МУ - М-4 (1003830)
Текст из файла
1МГТУ имени Н. Э. БауманаН.А. ГЛАДКОВ, М.А. ЯКОВЛЕВОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛМетодические указания к лабораторной работе М-4 по курсу общей физики.Под редакцией А. И. Савельевой.ВВЕДЕНИЕЦель работы - изучение законов вращательного движения и определение моментовинерции твердых тел.Вращательное движение твердого тела может происходить как вокруг неподвижной точки (сферическое движение), так и вокруг неподвижной оси. В первом случае законизменения момента импульса тела представляется в виде векторного уравнения!!dL(1)=M ,dt!где L - момент импульса тела, равный геометрической сумме моментов импульсов всех!частиц Li этого тела относительно неподвижной точки О, т.е.! n !L = ∑ Li ,(2)i =1!M - результирующий момент всех внешних сил относительно, той же точки О.Закон изменения момента импульса тела относительно оси, например оси Z, записывается в виде алгебраического уравненияdLZ(3)= MZ ,dt!!где LZ и MZ проекции векторов L и M уравнения (1) на ось Z.
Момент импульса тела относительно оси Z найдем, если спроецируем (2) на ось Z:nLZ = ∑ LiZ .i =1После суммирования и преобразований приходим к соотношению(4)LZ = J Z ωZ ,где ωZ - угловая скорость вращения тела относительно оси Z; JZ - момент инерции телаотносительно той же оси. После подстановки (4) в уравнение (3) приходим к основномууравнению динамики вращательного движенияd ( J Z ωZ )= MZ .dtТак как для твердого тела JZ=const, тоd ωZ= MZdt(5)J Z εZ = M Z ,(6)JZилигдеεZ =d ωZdt- угловое ускорение тела относительно оси Z.Уравнения (5), (6) - уравнения динамики вращательного движения твердоготела вокруг оси Z.2Момент инерции тела К, например относительно оси Z, вычисляется по формулеJ Z = ∫ R 2 dm ,(7)(K )где dm - элемент массы тела; R - расстояние от этого элемента до оси Z.
Единица измерения момента инерции в СИ [J]=кг⋅м2. Формулу (7) можно использовать для теоретического определения момента инерции тела. Моменты инерции тела относительно параллельных осей Z и ZС (ось ZС проводится через точку С - центр масс или инерции тела) связаныформулой Штейнера(8)J Z = J ZC + md 2 ,где JZC - момент инерции тела относительно оси ZC;m - масса тела;d - расстояние между осями Z и ZC.Момент инерции любого тела зависит также от ориентации оси. Например, моменты инерции цилиндра длиной l и радиусом R (R>>l) относительно прямоугольных осейХC, УC, ZC, проходящих через точку С - его центр масс (при условии, что ось ZС совпадаетс осью цилиндра), не одинаковы11J ZC = mR 2 ; J XC = J YC = ml 2212Однако для любого тела существует инвариантная характеристика, не зависящая отнаправления осей и определяющая инерционные свойства тела при вращательном движении.
Она подобна массе тела, определяющей его инерционные свойства и являющейся инвариантной характеристикой тела при поступательном движении. При вращении же телаинвариантной, характеристикой является тензор инерции, который можно сопоставить сZ1Z2dmY2rY1O(K )X1Рис.1каждой точкой этого тела. Вообще тензор - это сложное математическое понятие и подробное изучение его свойств не входит в программу курса общей физики. Отметим лишьодин из инвариантов тензора инерции - линейный инвариант(9)J I = J X + J Y + J Z = inv .В справедливости (9) можно убедиться, если вычислить моменты инерции произвольноготела К относительно прямоугольных осей X1, Y1, Z1, X2, Y2, Z2, проведенных в какой-либоточке этого тела и расположенных под углом друг к другу (рис.
1). Положение элемента!массы dm тела будем определять радиус-вектором r проведенным из начала координат.Тогда относительно осей X1, Y1, Z1 можно составить сумму моментов инерции3J X 1 + JY 1 + J Z 1 =+∫ (x(K )21+y21∫ (y21(K )+ z12 ) dm +) dm = 2 ∫ ( x(K )21∫ (x21(K )+ z12 ) dm ++ y + z12 ) dm = 2 ∫ r 2 dm21(10)(K )Аналогично вычислим сумму моментов инерции относительно X, У, Z;J X 2 + J Y 2 + J Z 2 = ∫ y22 + z 22 dm + ∫ x22 + z22 dm ++∫ (x(K )(K )22()(K )()+ y 22 ) dm = 2 ∫ ( x22 + y22 + z 22 ) dm = 2 ∫ r 2 dm(K )(11)(K )Из сравнения (10) и (11) находимJ X 1 + JY1 + J Z1 = J X 2 + JY 2 + J Z 2Работа М-4.ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛА ДИНАМИЧЕСКИМ МЕТОДОМ.Теоретическая часть.Моменты инерции тела будем определять с помощью установки (рис.
2), содержащей вертикальную стойку 1, к которой прикреплены узлы, состоящие из блоков, осей иподшипников. Через блок 2 верхнего узла перекинута нить 3 с грузами 4. Нижний узел243186912571011Рис. 2содержит двухступенчатый шкив 5, на ободе которого имеется вырез для закрепления нити 3. На одной оси со шкивом 5 находится крестовина, состоящая из четырех взаимно4перпендикулярных стержней, ввинченных во втулку 6. На каждом стержне закреплены спомощью винта 7 шайбы 8. Перемещая шайбы 8 вдоль стержня, можно изменять моментинерции крестовины. С другой стороны шкива 5 помещен электромагнитный фрикцион 9.При подаче на него напряжения он удерживает шкив 5 от вращения.
В нижней части вертикальной стойки 1 крепится узел, содержащий фотоэлектрический датчик 10, которыйвместе с миллисекундомером 11 составляет систему регистрации времени. Местонахождение груза 4 по высоте регистрируется при помощи миллиметровой линейки 12.Вместо крестовины на ось нижнего узла может быть навинчено тело, момент инерции которого необходимо определить.Движение всех составных частей установки будет описываться различными уравнениями. Так, груз массой m перемещается поступательно (рис. 3) в соответствии с уравнением(12)ma = mg − T ,где a - ускорение груза. Вращение верхнего блока радиусом R1 происходит, если предположить отсутствие сил трения, по законуR1J1ε1 = (T − N ) R1 .(13)При выводе (12) и (13) использовались обозначения сил натя!∇!!∇!∇TTTNN==;== N . Угловое ускорение ε1жениянитиTN∇верхнего блока связано с линейным ускорением груза соотноTшениемa.(14)R1Кроме того, момент инерции верхнего блока массой m11J1 = m1 R12 .(15)2Окончательно вместо (13) с учетом (14) и (15) можно записатьследующее выражение:1m1a = T − N .(16)2Вращение нижнего шкива радиусом R2= 42 мм и крестовины (или исследуемого тела), скрепленной соосно с этим шкивом, происходит в соответствии с уравнением(17)J ε 2 = NR2 − M ТР ,ε1 =mgR2NРис.3где(18)J = J ШК + J Т ;кг⋅м2 - момент инерции шкива 5 вместе с осью и подшипниками нижнегоJ ШК = 0 , 4 ⋅10 −4узла;JT - момент инерции крестовины (или исследуемого тела);ΜТР - суммарный момент сил трения, действующих по оси шкива.Полагаем, что ΜТР=const.
Решая совместно (12), (16) и (17), приходим к уравнению1(19)J ε 2 = mg − ma − m1a R2 − M ТР .2aКак и в предыдущем случае, ε 2 =. Кроме того, поскольку силы и моменты сил в расR2сматриваемой системе являются постоянными по модулю, то груз опускается равноуско2hренно. Поэтому ускорение можно определить из кинематического соотношения a = 2 ,tгде h - начальная высота груза; t - время его падения.
С учетом вышеизложенного форму-5лу (19) можно преобразовать к следующему виду:JM ТР gt 21 m1(20)= 1 −−1 −.2mR2 mgR2 2h2 mJЕсли по оси ординат откладывать t2, а по оси абсцисс, то зависимость (20) в этойmR22системе координат будет иметь вид прямой линии. Поскольку масса груза, используемая в1 m1экспериментах, значительно превосходит массу верхнего блока 2, то<< 1 . Кроме то2 mM ТРго, при массе груза m≥ 100 г отношение≤ 0 , 02 . Поэтому уравнение (20) при этихmgR2упрощениях запишется так:Jgt 2(21)=−12mR2 2hНайденную зависимость (21) можно использовать для определения момента инерции любого тела. Но предварительно необходимо подтвердить экспериментально, что зависи J является линейной. Для этого надо измерить время падения груза примость t 2 = f 2 mR2 вращении тела с известным моментом инерции.
В качестве такого тела используем крестовину с подвижными шайбами, момент инерции которой(22)J = J C + 4mШ l 2где JC = 5,8⋅10-3 кг⋅м2 - суммарный момент инерции крестовины без шайб 8, но включающий JШ= 0,4⋅10-4 кг⋅м2. Масса шайбы 8 mШ = 0,2 кг; l - расстояние от центра шайбы до осивращения.Выполнение эксперимента. J .А. П о с т р о е н и е г р а ф и к а < t 2 >= f 2 mR2 1. Включите в сеть установку.2.
Закрепите шайбы на стержнях крестовины на расстоянии l=130 мм от оси вращения.Расстояние удобно отсчитывать с помощью рисок, которые нанесены на стержень с интервалом 10 мм, при этом необходимо учитывать, что диаметр втулки равен 40 мм.3. Зацепите нить за вырез на ободе шкива 5, намотайте два раза нить на этот шкив, а затемперекиньте ее через блок 2. Прикрепите к нити груз массой m= 100 г. Поднимите, наматывая одновременно нить на шкив 5, груз на высоту h = 400 мм.4. Нажмите на миллисекундомере кнопку "СЕТЬ", при этом сработает электромагнит ифрикцион застопорит шкив 5.5. Нажатием кнопки "СБРОС" приведите миллисекундомер в исходное положение.6. Нажмите кнопку "ПУСК", при этом электромагнитный фрикцион 9 освободит шкив 5, амиллисекундомер начнет вести счет времени. Когда груз 4 пересечет оптическую ось фотоэлектрического датчика 10, счет времени миллисекундомером прекратится.7.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
