Равномерное и неравномерное движение грунтовых вод
2. Равномерное и неравномерное движение грунтовых вод
При рассмотрении вопроса равномерного движения грунтовых вод (Рис. 11) вместо сложного пути отдельных струек в основном рассматривается лишь главное направление потока в целом.
Рис. 11. Схема движения грунтовых вод
В случае равномерного движения свободная поверхность потока (линия депрессии) параллельна линии дна (линии водоупора) т.к. глубина потока грунтовой воды (нормальная глубина) ho 
постоянна. Напорная линия (пьзометрическая 
линия) будет совпадать со свободной поверхностью потока. Поэтому гидравлический (пьезометрический) уклон будет равен геометрическому уклону I = Ip = i, где i – геометрический уклон дна. Т.к. все линии тока параллельны и имеют постоянный уклон i, скорость фильтрации u также постоянна, а следовательно, и средняя скорость фильтрации v = u. Формула Дарси в этом случае запишется в виде
u = v = k.i, или Q = k.w.i.
В случае широкого фильтрационного потока расчет ведут на единицу его ширины (рассматривают плоскую задачу). Тогда глубина потока 
, (B –ширина потока), удельный расход на единицу ширины потока (q = Q/B):
q = k.ho.i.
Рекомендуемые материалы
На рис. 12 представлено неравномерное плавно изменяющееся движение грунтовой воды. Наметим два сечения 1 – 1 и 2 – 2, расположенные на бесконечно близком расстоянии ds друг от друга. В случае плавноизменяющегося движения в русле с небольшим уклоном дна живые сечения потока принимаются плоскими и вертикальными. При этом можно считать, что расстояния между сечениями ds одинаковы по всей высоте сечения (глубине потока).
Рис. 12. Схема неравномерного движения грунтовых вод
Как уже указывалось и пьезометрический напор в этом случае постоянен по глубине потока. Из сказанного следует, что гидравлический (пьезометрический) уклон во всех точках данного живого сечения постоянен и равен уклону свободной поверхности:
Поэтому и скорость фильтрации u, как и при равномерном движении грунтовых вод, постоянна во всех точках данного живого сечения. Средняя скорость фильтрации v при постоянной скорости u равна этой скорости. По формуле Дарси имеем:
Полученная формула называется формулой Дюпюи. Из нее следует, что удельный расход воды при неравномерном движении может быть определен по формуле:
(1-4)
Неравномерное безнапорное плавноизменяющееся движение грунтовых вод, плоская задача:
а) случай i > 0 (Рис. 13)
Рис. 13. Схема неравномерного плавноизменяющегося движения грунтовых вод
Наметим плоскость сравнения 0 – 0. Расстояния будем отсчитывать вдоль поверхности водо-упора от начального сечения А – А. Так как напорная линия совпадает со свободной поверх-ностью потока, напор H в некотором живом сечении потока будет равен:
Н = a + h – i.s, (1-6)
где: h – глубина потока в рассматриваемом сечении;
a – возвышение дна (водоупора) в начальном сечении А – А над плоскостью сравнения;
i – уклон водоупора (подстилающего слоя).
Дифференцируя последнее равенство, получаем
После подстановки в (1 – 6) с учетом (1 – 4) и после сокращения на k получим дифференциальное уравнение относительно глубины потока h:
(1 – 7)
Решение этого дифференциального уравнения можно представить в виде:
. (1 – 8)
С помощью уравнения (1 – 8) можно решать различные задачи по определению удельного расхода q, одной из глубин H1 или H2, построению (по точкам) кривой депрессии. Если заданы коэффициент фильтрации k, уклон дна водоупора i и глубины H1 и H2 , сначала из уравнения (1 – 8) подбором находят нормальную глубину ho, затем по формуле (1 – 4) удельный расход q. Задаваясь с определенным шагом глубинами hi по формуле (1 – 8), подставляя в нее вместо H2 - hi, находят соответствующие расстояния li и по точкам строят кривую депрессии:
б) случай i = 0 (Рис. 14)
Рис. 14. Схема неравномерного плавноизменяющегося
движения грунтовых вод
При i = 0 дифференциальное уравнение (1 – 7) принимает вид:
В этом случае равномерное движение невозможно, движение возможно только при H1 > H2. Его решение:
. (1 – 9)
C помощью равенства (1 – 9) легко определить расход q и построить кривую депрессии.
Уравнения (1 – 8) и (1 – 9) называют уравнениями Дюпюи.
Формы кривых депрессии. Рассмотрим случай равномерной безнапорной фильтрации (Рис.14).
Рис. 14. Схема движения грунтовых вод
Поскольку скорость фильтрации V остается неизменной, при повторном дифференциировании уравнения 
получаем:
Интеграл этого простого уравнения, очевидно, имеет следующий вид:
,
где: С1 и С2 - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.
Для условий рисунок 14, очевидно, имеем С2 =H1 , С1 = (H2 - H1 )/l и
Решение, таким образом, показывает, что линия свободной поверхности фильтрационного потока ( линия депрессии) параллельна линии подстилающего водонепроницаемого пласта. Глубина потока h1 = h2 = h0 называется нормальной глубиной равномерной фильтрации.
Фильтрационный расход, очевидно, будет равен:
Q = k B h0 i
где: В – ширина потока;
i – уклон подстилающего водонепроницаемого пласта.
Рассмотрим случай одномерного неравномерного фильтрационного потока на горизонтальном водоупорном ложе (Рис. 15). Поскольку скорость фильтрационного потока при течении изменяется, то, очевидно, что при постоянном расходе будет изменяться площадь живого сечения потока и линия депрессии уже не будет параллельна линии дна.
Рис. 15. Схема движения грунтовых вод
Найдем интеграл дифференциального уравнения одномерного движения грунтовых вод для этого случая. Выразим скорость фильтрационного потока в произвольном сечении через уравнение расхода:
.
С учетом того, что поток одномерный, т. е. ω = В H получим:
.
Подставив это выражение скорости в дифференциальное уравнение 
. получим:
,
получаем дифференциальное уравнение относительно одной переменной величины Н:
,
Бесплатная лекция: "2 Расчетные схемы электрических сетей" также доступна.
которое легко проинтегрировать:
Это решение дает форму кривой депрессии:
.
Нетрудно получить также выражение для величины расхода фильтрационного потока при известных величинах напора в двух сечениях потока:
