Расчет прокатной балки, работающей на косой изгиб

3.5. Расчет прокатной балки, работающей на косой изгиб

На косой изгиб рассчитываются конструкции, изгибаемые в двух плоскостях. К таким конструкциям обычно относятся прогоны кровли с уклоном при опирании их на стропильные фермы.

Уклон кровли относительно невелик и скатная составляющая нагрузки q_y в 3 – 6 раз меньше q_x, однако жесткость прогона в плоскости ската мала (соотношение W_y/W_x составляет 1/6 – 1/8), следовательно, напряжения от скатной составляющей получаются большие, а суммируясь с напряжением от q_x могут превысить расчетное сопротивление стали.

Общая устойчивость прогонов обеспечивается элементами крепления кровельных плит или настила к прогонам и силами трения между ними. Однако на практике силы трения при свободном опирании кровельных элементов могут оказаться недостаточными, тогда возможна потеря устойчивости прогона.

Пример 3.3. Подобрать сечение прогона из прокатного швеллера пролетом l = 6 м, шаг прогонов b = 3 м. Уклон кровли i = 1:6 (угол α = 9,5º). Расчетная нагрузка g = 1,43 кН/м², нормативная – g_n = 1,17 кНм².

Прогон с сечением из швеллера следует устанавливать стенкой по направлению ската (рис. 3.6), чтобы уравновесить крутящий момент от составляющей q_y, приложенной на верхнем поясе.

Рис. 3.6. К расчету прогона

Рекомендуемые материалы

Определяем вертикальные погонные нагрузки на прогон:

– нормативную

q_n = g_nb = 1,17 × 3 = 3,51 кН/м;

– расчетную

q = qb = 1,43 × 3 = 4,29 кН/м.

Раскладываем вертикальную расчетную нагрузку на составляющие, действующие в двух плоскостях изгиба:

q_x = q сosα = 4,29 × 0,986 = 4,23 кН/м;

q_y = q sinα = 1,29 × 0,165 = 0,71 кН/м.

где     сosα = сos 9,5º = 0,986; sin 9,5º = 0,165.

Расчетные изгибающие моменты:

M_x = q_xl²/8 = 4,23 × 6² / 8 = 19,04 кН·м;

M_y = q_yl²/8 = 0,71 × 6² / 8 = 3,2 кН·м.

Подбор сечения прогона выполняем по упругой стадии работы материала.

Несущую способность прогона при изгибе в двух плоскостях проверяем по прочности (наиболее напряженная точка А).

Нормальное напряжение

где     M_y/M_x = tga = tg 9,5^о = 0,167;

W_x/W_y ≈ 6 – 8 – отношение моментов сопротивления сечения для прокатных швеллеров (предварительно принимаем W_x/W_y  = 7).

Условие прочности

s = (M_x/W_x) (1 + 7tgα) £ R_yg_c,

откуда определяем требуемый момент сопротивления:

W_x,min = M_x(1 + 7 × 0,167)/(R_yg_c) = 1904 × 2,17 / (24 × 1) = 172,15 см³.

Принимаем сечение прогона по сортаменту ГОСТ 8240-93 из [22, у которого  W_x = 192 см³ > W_x,min = 172,15 см³,  W_y = 25,1 см³;  I_x = 2110 см⁴;    I_y = 151 см⁴: h = 22 см; b_t = 8,2 см; t_t = 0,95 см; h_w = h – 2t_f = 22 – 2 × 0,95 =      = 20,1 см; t_w = 0,54 см; линейная плотность (масса 1 м  пог.) 21 кг/м.

Учитывая собственный вес прогона (q_n,_пр = 0,21 кН/м), уточняем нагрузку:

q_n  = 3,51 + q_n,_пр = 3,51 + 0,21 = 3,72 кН/м;

q = 4,29 + q_n,_прγ_t = 4,29 +  0,21 × 1,05  =  4,51 кН/м;

q_x = q сosα = 4,51 × 0,986 = 4,45 кН/м;

q_y = q sinα = 4,51 × 0,165 = 0,74 кН/м.

Изгибающие моменты:

M_x = q_xl²/8 = 4,45 × 6²/8 = 20,03 кН·м;

M_y = q_yl²/8 = 0,74 × 6²/8 = 3,33 кН·м.

Проверка прочности прогона:

Прочность прогона обеспечена.

Проверка общей устойчивости прогона. Условие устойчивости

где    g_c = 0,95 – коэффициент условий работы при проверке общей устойчивости (см. табл. 1.3);

j_b – коэффициент устойчивости при изгибе, определяемый по [6, прилож. 7]. Значение j_b определяют с учетом влияния возможного развития пластических деформаций при совместном действии косого изгиба и кручения в момент потери устойчивости.

Для определения коэффициента j_b предварительно вычисляем коэффициент j₁. Для балок двутаврового сечения с двумя осями симметрии он определяется по формуле

,

где значение y следует принимать по табл. 3.6 в зависимости от характера нагрузки и параметра α;

h = 22 см – полная высота сечения;

l_ef – расчетная длина балки, равная расстоянию между точками закреплений сжатого пояса от поперечных смещений (в примере l_ef = l = 6 м – при отсутствии связей).

Для балок швеллерного сечения коэффициент j_b следует определять как для балок симметричного двутаврового сечения, при этом значения α необходимо вычислять по формуле

здесь I_t – момент инерции сечения при кручении.

Вычисленные значения j₁ необходимо умножить на 0,7. Значения I_x, I_y, и I_t в формулах следует принимать для швеллера.

Определяем параметр α:

 1,54 (6,43 / 154) (600 / 22)² = 47,83,

где    I_t для швеллера определяют по формуле

I_t = (1,12 / 3) (2b_f t_f³ + h_wt_w) = (1,12 /3) (2 × 8,2 × 0,95³ + 20,1 × 0,54³) = 6,43см⁴.

Для балки без закреплений и равномерно распределенной нагрузки по верхнему поясу при α = 47,83

y = 3,15 + 0,04α – 2,7 × 10^–5α² = 3,15 + 0,04 × 47,83 – 2,7 × 10^–5 × 47,83² = 5,0.

Таблица 3.6

Коэффициенты y для двутавровых балок

с двумя осями симметрии

П р и м е ч а н и е. Значение Y₁ следует принимать равным Y при двух и более закреплениях сжатого пояса в пролете.

Определяем коэффициент j₁:

Значение коэффициента j_b необходимо принимать:

– при j₁ £ 0,85   j_b = j₁;

– при j₁ > 0,85   j_b = 0,68 + 0,21 j₁, но не более 1,0.

Принимаем j_b = j₁ = 0,290.

Проверяем устойчивость прогона:

Общая устойчивость прогона не обеспечена. Значит необходимо увеличить сечение до нужных размеров, обеспечивающих выполнение условия устойчивости прогона, приняв больший номер швеллера. Проверка показала, что прогон из [24 по устойчивости тоже не проходит.

Принимаем швеллер [27, для которого W_x = 308 см³; W_y = 37,3 см³;      I_x = 4160 cм⁴; I_y = 262 см⁴; h = 27 см; b _f  = 9,5 см; t_f = 1,05; t_w = 0,6 см;           h_w = h – 2t_f = 27 – 2 × 1,05 = 24,9 см; линейная плотность 27,7 кг/м.

Уточняем нагрузки:

q_n = 3,51 + 0,277 = 3,97 кН/м;

q = 4,29 + 0,277 × 1,05 = 4,58 кН/м;

q_x = q cosα = 4,58 × 0,986 = 4,52 кН/м;

q_y = q sinα = 4,58 × 0,165 = 0,76 кН/м.

Изгибающие моменты:

M_x = q_xl²/8 = 4,52 × 6² / 8 = 2034 кН×м;

M_y = q_xl²/8 = 0,76 × 6² / 8 = 3,42 кН×м.

Производим проверку устойчивости прогона:

I_t = (1,12 / 3) (2b_f t_f³ + h_wt_w³) = (1,12 / 3) (2 × 9,5 × 1,05³ + 24,9×  0,6³) = 10,22 см;

α = 1,54(I_t/I_y) (h_ef/h)² = 1,54 (10,22 / 262) (600 / 24,9)² = 34,88;

при a = 34,88 по табл. 3.6

y = 1,6 + 0,08a = 1,6 + 0,08 ´ 34,88 = 4,39;

j = j₁ = 0,336.

Условие устойчивости

Общая устойчивость прогона обеспечена.

Проверяем прочность прогона по нормальным напряжениям:

Запас несущей способности по прочности составил

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Политика просвещенного абсолютизма.

Как показал расчет, увеличение номера швеллера мало эффективно. Надежнее устойчивость прогонов можно обеспечить кровельным настилом, жестко закрепленным к прогонам и образующим сплошное полотнище (например, плоский стальной лист, приваренный к прогонам, или профилированный настил, прикрепленный к прогонам самонарезающимися болтами и соединенный между собой заклепками и т.п.). В этом случае прогоны можно рассчитывать только на нагрузку q_x.

Проверка жесткости балки. Прогиб прогона проверяют только в плоскости, нормальной к скату. Он не должен превышать предельного регламентированного нормами [7]:

0,77 см < f_u = 3 см,

где     q_nx = q_n cosa = 3,97 × 0,986 = 3,91 кН/м = 0,0391 кН/см;

f_u = l/200 = 600 / 200 = 3 см – предельный прогиб прогона открытого для обозревания при пролете l = 6 м (см. табл. 1.4).

Жесткость прогона обеспечена.