Ответы на вопросы из коллекции "Высшая математика Синергия Ответы на тесты 1-6, итоговый тест"

Разность координат нормального вектора плоскости 2x-y+3z-2=0 равна …

Пусть дана матрица A = ((3, −2), (−1, 5)), тогда вторая степень матрицы A (A²) равна …

• ((11, −16), (−8, 27))
• ((9, 4), (1, 25))
• ((−3, 2), (1, 5))
• ((9, −4), (1, 25))

Сумма элементов второй строки матрицы, обратной к матрице A = ((2, 3, 1), (0, 1, 0), (3, 1, 1)), равна …

Пусть дана система уравнений A = (2x₁ − 3x₂ + x₃ = 5, x₁ + x₂ − 3x₃ = 7, 5x₁ − x₂ + 6x₃ = 1, тогда определитель |A₁| этой системы равен …

• 142
• 143
• 144

Пусть дана матрица A = ((2, 3, −4), (5, −6, −7), (8, 9, 1)), тогда определитель матрицы равен …

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(-3,2) и B(7,-8), имеет вид …

• (x + 3) / −10 = (y − 2) / −10
• (x − 3) / 2 = (y − 2) / 3
• (x + 3) / 10 = (y − 2) / −10

Расположите прямые y₁, y₂ и y₃, заданные уравнениями, в порядке возрастания их угловых коэффициентов:

1. y₂=5
2. y₁=7x-2
3. y₃=-x+3

Транспонированная матрица Aᵀ для матрицы A = ((2, −5), (−3, 6), (4, 7)) имеет вид: …

• ((4, 7), (−3, 6), (2, −5))
• (−5, 6, 7), (2, −3, 4))
• ((7, 6, −5), (4, −3, 2))
• ((2, −3, 4), (−5, 6, 7))

Уравнение прямой, проходящей через точки A(-2,-3) и B(-7,-5), имеет вид …

• y=0,4x+2,2
• y=0,4x-2,2
• y=0,4x-3,2

Решением системы уравнений A = {2x₁ − 3x₂ + x₃ = 5, x₁ + x₂ − 3x₃ = 7, 5x₁ − x₂ + 6x₃ = 1 будет …

• ((142/63), (−7/9), (−116/63))
• ((142/63), (−7/12), (−116/63))
• ((−142/63), (7/9), (−116/63))

Произведением матриц A = ((2, −5), (−3, 6), (4, 7)) и B = ((−3, 4), (5, −9)) называется матрица C, равная …

• ((31, −53), (−39, 66), (−23, 47))
• ((−31, 53), (39, −66), (23, −47))
• ((25, 66), (−17, 47), (31, −53))
• ((21, 35), (33, −66), (32, −47))

Пусть дана система уравнений A = {2x₁ − 3x₂ + x₃ = 5, x₁ + x₂ − 3x₃ = 7, 5x₁ − x₂ + 6x₃ = 1, тогда определитель |A₂| этой системы равен …

• -49
• -48
• -50

Разностью матриц A = ((7, −3), (2, 0)) и B = ((5, −2), (−3, 8)) является матрица C, равная …

• ((2, −1), (5, −8))
• ((2, 1), (5, 5))
• ((2, −5), (−5, 0))
• ((2, −8), (−1, 5))

Векторное произведение векторов a{1, 2, 3} и b{6, 7, 8} равно …

• {-7, 10, 6}
• {-5, 10, -5}
• {-7, -10, -6}

Уравнение … является параметрическим уравнением прямой

• (x − z) / 3 = (y + 1) / z
• 3x + 2y − 5 = 0
• {x = 3t + 1, y = t − 1

Скалярное произведение векторов a{2, 5, 7} и b{−3, 4, −9} равно …

Пусть дана система уравнений A = {2x₁ − 3x₂ + x₃ = 5, x₁ + x₂ − 3x₃ = 7, 5x₁ − x₂ + 6x₃ = 1, тогда определитель |A₃| этой системы равен …

• -114
• -115
• -116

Уравнение плоскости, проходящей через точки A(-2,2,8), B(4,0,6) и C(2,0,6), имеет вид …

• x+y=0
• y-z+6=0
• x+y-6=0

Числовой множитель можно … за знак транспонирования

• вносить
• удалять
• выносить
• умножать

Установите соответствие между способом задания прямой на плоскости и уравнением прямой:
A. Известны точка M(x₀,y₀) и угловой коэффициент k
B. Известны точки A(x₁,y₁) и B(x₂,y₂)
C. Известны отрезки a и b
D. y = y₀ + k(x − x₀)
E. (x − x₁) / (x₂ − x₁) = (y − y₁) / (y₂ − y₁)
F. x / a + y / b = 1

Произведением матриц A = ((2, −5), (−3, 6), (4, 7)) и B = ((−3, 4), (5, −9)) называется матрица C, равная …

1. ((−7452, 9355), (7484, −9323))
2. ((1076, −1325), (−1060, 1341))
3. ((−148, 195), (156, −187))
4. ((24, −25), (−20, 29))

Сумма координат нормального вектора плоскости 2x-y+3z-2=0 равна …

Разностью матриц А и В называется … матрицы А с матрицей, противоположной матрице В

Пусть даны векторы a{2, 3, 4} и b{5, 6, 7}, тогда сумма координат вектора a + b равна …

Координаты середины отрезка с концами в точках A(-3,-2,5) и A(5,2,1) равны …

• (4,2,6)
• (1,0,3)
• (7,8,9)

Расположите обозначения взаимного расположения прямой l и плоскости α в порядке «прямая пересекает плоскость, прямая перпендикулярна плоскости, прямая параллельна плоскости»:

1. l ∩ α
2. l ⊥ α
3. l ∥ α

Говоря о взаимном расположении двух прямых y₁=3x+5 и y₂=-2x+1 на плоскости, можно утверждать, что эти прямые …

Ордината точки пересечения прямых y₁=2x+1 и y₂=-2x+3 равна …

Уравнение … является уравнением прямой с угловым коэффициентом

• (x − 2) / 3 = (y + 1) / 2
• 3x+2y-5=0
• y = 2x – 5

Вектор a{4, −8, 11} имеет длину, равную …

• √201
• √202
• √203

Косинус угла между прямыми y₁=-2x+5 и y₂=2x-2 равен …

• 0,5
• 1
• 0,6

Если вектор a(3, −4, 5) умножить на число 6, тогда сумма координат вектора 6a будет равна …

• 25
• 24
• 26

Сумма координат середины отрезка с концами в точках A(-3,-2,5) и A(5,2,1) равна …

Расстояние от точки A(2,4,1) до плоскости 2x-y+3z=2 равно …

• 1/√14
• 2/√14
• 3/√15

Медиана – это прямая, проходящая из вершины A к середине стороны BC. Нужно найти координаты точки M- середины стороны BC. Запишите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки A и M.

• (x + 6) / 3 = (y − 4) / 3 = (z − 3) / −3
• (x + 9) / 3 = (y − 7) / 3 = (z − 3) / −3
• (x + 2) / 3 = (y − 1) / 3 = (z − 3) / −3

Дистрибутивность (*) умножения справа относительно сложения матриц выглядит так: …

• C*(A+B)=C*A+C*B
• (A+B)*C=A*C+B*C
• C*(A-B)=C*A-C*B
• (A-B)*C=A*C-B*C

Расположите записи векторных операций в порядке «скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов, смешанное произведение векторов»:

1. (a, b)
2. a × b
3. (a × b, c)

Прямая, проходящая через основания перпендикуляра и наклонной, называется …

• диагональю
• секущей
• проекцией

Дан вектор a = {2, 3, 2}.
Найти вектор x, коллинеарный вектору a = {2, 3, 2} и удовлетворяющий условию (x, a) = 34.

• x = {3, 6, 4}
• x = {4, 5, 4}
• x = {4, 6, 4}

Пусть дан вектор a{−3, 7, 2}, тогда длина вектора −4a равна …

• √992
• √990
• √989

Линейная комбинация векторов a₁, …, aₙ называется … комбинацией, если хотя бы один из коэффициентов λ₁, …, λₙ отличен от нуля

Матрица А называется …, если ее определитель отличен от нуля

• вырожденной
• обратной
• невырожденной

Дана матрица A = ((1, 1, −2), (1, 1, 2), (1, 2, 1)). В результате операции транспонирования была получена матрица Aᵀ = ((1, 1, 1), (1, 1, 2), (−2, 2, 1)).
Каким образом была получена матрица Aᵀ?

• Сложили строки и столбцы матрицы.
• Возвели матрицу в степень.
• Строки и столбцы поменяли местами с сохранением порядка.

Вектор a{−4, 8, −9} имеет длину, равную …

• √150
• √160
• √161

Сумма координат вектора a = 2i + 3j − k равна …

Пусть дана матрица A = ((1, −1, 2), (3, 4, −5), (7, −9, −8)), тогда определитель транспонированной матрицы равен

• -167
• -175
• -176

Расположите значения миноров M₁₁, M₂₂, M₃₃, M₂₃ матрицы A = ((2, 3, 4), (5, −6, 7), (−8, 9, 0)) в порядке возрастания:

1. M₁₁
2. M₃₃
3. M₂₂
4. M₂₃

Пусть дан вектор a{−3, 7, 2}, тогда длина вектора −2a равна …

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(2,3) и B(0,5), имеет вид …

• (x − 2) / −2 = (y − 3) / 2
• (x − 3) / 2 = (y − 2) / 3
• (x + 3) / −2 = (y − 2) / −3

Всякий вектор на плоскости можно выразить в виде линейной комбинации любых двух … векторов

Для системы уравнений {3x₁ − x₂ = 1, 2x₁ + x₂ = 5, x₁ − 2x₂ = 0 установите соответствие между характеристиками и их значениями:
A. Ранг основной матрицы
B. Ранг расширенной матрицы
C. Количество решений системы
D. 2
E. 3
F. 0

Пусть дана система уравнений A = (2x₁ − 3x₂ + x₃ = 5, x₁ + x₂ − 3x₃ = 7, 5x₁ − x₂ + 6x₃ = 1, тогда определитель |A| этой системы равен …

• 62
• 63
• 64

Ранг матрицы при элементарных преобразованиях …

• меняется
• не меняется
• уменьшается
• увеличивается

Расстояние от точки A(1, −4) до прямой y = 4/3 x − 4 равно …

Говоря о взаимном расположении двух прямых y₁ = 7x-3 и y₂ = (-1/7) x + 3 на плоскости, можно утверждать, что эти прямые …

Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + 3x₂ − x₃ = 9, x₁ − 2x₂ + x₃ = 3, x₁ + 2x₃ = 2, тогда определитель |A| этой системы равен …

Векторное произведение векторов a{1, 2, 3} и b{4, 5, 6} равно …

• {-3,6,-3}
• {3,6,3}
• {-3,-6,-3}

Если уравнение плоскости задано точкой A(−2, 2, 8) и нормалью n(1, 2, 3), то коэффициент при переменной z в данном уравнении равен …

Матрица, дважды транспонированная, равна …

• обратной матрице
• исходной матрице
• транспонированной матрице
• квадрату транспонированной матрицы

Минор элемента матрицы совпадает с алгебраическим дополнением в случае, когда …

• (i + j) – нечетное число
• (i + j) – четное число
• (i + j) = 1

Установите соответствие между понятием и его определением:
A. Нуль-вектор
B. Коллинеарные векторы
C. Длина вектора
D. вектор, начало и конец которого совпадают
E. векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых
F. длина соответствующего отрезка

Пусть даны векторы a{1, 2, 3} и b{8, 9, 10}, тогда сумма координат вектора a + b равна …

Сумма координат вектора a = 8i − 4k равна …

Разность координат нормального вектора плоскости 3x-2y+z-1=0 равна …

Система линейных уравнений называется … системой линейных уравнений, если все свободные члены в этой системе равны нулю

Сопоставьте миноры матрицы A = ((2, 3, 4), (5, −6, 7), (−8, 9, 0)) с их значениями:
A. M₁₂
B. M₂₁
C. M₃₂
D. 56
E. -36
F. -6

Расстояние от точки A(3,9,1) до плоскости 2x-y+3z=2 равно …

• 1/√15
• 2/√14
• 3/√15

Дана матрица A = ((1, 0, 1), (2, 3, 5), (0, 4, 8)). Найдем определитель матрицы:
|A| = 1 ⋅ 3 ⋅ 8 + 0 ⋅ 5 ⋅ 0 + 1 ⋅ 2 ⋅ 4 − 1⋅ 3 ⋅ 0 − 1 ⋅ 5 ⋅ 4 − 0 ⋅ 2 ⋅ 8 = 24 + 0 + 8 − 0 − 20 − 0 = 12.
Как был найден определитель матрицы?

• Определитель матрицы был найден при помощи теоремы Лапласа.
• Определитель матрицы был найден при помощи элементарных преобразований.
• Определитель матрицы был найден при помощи формулы треугольника.

Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + 3x₂ − x₃ = 9, x₁ − 2x₂ + x₃ = 3, x₁ + 2x₃ = 2, тогда определитель |A₁| этой системы равен …

Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + 3x₂ − x₃ = 9, x₁ − 2x₂ + x₃ = 3, x₁ + 2x₃ = 2, тогда определитель |A₂| этой системы равен …

Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + 3x₂ − x₃ = 9, x₁ − 2x₂ + x₃ = 3, x₁ + 2x₃ = 2, тогда определитель |A₃| этой системы равен …

Сумма координат нормального вектора плоскости 3x-y+2z+1=0 равна …

Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен …

Переход от матрицы А к новой матрице, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка, называется … матрицы А

Пусть дана система уравнений {2x₁ + 2x₂ + x₃ = −6, 3x₁ + 2x₂ − x₃ = −8, 4x₁ − x₂ − x₃ = −7, тогда ее решение равно …

• (2,1,2)
• (-2,-1,0)
• (1,2,1)

Система уравнений {x₁ − 2x₂ + 3x₃ = 0, −x₁ + 2x₂ + 4x₃ + 3x₄ = 0, −5x₂ + 2x₄ = 0 …

• имеет одно решение
• имеет бесконечно много решений
• не имеет решений

Квадратная матрица – это матрица, у которой …

• число строк не равно числу столбцов
• ниже главной диагонали лежат нули
• все элементы равны нулю
• число строк равно числу столбцов

Числовой матрицей размера m х n называется

• четная или нечетная числовая функция
• прямоугольная таблица m х n чисел, состоящая из m строк и n столбцов
• вектор
• прямоугольная таблица m х n чисел, состоящая из m столбцов и n строк

Дана система уравнений {x₁ + 2 ⋅ x₂ − x₃ = 1, −3 ⋅ x₁ + x₂ + 2 ⋅ x₃ = 0, x₁ + 4 ⋅ x₂ + 3 ⋅ x₃ = 2. Решая уравнение методом Крамера, какие действия необходимо совершить?

• Записать расширенную матрицу системы; выполнить элементарные преобразования; получить эквивалентную систему уравнений.
• Записать матричное уравнение; вычислить определитель матрицы; найти обратную матрицу; найти алгебраические дополнения; решить систему матричного уравнения.
• Найти определитель матрицы; найти значения n определителей путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; найти значение неизвестных через отношения советующих полученных определителей к определителю изначальной матрицы.

Координаты середины отрезка с концами в точках A(3,2,5) и В(5,2,7) равны …

• (4,2,6)
• (2,3,5)
• (7,8,9)

Матрица называется … матрицей, если в каждой ее ненулевой строке имеется такой ненулевой элемент, что все остальные элементы столбца, содержащего этот элемент, равны нулю

Пусть дана система уравнений {3x + 2y − 4z = 8, 2x + 4y − 5z = 11, 4x − 3y + 2z = 1, тогда выражение x + y + z равно …

• 6
• 7
• 8

Расположите в правильном порядке шаги решения системы уравнений методом Гаусса:

1. составить расширенную матрицу системы
2. с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду
3. на основе полученной ступенчатой матрицы составить и решить систему линейных уравнений

Неверно, что произведение матриц А и В вводится только в том случае, когда …

• матрица А согласована с матрицей В
• матрица В согласована с матрицей А
• число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В

• матрицы А и В одной размерности

Пусть дана матрица A = ((2, 3), (4, −5)), тогда ее определитель равен …

• 22
• -25
• -22

Скалярное произведение векторов a{2, 3, 4} и b{−1, −2, −3} равно …

Ордината точки пересечения прямых y₁=2x+1 и y₂=-2x-1 равна …

Сумма координат середины отрезка с концами в точках A(3,2,5) и В(5,2,7) равна …

Уравнение плоскости, проходящей через точки A(-2,2,8), B(4,5,6) и C(2,4,6), имеет вид …

• x-2y+6=0
• 2x+2y+3=0
• x+y+z=0

Если уравнение плоскости задано точкой A(−2, 2, 8) и нормалью n(1, 2, 3), то коэффициент при переменной y в данном уравнении равен …

Установите соответствие между способом задания плоскости в пространстве и ее уравнением:
A. Даны тока M(x₀, y₀, z₀) и нормаль n(A, B, C)
B. Вектор l(m, n, p) параллелен плоскости, которая проходит через точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂)
C. Общее уравнение плоскости с нормальным вектором n(A, B, C)
D. A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀)
E. |(x – x₁, y – y₁, z – z₁), (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁), (m, n, p)| = 0
F. Ax + By +Cz + D = 0

Пусть дана система уравнений {2x₁ + 3x₂ − x₃ = 9, x₁ − 2x₂ + x₃ = 3, x₁ + 2x₃ = 2, тогда ее решение равно …

• (4,0,-1)
• (4,2,-1)
• (4,3,-1)

Установите соответствие между матрицей и ее видом:
A. ((1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 1, 2))
B. ((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0))
C. ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))
D. ((3, 0, 0), (2, 4, 0), (5, 1, 5))
E. квадратная матрица
F. нулевая матрица
G. единичная матрица
H. нижняя треугольная матрица

Установите соответствие между свойствами сложения матриц А и В и их записями:
A. Коммутативность
B. Ассоциативность
C. Сложение с нейтральным элементом
D. Сложение с противоположным элементом
E. А + А = В + А
F. (А + В) + С = А + (В + С)
G. А + 0 = 0 + А
H. А + (-а) = (-а) + А + 0

Расположите значения миноров M₁₁, M₁₃, M₂₁, M₃₂ матрицы A = ((2, −7, 3), (4, 5, −2), (−8, 1, −3)) в порядке убывания:

1. M₁₃
2. M₂₁
3. M₁₁
4. M₃₂

Расположите условия взаимного расположения в пространстве прямой, заданной уравнением (x − x₀) / l = (y − y₀) / m = (z − z₀) / n, и плоскости, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, в порядке «прямая параллельна плоскости, прямая перпендикулярная плоскости, прямая образует с плоскостью угол α»

1. Al+Bm+Cn=0
2. A / l = B / m = C / n
3. sin α = (Al + Bm + Cn) / (√(A² + B² + C²) ⋅ √(l² + m² + n²))

Две матрицы А и В называются … матрицами, если их размеры совпадают и их соответствующие элементы равны

Математик Джеймс Сильвестр ввел термин «матрица» в …

• 1860 г.
• 1840 г.
• 1850 г.
• 1870 г.

Неверно, что матрицы в паре … можно перемножить (укажите 2 варианта ответа)

• ((1, 2), (3, 4), (5, 6)) и ((3, 4), (5, 6))
• ((0, 0, 1), (0, 1, 0), (2, 0, 0)) и ((1, 2, 3), (0, 1, 2))
• ((1, 2, 3), (4, 5, 6)) и ((3, 4), (5, 6))
• ((5, −8), (−7, 4), (5, −5)) и ((−3, 4), (5, −6))

Расположите результаты умножения матрицы A = ((3, 4), (0, −7), (−2, 5)) на число α в порядке α = 2, α = −3, α = 5, α = −5:

1. ((6, 8), (0, −14), (−4, 10))
2. ((−9, 12), (0, 21), (6, −15))
3. ((15, 20), (0, −35), (−10, 25))
4. ((−15, −20), (0, 35), (10, −25))