Методы оценки надежности конструкций

10. Методы оценки надежности конструкций

10.1 Развитие методов расчета в отечественных нормах

Необходимый уровень надежности обеспечивается не только расчетными требованиями норм проектирования, а зависит также от методов расчета, принятой конструктивной схемы, вида соединений конструктивных элементов, правил конструирования, плана контрольных испытаний и условий приемки при изготовлении и монтаже.

Изначально до середины 30-х годов прошлого века применялся метод допускаемых напряжений. Он заключался в том, что для любого волокна конструкции должно было выполняться условие

k S £ S_доп,

где S_доп - допускаемое напряжение; S - напряжение в волокне, определяемое методами строительной механики; k - коэффициент запаса.

В этом методе коэффициент запаса для всех конструкций из данного материала был одинаков, что не отвечало фактической работе таких комплексных материалов, какими являются железобетон и каменная кладка, компоненты которых имеют различные механические характеристики и в соответствии с этим в различной степени и с различной быстротой исчерпывают свою несущую способность. Кроме того, работа строительных материалов в конструкциях рассматривалась лишь в упругой стадии, т.е. не учитывались пластические свойства материалов изменчивость нагрузок и сопротивлений материалов. Поэтому метод допускаемых напряжений модифицировался в метод разрушающих нагрузок.

Расчетное условие этого метода в общем виде

k F_н < R_н,

Рекомендуемые материалы

где k - коэффициент запаса, зависящий от соотношения нагрузок;

F_н - нормативное значение нагрузки;

R_н - нормативное значение несущей способности (среднее значение прочности бетона или так называемая гарантируемая прочность стали).

Стала учитываться пластическая работа материала для определенных схем разрушения.

Введение в середине 50-х годов ХХ века метода предельных состояний позволило учесть специфику работы разных конструкций и фактическую изменчивость нагрузок и механических свойств строительных материалов и т.д., т.е. позволило достичь определенного выравнивания надежности отдельных элементов конструкции, составляющих единое целое.

Этот метод опирается на статистическое изучение значений нагрузок, механических свойств материалов и условий работы конструкций и материалов. Общее условие непревышения предельного состояния может быть представлено в виде

y(F_p,R_p,g_n,g_a,g_c,с )³ 0.                                                           (1.10),

Здесь F_p - расчетное значение нагрузки;

F_p,=F_нg_f,

где g_f - коэффициент надежности по нагрузке;

F_н - нормативное значение нагрузки.

R_p - расчетное значение сопротивления материала;

R_p=R_н/g_m;

R_н - нормативное значение сопротивления материала;

g_m - коэффициент надежности по материалу;

g_n - коэффициент надежности по ответственности конструкции;

g_c - коэффициент условий работы;

g_a - коэффициент точности;

с - постоянные, включающие предварительно выбранные расчетные ограничения, задаваемые для некоторых видов предельных состояний (по прогибам, раскрытию трещин и т.п.).

Условие (1.10) определяет границу области допустимых состояний конструкции. Входящие в это условие факторы можно условно разделить на две группы. Первая группа факторов зависит от свойств самой конструкции, вторая от внешних воздействий. Это разделение возможно из-за отсутствия в большинстве случаев функциональных и корреляционных связей. Тогда условие (1.10) можно представить в виде:

                                                        (2.10),

с - предельное значение нормируемых параметров (прогиба, угла поворота, раскрытия трещин).

Условие непревышения границы области допустимых состояний конструкций может определяться как

R-F>0,

где с.в. R – обобщенная прочность конструкции;

F – обобщенная нагрузка,

или иначе

S = R-F                                                                        (3.10),

где F – наибольшее значение усилия (или напряжения) в конструкции, выраженное через внешнюю нагрузку (т.е. задача определения напряженного состояния предполагается решенной);

R – несущая способность, выраженная в тех же единицах, и отвечающая предельному состоянию конструкции по прочности (предел текучести, предел прочности и т.д.);

S – резерв прочности.

10.2  Резерв прочности

Вероятность разрушения конструкции:

                                                         (4.10),

где p_s(S) – плотность распределения резерва прочности.

P_s(0) – значение функции распределения резерва прочности при S=0 (вероятность того, что S £ 0, т.е. разрушения).

Плотность распределения резерва прочности при взаимонезависимости R и F:

                                                            (5.10),

где p_r(R) – плотность распределения несущей способности;

p_r(S+F) – та же функция, но с аргументом S+F;

p_f(F) - плотность распределения внешнего усилия.

При взаимонезависимости R и F

.

Эквивалентная (5.10) формула

                                                              (5¢.10),

где  p_f(R-S) - плотность распределения усилия, но с аргументом (R-S).

В случае, когда R и F зависимы, (5.10) и (5¢.10) соответственно запишутся в виде

                                                                  (6.10)

и

                                                                (6¢.10),

где p(R,F) – функция совместной плотности распределения R и F; p(S+F,F) и

p(R,R-S) – то же, но с аргументами S+F и R-S.

10.3 Характеристика безопасности

При любых законах распределения с.в. R и F м.о. и дисперсия резерва прочности S:

;                                                       (7.10).

Для удобства вводят характеристику безопасности (при независимых R и F)

                                                           (8.10).

b показывает число стандартов s(S), укладывающихся в интервале от S до  (см. рис. c. 26).

Из (24.3) следует, что

                                                                              (9.10),

где V(S) – коэффициент вариации (изменчивости) с.в. S (резерва прочности).

Можно записать и так

                                                                             (10.10).

Для функции нормального распределения (см. 46.4) S вероятность разрушения:

                                      (11.10).

Тогда, используя (48.4) и (10.10)

                                              (12.10),

где Ф(b) – интеграл вероятности Гаусса (47.4) с аргументом b.

В таблице и на графике приведены зависимости характеристики безопасности b от вероятности разрушения Q и неразрушения P.

Пример 5.

Случайная нагрузка распределена по нормальному закону. =100кН, s(F)=10 кН. Предел текучести R_y=230 МПа. Определить площадь сечения растянутого стержня А, при которой обеспечивается вероятность неразрушения P=0.99.

По (12.10) ® характеристика безопасности b =2,33. Учитывая несущую способность R=A×R_y  по (8.10) имеем

,

где , откуда площадь

 (см²).

При детерминированном расчете, если усилие F определено и равно :

A=F/R_y = 4.35 (см²),

Разница результатов D=18,8%.

Пример 6

Нагрузка F и предел текучести R_y – случайны, распределены нормально.  кН, s(F)=10 кН,  МПа, s(R_y)=10 МПа, А = 5,36 (см²). Определить вероятность неразрушения растянутого стержня.

Несущая способность вычисляется по формуле:

R=A×R_y.

Математическое ожидание несущей способности

,

Стандарт прочности материала

s(R)=s(R_y)×A                                                 (согласно (38.3)).

Определим характеристику безопасности (8.10)

.

По (12.10) P=0.5+Ф(2.64)=0.9959. Вероятность неразрушения выше, чем в первом случае, т.к. для разрушения и нагрузка и предел текучести одновременно должны достичь неблагоприятных значений, что менее вероятно ().

10.4 Коэффициент запаса

Иногда вместо резерва прочности вводят случайный коэффициент запаса

K=R/F                                                                     (14.10)(106).

здесь K, R, F – случайные величины.

Тогда вероятность разрушения

                                                          (15.10)(107),

где P_k(1) – функция распределения коэффициента запаса при аргументе K=1.

Вероятность неразрушения

P=P(K>1)                                                                       (16.10)(108).

М.о. коэффициента запаса (коэффициент детерминированный)

                                                                       (17.10)(109).

Разделим числитель и знаменатель правой части (8.10) на  и используя (17.10) получим характеристику безопасности

                                (18.10)(110),

где ,  - коэффициенты вариации усилия и несущей способности.

Из (18.10) при делении на  числителя и знаменателя видно, что при  , при . Можно доказать, что при увеличении  от 1 до ¥  b монотонно изменяется от 0 до .

Нижний предел ожидаемого значения коэффициента запаса

                                                           (19.10)(111),

где  - коэффициент вариации коэффициента запаса.

Приближенно

                                                          (20.10)(112).

Можно вывести приближенную формулу, связывающую характеристику безопасности b и коэффициент запаса

                                                            (21.10)(113).

Выражение (21.10) используется при небольших значениях V(R) и V(F), иначе

                                           (22.10)(114) –

получено из (18.10).

В большинстве случаев корреляционная связь между нагрузкой и прочностью отсутствует или мала. Положительная корреляционная связь нагрузки с прочностью имеет место, когда для более прочных элементов с бо¢льшей вероятностью можно ожидать относительно бо¢льших нагрузок. Отчасти это относится к статически неопределимым конструкциям, в которых бо¢льшую прочность отдельных элементов можно считать связанной с их большей жесткостью, а, следовательно, и с бо¢льшими воспринимаемыми усилиями. Пример отрицательной корреляционной связи – ослабленное отверстием сечение более прочно, т.е. сечение меньше, а прочность больше.

Если удается оценить корреляционную связь R с F с помощью корреляционного момента K(R,F), то характеристика безопасности аналогично как для (18.10)

                                                     (23.10)(115).

Тогда (18.10) запишется в виде

                                                  (24.10)(116),

где .

Здесь K(R,F) определяется по (34.3), а (22.10) запишется в виде

              (25.10)(117)

получено из (24.10).

Пример 7.

Обратная задача – по заданной надежности необходимо найти характеристики системы.

Требуется рассчитать элемент, на который действует растягивающая нагрузка.

Дано: растягивающее усилие N и прочность элемента R распределены нормально и независимы.

 кН,  кН,  МПа, МПа.

Допуск для радиуса элемента , где a=0.015 (1.5%) – доля радиуса . Требуемая вероятность безотказной работы P=0.9999.

Необходимо определить .

1. Зная Q=1-P по (12.10) находим характеристику безопасности b.

2. Используя (8.10) можно найти , для этого надо найти м.о. и стандарт напряжения . Для этого предварительно необходимо определить  и s(A).

1. По (12.10) по табл. b=3.72.

2. Сначала определим  и s(A). Непосредственно определить  и s(A) по формулам (37.3) затруднительно, поэтому используем разложение функции y=f(x) вокруг точки  в ряд Тейлора до первых 3-х членов

,                                        (П.1)

где x - остаточный член, которым можно пренебречь (тем более ).

Применим операцию м.о. для левой и правой части (П.1)

.

.

Т.е. окончательно

                                                              (П.2)

                                                                  (П.3).

Тогда т.к.  из (2.2) , где , .  и  получаем .

Вторым членом можно пренебречь, т.е.

                                                                       (П.4).

Из (П.3)

                                    (П.5).

Определим  и s(F). F=N/A=f(N,A) – функция двух переменных. Непосредственно определить  и s(F) по формулам (39.3) затруднительно, поэтому используем разложение в ряд Тейлора.

Если y=f(x₁, x₂,..., x₃) разлагаем в ряд Тейлора вокруг точки с координатами , то

     (П.6),

где x - остаточный член.

Из (П.6) можно получить (аналогично (П.2) и (П.3)):

                                      (П.7),

.

Тогда из (П.7) ,

 т.к.  ,   т.е.

                                                                                  (П.9).

Из (П.8)          или

.

Подставляем (П.4) и (П.5) ®

…

    (П.10).

Подставляем  и  - формулы (П.9 и П.10) в (18.10) и получим

                                    (П.11).

Подставляя все значения в (П.11) получаем

                                  (П.12).

После упрощений получаем уравнение для : . Это уравнение имеет два положительных корня  мм и  мм. Последний корень дает заданную вероятность безотказной работы Р = 0.9999. Интересно отметить, что другой корень  приводит к вероятности 0.0001.

При детерминированном расчете   (мм), DА = 20 %.

При увеличении допуска a надежность уменьшается

При увеличении среднеквадратического отклонения прочности s(R) элемента надежность уменьшается.

11. Статистический характер прочности

11.1  Начальная прочность материалов в строительных нормах

В действующих документах нормативные значения не совпадают с м.о. и сдвинуты по отношению к среднему значению.

                                                     (11.1)(118),

При коэффициенте изменчивости прочности менее 0,06-0,08 применяется нормальный закон распределения (т.е. не учитываются моменты высших порядков – асимметрия и эксцесс). Более всего это относится к стали, для бетона, каменной кладки, древесины и других материалов с коэффициентом изменчивости 0,15-0,25 и более корректнее использовать более точные законы распределения, учитывающие асимметрию и эксцесс. Например, функция распределения, полученная из распределения Пирсона III типа:

,

где g и b – параметры.

,

асимметрия .

По СНиП II-23-81 ”Стальные конструкции. Нормы проектирования” (приложение 8а, стр. 92) при испытаниях металла нормативное значение предела текучести  или временного сопротивления стали  определяется по результатам статистической обработки:

,

где  — математическое ожидание предела текучести или временного сопротивления;

 — среднеквадратическое отклонение предела текучести или временного сопротивления.

;

(или по (19.3)

,

где .  появляется один раз).

 — вероятность появления возможных значений  предела текучести или временного сопротивления;

 — число испытанных образцов (полная группа несовместных событий);

 — коэффициент, учитывающий объем выборки.

,

при ;

;

;

,

 показывает, на какое число стандартов  сдвинуто нормативное сопротивление по отношению к математическому ожиданию.

Чем больше , тем достовернее полученные результаты, тем меньше  и больше  ( или ).

.

При значении коэффициента вариации (изменчивости) >0.1 использовать результаты, полученные из опытов, не допускается, т. к. они ненадежны. Кроме того, коэффициентом надежности по материалу >1 учитывается разброс (изменчивость в неблагоприятную сторону) найденных нормативных сопротивлений.

Расчетное сопротивление вычисляется по формулам (здесь – для стальных конструкций):                                                                           (по пределу текучести);

или                                                       - по пределу прочности.

Нормативные значения принимаются с обеспеченностью 0.95, т. е. вероятность того, случайное фактическое сопротивление > равна 0.95, т. е.

или, приняв нормальное распределение, через интеграл вероятности Гаусса Ф(х):

.

Определим математическое ожидание предела текучести для стали С235. Примем  (худший вариант), и тогда

МПа при МПа.

При изменчивости МПа.

Определим, насколько сдвинуто влево от математического ожидания предела текучести  расчетное сопротивление по пределу текучести .

;;МПа; МПа;

МПа;

МПа;

МПа.

Таким образом, расчетное сопротивление сдвинуто влево от математического ожидания предела текучести  на  и вероятность того, что предел текучести будет меньше расчетного сопротивления  равна:

Обеспеченность расчетного сопротивления этой стали равна

.

Нормами строго установлена обеспеченность расчетных сопротивлений только для древесины и древесных пластиков. Она составляет 0,99. Для бетонов, кирпича и других конструкционных материалов нет единой обеспеченности этой важнейшей прочностной характеристики, используемой при проектировании.

11.2  Влияние износа и изменения прочности во времени

Износ (ржавление, гниение, старение) — изменение прочности конструкции или ее элементов во времени. Если прочность R — случайная величина, то при наличии износа ее следует считать случайной функцией времени .

Запишем , где  — случайная функция резерва прочности.

Отказом будет являться переход случайной функции  через нуль в отрицательную область <0).

При отсутствии взаимной корреляционной связи между  и  (т. е.  и  независимы и их взаимная корреляционная функция  (см.(68.5))) математическое ожидание случайной функции  (как детерминированной функции аргумента ):

.

Автокорреляционная функция для :

.

Дисперсия для функции  при :

.

Аналогично (78.5) временная плотность вероятности того, что <0:

,

где , вместо аргумента  — значение 0,

 — совместное распределение значений  и ее производной в данный момент времени. Знак минус указывает на то, что выбросы происходят в отрицательном направлении.

Если приближенно считать, что случайные ординаты  и  функций  и — независимые случайные величины, то (см. (80.5)):

,

где  — математическое ожидание отрицательной величины  для данного момента времени;

 зависит от , т. к.  — математическое ожидание отрицательной скорости изменения случайной функции .

Если износ практически отсутствует, то прочность не зависит от времени и представляет собой не случайную функцию, а случайную величину . При этом:

Обратите внимание на лекцию "7 Основы теории кристаллизации".

и соответственно ; .

Далее: ; т. к. .

И тогда функция надежности конструкции (вероятность неразрушения за период ):

,

где  — интегральная функция распределения резерва прочности  в начальный момент времени , (т. е.  при , представляющая собой вероятность разрушения в начальный момент времени  или вероятность мгновенного отказа).