклическая частота незатухающих гармонических колебаний,A = ξ MAX = const > 0 – амплитуда колебаний;ϕ0 – начальная фаза колебаний.Первая и вторая производные по времени от гармонически колеблющейсявеличины ξ (t ) также совершают гармонические колебания той же частоты:2dξ= A ω 0 cos (ω 0 t + ϕ 01 ) , d ξ2 = − Aω02 sin (ω0t + ϕ01 ) . (12)dtdtСравнивая значения ξ (t )величинаd 2ξиdt 2видно, что гармонически колеблющаясяудовлетворяет дифференциальному уравнениюd 2ξ+ ω02ξ = 0 .2dt(13)Физическая величина ξ (t ) совершает гармонические колебания в том и тольков том случае, если она удовлетворяет дифференциальному уравнению гармоническихколебанийad 2ξ+ b ⋅ξ = 0 ,dt 2гдеb= ω 02 .a(14)Физический маятник – твёрдое тело, которое может вращаться под действиемсвоей силы тяжести mg вокруг неподвижной горизонтальной оси качания маятника OZ,не проходящей через центр масс тела C (рис.
1). Точку О пересечения оси качаниямаятника с вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс маятника иперпендикулярной оси качания называют точкой подвеса маятника.При отклонении маятника на угол θ сила тяжести создаёт момент, численноравный mg ⋅ d ⋅ sin ϑ и стремящийся возвратить маятник в положение равновесия(θ = 0).Если силами трения в подвесе маятника можно пренебречь, то уравнениединамики вращательного движения твёрдого тела (9) примет вид:5Jd 2θ= − mg ⋅ d ⋅ sin θ ,dt 2(15)где d = OC – расстояние от центра масс маятника до оси качания;J – момент инерции маятника относительно той же оси.OZθdСO′mgРис. 1При малых колебаниях sin θ ≈ θ .
ТогдаJd 2θ+ mg ⋅ d ⋅ θ = 0dt 2(16)и угол θ удовлетворяет дифференциальному уравнению гармонических колебанийθ = θ0 sin ( ωot + φ0 ) ,где θ0 – амплитуда колебаний угла θ ;ω0 =mgd2πJ⇒T== 2π.Jmgdω0(17)Если колеблющееся твёрдое тело является материальной точкой массы m,подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной lM, то такой маятник называютматематическим. В этом случае J = mlМ2 и период математического маятникаT = 2πlМ.g(18)Длину математического маятника, имеющего такой же период колебаний, что ирассматриваемый физический маятник, называют приведённой длиной l ПР этогофизического маятника6l ПР =JJ=d+ C >d.mdml(19)Точку O′ (рис.
1), которая находится на прямой, проходящей через точкуподвеса O и центр масс C, и отстоит от точки O на расстоянии l ПР , называют центромкачания физического маятника. ТогдаT = 2πl ПР.g(20)Если физический маятник перевернуть и заставить совершать малые колебаниявокруг оси O′Z, то период колебаний не изменится. На этом свойстве основаноопределение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника:экспериментально устанавливают положения двух точек O и O′, малые колебаниявокруг которых происходят с одинаковым периодом.
Определив l ПР = ОО' , из формулы(20) находим g.ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬОписание экспериментальной установкиВнешний вид установки в сборе показан на рис. 2.Рис. 2С помощью двух струбцин к полке лабораторного стола крепятся два штативныхстержня прямоугольного сечения. На стержнях прямоугольными зажимами закрепленыдва болта с резцами, являющимися осью качания маятника. Физический маятник (рис.3) представляет из себя цилиндрический стержень из нержавеющей стали длиной 750мм, на который устанавливаются две одинаковые цилиндрические металлическиевтулки 1 и 2 (втулка 1 маркируется одной точкой, а втулка 2 – двумя точками).7dlO1CθO2mgРис. 3Период малых колебаний маятника определяют с помощью светового барьера сосчётчиком, закреплённого в штативе на треноге.
Световой барьер, работающий врежиме измерения периода (переключатель сдвинут вправо) устанавливают в точкемаксимального отклонения маятника. В этом случае время, прошедшее между двумяпоследовательнымиположениямимаятникаводинаковойфазеколебаний,регистрируется, когда маятник просто покидает инфракрасный луч.Порядок выполнения эксперимента1. Закрепить втулку 1 на стержне на расстоянии примерно 9 см от его конца.Втулку 2 закрепить на стержне на расстоянии 60 см от втулки 1. Положение втулки 1 входе эксперимента не меняется.
Поместить маятник на ось качания.2. Измерить период T1, когда на оси качания находится втулка 1,3. Маятник перевернуть так, чтобы на оси качания находилась втулка 2.4. Определить период T2 как функцию расстояния l между обеими точкамиподвеса О1 и О2 (втулкой 2 и втулкой 1, имеющей фиксированное положение настержне маятника). Изменять расстояние l рекомендуется в диапазоне 34 ÷ 60 см сдискретностью 2 см. Измерения расстояния l производятся при снятом с оси качаниямаятнике между осями винтов, затягивающих втулки на стержне маятника, с помощьюрулетки с точностью не менее ± 1 мм. Полученные данные занести в таблицу 1.Таблица 1Длина l, см6058565452504846444240383634Период Т2, с85. Построить график зависимости периода Т2 от длины l .
Типичный вид такогографика приведён на рис. 4.А) Симметричный случай: Т1 (la ) = Т1 (lb )6. По графику для периода Т 2 = Т1 определить l ПР = la ± 3 см .7. Используя формулу (20), рассчитать ускорение свободного падения2 2π g = l ПР . T (21)8. Рассчитать погрешность измерения ускорения свободного падения поформуле22 ∆T 2 ∆l ∆g = g 2 + ПР . T l ПР (22)Результат измерения ускорения свободного падения представить в виде g ± ∆g .T2, c1,501,461,421,38T11,341,300,30,40,6 l, м0,5lblaРис.
4Б) Асимметричный случай Т1 (la ) ≠ Т1 (lb )При определении l ПР и T по графику на рис. 4 не было принято во вниманиеизменение момента инерции и перенесение центра масс в результате смещениявтулки 2, поддерживающей маятник на оси качания (тем не менее базовая модельостаётся неизменной). Эта ошибка становится очевидной при контрольномизмерении периода T1.9.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
