Ответы на вопросы из коллекции "Сборник ответов к экзаменационному тесту Теория вероятности и математическая статистика ММА."

Что такое условная вероятность события A при условии, что произошло событие B?

• Вероятность события A минус вероятность события B
• Вероятность события A плюс вероятность события B
• Вероятность события A при условии, что произошло событие B, равна отношению вероятности одновременного происхождения событий A и B к вероятности события B
• Вероятность события A умножить на вероятность события B

Сумма частот признака равна:

• нулю
• среднему арифметическому значений признака
• единице
• объему выборки n

Какие из названных распределений используются при проверке гипотезы о числовом значении математического ожидания при неизвестной дисперсии?

• распределение Фишера
• распределение Стьюдента
• нормальное распределение
• нормальное распределение

Марковскими цепями называю случайных процесс, у которого:

• Сама функция имеет дискретный характер
• Сама функция имеет непрерывный характер
• Сама функция подчиняется биноминальному закону распределения
• Сама функция подчиняется показательному закону распределения
• Сама функция подчиняется нормальному закону распределения

Что такое дисперсия случайной величины?

• Среднее значение случайной величины
• Среднеквадратичное отклонение случайной величины
• Медиана случайной величины
• Среднеквадратичное отклонение случайной величины в квадрате

Мощность критерия – это:

• вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, когда она неверна
• вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, когда она верна
• вероятность не допустить ошибку второго рода
• вероятность допустить ошибку второго рода

Какое из утверждений относительно генеральной и выборочной совокупностей является верным?

• выборочная совокупность – часть генеральной
• генеральная совокупность – часть выборочной
• выборочная и генеральная совокупности равны по численности
• правильный ответ отсутствует

В пирамиде 5 винтовок, 3 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность попадания для стрелка при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0.95, из обычной винтовки — 0.7. Стрелок наудачу берет винтовку и стреляет. Найти вероятность того, что мишень будет поражена:

Единицей классификации в соответствии с Международной стандартной отраслевой классификацией всех видов экономической деятельности является:

Что такое стандартное отклонение?

• Количество элементов в выборке
• Квадратный корень из дисперсии
• Мера разброса случайной величины относительно ее математического ожидания
• Среднее значение выборки

Что представляет собой критическая область?

• все возможные значения критерия, при которых принимается нулевая гипотеза
• все возможные значения критерия, при которых не может быть принята ни нулевая, ни альтернативная гипотеза
• все возможные значения критерия, при которых есть основание принять альтернативную гипотезу
• нет правильного ответа

Коэффициент корреляции случайных величин характеризует:

• Степень линейной зависимости между случайными величинами
• Степень регрессии между случайными величинами
• Степень независимости между случайными величинами
• Степень разброса двух величин относительно математического ожидания
• Степень нелинейной зависимости между случайными величинами

Возникновение теории вероятностей как науки относят к:

• 18 веку
• средним векам
• 20 веку

Какова вероятность того, что при броске двух стандартных игральных костей сумма будет равна 7?

• 1/8
• 1/12
• 1/6

Монетаристская концепция инфляции в наиболее четком виде сформулирована:

• Фишером
• Самуэльсоном
• Нордхаусом

Раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними:

• теория величин
• теория вероятностей
• теория случайных цифр

Бросается 5 монет. Найдите вероятность того, что три раза выпадет герб:

• 5/16
• 17/32
• 15/32

Как вычисляется интерквартильный размах?

• Среднее значение выборки
• Разность между максимальным и минимальным значениями в выборке
• Сумма всех значений в выборке
• Разность между верхним и нижним квартилями

Два стрелка стреляют по разу в общую цель. Вероятность попадания в цель у одного стрелка 0.8, у другого — 0.9. Найти вероятность того, что цель не будет поражена ни одной пулей:

• 0.96
• 0.46
• 0.02

Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры:

Два стрелка стреляют по разу в общую цель. Вероятность попадания в цель у одного стрелка 0.6, у другого — 0.7. Найти вероятность того, что цель будет поражена двумя пулями:

К оценкам генеральной совокупности предъявляются следующие требования:

• Оценка должна быть стационарной, эргодичной и эффективной
• Оценка должна быть несмещенной, стационарной и эффективной
• Оценка должна быть состоятельной, стационарной и эргодичной
• Оценка должна быть состоятельной, эргодичной и эффективной
• Оценка должна быть состоятельной, эффективной и несмещенной

Станок-автомат производит изделия трех сортов. Первого сорта — 80%, второго — 15%. Определите вероятность того, что наудачу взятое изделие будет или второго, или третьего сорта:

• 0.2
• 0.8
• 0.95

Лампочки изготавливаются независимо друг от друга. В среднем одна лампочка из тысячи оказывается бракованной. Найдите вероятность того, что из двух взятых наугад лампочек окажутся исправными обе:

• 0.9
• 0.998001
• 0.98

Теннисист идет на игру. Если ему дорогу перебежит черная кошка, то вероятность победы 0,2; если не перебежит, то — 0,7. Вероятность, что кошка перебежит дорогу — 0,1; что не перебежит — 0,9. Вероятность победы:

• 0,1·0,2·0,9·0,7
• 0,1•0,2+0,9·0,7
• 0,1·0,8+0,9·0,3

В критерии Колмогорова за меру качества согласия эмпирического и теоретического распределения принимается:

• Максимальное расхождение модуля разности между эмпирической и теоретической функциями плотности распределения
• Относительное расхождение между теоретической и эмпирической частотами попадания случайной величины в интервал
• Среднее квадратичное отклонение между теоретической и эмпирической частотами попадания случайной величины в интервал
• Максимальное расхождение по модулю между теоретической и эмпирической частотами попадания случайной величины в интервал
• Максимальное расхождение модуля разности между эмпирической и теоретической функциями распределения

Если статистическая таблица характеризует одну группу единиц изучаемого объекта, выделенную по определенному признаку, то она является по характеру разработки подлежащего

Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к:

• 20 веку
• 19 веку
• 17 веку

Производится n независимых испытаний, в которых вероятность наступления события A равна p. n велико. Вероятность того, что событие A наступит m раз, вычисляется по формуле или используются асимптотические приближения:

• используются асимптотические приближения
• вычисляется по формуле Бернулли
• по формуле Байеса

События A и B называются несовместными, если:

• р(AB)=р(+р(B)
• р(AB)=1
• р(AB)=0

Что такое центральная предельная теорема?

• Теорема, утверждающая, что распределение средних значений выборок из любой генеральной совокупности приближается к нормальному распределению
• Теорема, утверждающая, что вероятность события всегда равна 0.5
• Теорема, утверждающая, что среднее значение выборки всегда равно математическому ожиданию генеральной совокупности
• Теорема, утверждающая, что события независимы, если P(A|B) = P(A)

Ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (xi,ni)(xi,ni), где xixi– значение вариационного ряда, nini – частота, – это:

• эмпирическая функция распределения
• полигон
• кумулята
• гистограмма

Сколько существует способов выбрать 2 предмета из 8?

Размещения - это

• соединения из n элементов по m в каждом, каждое из которых содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которое отличаются друг от другу по крайне мере одним элементом
• соединения из n элементов по m в каждом, каждое из которых содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которое отличаются друг от друга порядком расположения элементов
• соединения из n элементов по m в каждом, каждое из которых содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которое отличаются друг от другу либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения
• соединения из n элементов, каждое из которых содержит все элементы, и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов

Вероятность извлечения дамы или туза из колоды в 52 карты равна:

Статистической вероятностью события А называется:

• частота этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний
• относительная частота (частость) этого события, вычисленная по результатам небольшого числа испытаний
• частота этого события, вычисленная по результатам испытаний
• относительная частота (частость) этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний

Формула полной вероятности может быть записана как:

---

---

Случайные величины бывают

• условными
• непрерывными
• дискретными
• дискретными и непрерывными

Формула Бернулли записывается как:

• Pm,n=C(mn)pm-nqn
• Pm,n=C(mn)pmqn-m
• Pm,n=C(mn)pnqn-m
• Pm,n=C(mn)pmqn

Дисперсия СВ, распределенной по гипергеометрическом закону определяется как:

• D(X)=nMN(1−MN)(1−n−1N−1)
• D(X)=n(1−MN)(1−n−1N−1)
• D(X)=nMN(1−MN)
• D(X)=MN(1−MN)(1−n−1N−1)

Согласно свойствам функции распределения F(x) данная функция:

• положительная и неубывающая
• неотрицательная и неубывающая
• отрицательная и неубывающая
• положительная и убывающая

Интегральная теорема Лапласа записывается как:

• P(α<X<β)=Φ0(β−aσ)−Φ0(α−aσ)
• P(α<X<β)=Φ0(a−ασ)−Φ0(a−βσ)
• P(α<X<β)=Φ0(α−aσ)−Φ0(β−aσ)
• P(α<X<β)=Φ0(a−βσ)−Φ0(a−ασ)

Задача: в ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 5 счетов.
При условии, что 10% счетов содержат ошибки, какому закону распределения подчиняется количество счетов с ошибками среди отобранных?

• гипергеометрическому
• закону распределения Пуассона
• равномерному
• биномиальному

Если значение коэффициента асимметрии As = 0,55, то асимметрия:

• несущественная левосторонняя
• существенная правосторонняя
• несущественная правосторонняя
• существенная левосторонняя

Если все варианты ряда уменьшить (увеличить) на постоянную величину k, то дисперсия:

• уменьшиться (увеличиться) в k раз
• не измениться
• уменьшиться (увеличиться) в k2 раз
• уменьшиться (увеличиться) на величину k

Коэффициент вариации рассчитывается:

• υ=x̅σ
• υ=σx̅
• υ=σ2x̅
• υ=σx̅2

Доверительный интервал для оценки генеральной средней при собственно-случайной повторной выборке объемом n≥30 может быть записан как:

Теоретической основой выборочного метода является:

• лемма Маркова
• теорема Чебышева (частный случай)
• теорема Чебышева (общий случай)
• неравенство Чебышева

Сущность выборочного метода состоит в том, что:

• для изучения вместо всей совокупности элементов берётся лишь некоторая их часть, отобранная по определённым правилам
• сначала обследуются все элементы изучаемой совокупности, а затем по определённым правилам отбирается их некоторая часть
• для исследования все элементы изучаемой совокупности группируются по определённым правилам
• элементы изучаемой совокупности отбираются через определённый интервал

Необходимый объем выборки для оценки генеральной средней при собственно- случайном повторном отборе может быть найден как:

• z2w(1−w)Δ2
• z2σ2NNΔ2+z2σ2
• z2σ2Δ2
• z2Nw(1−w)NΔ2+z2w(1−w)

При помощи Х^2 - критерия Пирсона осуществляется проверка гипотезы о

• равенстве двух генеральных дисперсий
• нормальном распределении генеральной совокупности
• числовом значении доли
• равенстве двух генеральных средних с неизвестными дисперсиями

Критические области бывают:

• одно- или двухсторонними
• только односторонними
• только двухсторонними
• только трехсторонними

Задача: в молочном отделе универсама произведено контрольное взвешивание десяти 200-грамовых пачек сливочного масла и установлено, что x̃ = 196 г. и S=4г. Менеджер отдела выдвигает предположение о недобросовестности поставщика. Прав ли он? Уровень значимости принять равным α=0,001. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются как:

• H0 : X̅ = α0 H1 : X̅πα0
• H0 : X̅ = α0 H1 : X̅φα0
• H0 : X̅ = α0 H1 : X̅ ≠ α0
• H0 : X̅1 = X̅2 H0 : X̅1 ≠ X̅2

Законы распределения непрерывной случайной величины представляются в виде:

• функции распределения и совокупностью значений

• функции распределения и совокупностью значений

• функции распределения и

• функции распределения и рядом распределения

• функции распределения и

Вероятность события P(A) это:

• числовая функция, определенная на поле событий и удовлетворяющая трем условиям .

• отношение где число исходов испытаний, благоприятствующих появлению события , -общее число исходов испытаний

• числовая мера появления события в испытаниях

• отношение где число появлений событий А в испытаниях

• число элементарных событий в некотором подмножестве

Произведением двух событий A и B называют:

• событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих и событию и

• событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих и событию и

• событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих или событию или

• событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих или событию или

• событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих и событию и

Марковским случайным процессом называют такие процессы, у которых:

• Плотность совместного распределения произвольных N=3 сечений полностью определяет поведение процесса
• Плотность совместного распределения произвольных N сечений полностью определяет поведение процесса
• Плотность совместного распределения произвольных (N-1) сечений полностью определяет поведение процесса
• Плотность совместного распределения произвольных N=2 сечений полностью определяет поведение процесса
• Плотность совместного распределения произвольных N=4 сечений полностью определяет поведение процесса

Нормальный закон распределения имеет следующую функцию плотности распределения p(х):

Суммой двух событий A и B называют:

• событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих или событию или

• событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих или событию или

• событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих и событию и

• событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих и событию и

• событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих и событию и

Формула полной вероятности:

Какова вероятность того, что при броске стандартного кубика выпадет число больше 4?

• 1/2
• 2/3
• 1/3
• 1/4

Сколько существует сочетаний из 5 различных предметов, выбранных из группы из 10 предметов?

• 10
• 100
• 252
• 120

Бросают 2 кубика. События А – «выпавшее на первом кубике больше единицы» и В – «выпавшее на втором кубике меньше шести» являются:

• несовместными, зависимыми
• совместными, зависимыми
• несовместными, независимыми
• совместными, независимыми

Достоверными событиями называются:

• если появление одного из двух событий исключает появление другого
• если наступление одного из двух событий не исключает появление другого
• события, которые в данном испытании должны произойти
• события, которые в данном испытании не могут произойти

Совместными событиями называются:

• если наступление одного из двух событий не исключает появление другого
• события, которые в данном испытании не могут произойти
• события, которые в данном испытании должны произойти
• если появление одного из двух событий исключает появление другого

В ящике 9 лампочек, две из которых бракованные. Наугад вынимают три. Определить вероятность того, что одна из вынутых лампочек окажется бракованной.

• 0,25
• 0,3
• 0,5
• 0,17

Когда применяется классический способ задания вероятности:

• пространство элементарных событий замкнуто, все события независимы
• пространство элементарных событий конечно, все элементарные события независимы
• пространство элементарных событий конечно, все события равновозможные
• пространство элементарных событий бесконечно, все события равновозможные и независимые

Когда применяется геометрический способ задания вероятности:

• пространство элементарных событий конечно, все элементарные события независимы
• пространство элементарных событий замкнуто, все события независимы
• пространство элементарных событий бесконечно, все события равновозможные и независимые
• пространство элементарных событий конечно, все события равновозможные

Выборочный метод, применяемый математической статистикой, предполагает:

• устранение ошибки репрезентативности выборки
• достоверную оценку интересующего параметра распределения
• оценку параметров распределения признака на основе изучения части единиц генеральной совокупности с определённой доверительной вероятностью
• изучение всех единиц статистической совокупности

Предметом математической статистики является изучение:

• случайных величин
• случайных событий
• упорядоченных совокупностей
• вероятностей событий

Указать верное определение. Суммой двух событий называется:

• Новое событие, состоящее в том, что происходит или первое, или второе, или оба вместе
• Новое событие, состоящее в том, что происходит одно но не происходит другое
• Нет верного ответа
• Новое событие, состоящее в том, что происходят оба события одновременно

Указать верное определение. Произведением двух событий называется:

• Нет верного ответа
• Новое событие, состоящее в том, что происходит или первое, или второе, или оба вместе
• Новое событие, состоящее в том, что происходят оба события одновременно
• Новое событие, состоящее в том, что происходит одно но не происходит другое

Указать верное определение. Мода распределения – это:

• значение случайной величины при котором вероятность равняется 0
• значение случайной величины при котором вероятность равняется 0,5
• значение случайной величины при котором либо вероятность, либо функция плотности достигают максимального значения
• значение случайной величины при котором вероятность равняется 1

Стрелок попадает в цель в среднем в 8 случаях из 10. Найдите вероятность, что, сделав три выстрела, он два раза попадет:

• 0,321
• 0,314
• 0,324
• 0,384

Как называются события в данном испытании, если в этом испытании они несовместны и одно из них в результате испытания обязательно произойдет?

• противоположными
• условными
• разрешенными
• равновозможными

В лифт шестиэтажного дома вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из пяти этажей, начиная со второго. Найти вероятность, что все пассажиры выйдут на разных этажах.

• 0, 48
• 0, 52
• 0
• 0,5

Ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (xi,ni), где xi– значение вариационного ряда, ni – частота, – это:

• огива
• гистограмма
• полигон
• кумулята

Р(НkA) = - это формула

• Байеса
• Бернулли
• Колмогорова
• Лапласа

В ящике находятся 8 желтых, 5 черных и 10 зеленых карандашей. Случайным образом выбирают один карандаш. Какова вероятность того, что карандаш не желтый? (Число записать в виде дроби используя символ «/»)

Теория вероятностей изучает:

• закономерности в неслучайных явлениях
• факторы, появление которых строго определено
• величины, принимающие различные значения, не зависящие от случайного фактора
• закономерности в случайных массовых явлениях

Если имеется группа из n несовместных событий Hi, в сумме составляющих все пространство, и известны вероятности P(Hi), а событие A может наступить после реализации одного из Hi и известны вероятности P(A/Hi), то P (вычисляется по формуле):

• Бернулли
• Байеса
• Муавра-Лапласа
• полной вероятности

Вероятность того, что дом может сгореть в течение года, равна 0.01. Застраховано 500 домов. Определите асимптотическое приближение, чтобы сосчитать вероятность того, что сгорит не более 5 домов:

• распределением Пуассона
• формула Бернулли
• локальной формулой Муавра-Лапласа
• интегральной формулой Муавра-Лапласа

Функция плотности распределения случайной величины p(x) это:

• средняя плотность распределения вероятности на интервале , равная

• средняя плотность распределения вероятности на интервале , равная

• предельная средняя плотность вероятности на интервале , равная

• предельная средняя плотность вероятности на интервале , равная

• предельная средняя плотность вероятности на интервале , равная

Коэффициент корреляции случайных величин характеризует:

• Степень независимости между случайными величинами
• Степень разброса двух величин относительно математического ожидания
• Степень нелинейной зависимости между случайными величинами
• Степень регрессии между случайными величинами
• Степень линейной зависимости между случайными величинами

X и Y — независимы. DX = 5, DY = 2. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+3Y):

• 19
• 76
• 38

Что такое условная вероятность события A при условии, что произошло событие B?

• Разность вероятностей событий A и B
• Произведение вероятностей событий A и B
• Вероятность события A при условии события B
• Сумма вероятностей событий A и B

Изделия изготавливаются независимо друг от друга. В среднем одно изделие из ста оказывается бракованным. Найдите вероятность того, что из двух взятых наугад изделий окажутся неисправными оба:

• 0.001
• 0.0001
• 0.01

Дисперсионный анализ позволяет:

• Установить количество факторов влияния на изменчивость признака
• Установить степень влияния факторов на дисперсию
• Установить степень влияния фактора на среднее значение
• Установить степень влияния фактора на изменчивость признака
• Установить степень влияния фактора на числовые характеристики случайной величины

Сущность предельных теорем и закона больших чисел заключается:

• В определении суммарных значений основных характеристик законов распределения
• В определении числовых характеристик случайных величин при большом числе наблюдаемых данных
• В поведении числовых характеристик и законов распределения случайных величин при увеличении числа наблюдений и опытов
• В поведении числовых характеристик и законов распределения наблюдаемых значений случайных величин
• В определении области применения нормального закона распределения случайных величин при сложении большого количества случайных величин

Какова вероятность того, что случайно выбранная точка внутри круга лежит в его половине?

• 1/2
• 1/8
• 1/π
• 1/4

Для чего при проверке гипотезы о равенстве средних двух совокупностей должна быть проведена вспомогательная процедура?

• чтобы установить, равны ли объемы выборок
• чтобы установить, равны ли дисперсии в генеральных совокупностях
• чтобы установить, равны ли объемы выборок и равны ли дисперсии в генеральных совокупностях
• нет правильного ответа

По выборке объема n=10n=10 получена выборочная диcперсия D∗=90D∗=90. Тогда уточненная выборочная дисперсия S2S2 равна

• 81
• 80
• 100
• 90

Человеку, достигшему 20-летнего возраста, вероятность умереть на 21-м году жизни равна 0,01. Найдите вероятность того, что из 200 застраховавшихся человек в возрасте 20-ти лет один умрет через год:

• 0.246
• 0.271
• 0.256

Сколько существует перестановок букв в слове «СТАТИСТИКА»?

• 5040
• 120
• 362880
• 720

Условной вероятностью события B при условии, что событие A с ненулевой вероятностью произошло, называется:

• р(B/A) = р(AB) / р(B)
• р(B/A) = р(AB) / р(A)
• р(B/A) = р(AB) р(A)

В круг радиусом 20 см помещен меньший круг радиусом 10 см так, что их центры совпадают. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения:

• 0.75
• 0.5
• 0.075

Проводится n независимых испытаний, в которых вероятность наступления события A равна p. Вероятность того, что событие A наступит M раз, вычисляется по формуле Бернулли:

• да
• по формуле Байеса
• нет

Что такое биномиальное распределение?

• Распределение, описываемое непрерывной случайной величиной
• Распределение, где все значения равновероятны
• Распределение, описываемое колоколообразной кривой
• Распределение дискретной случайной величины, описывающее количество успешных и неуспешных исходов в серии независимых одинаковых испытаний

Может ли неизвестная дисперсия случайной величины выйти за границы, установленные при построении ее доверительного интервала с доверительной вероятностью γγ?

• может с вероятностью 1−γ1−γ
• может только в том случае, если исследователь ошибся в расчетах
• может с вероятностью γγ
• не может

Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа станок потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0.1, для второго — 0.2 и для третьего — 0.15. Найти вероятность того, что в течение некоторого часа хотя бы один из станков потребует внимания рабочего:

• 0.635
• 0.935
• 0.388