Дифференциальные уравнения установившегося неравномерного плавно изменяющегося движения жидкости

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ НЕРАВНОМЕРНОГО ПЛАВНО ИЗМЕНЯЮЩЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

2.1. УРАВНЕНИЯ НЕРАВНОМЕРНОГО ПЛАВНОИЗМЕНЯЮЩЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

2.1.1. Уравнения неравномерного плавноизменяющегося движения жидкости в непризмагических руслах

Урав­нение неравномерного плавноизменяющегося движения в непризматическом русле с прямым уклоном дна записывается в следую­щем виде:

(6.56)

Аналогичные выражения с учетом знака уклона могут быть получены для призматических русл с горизонтальным и обратным уклонами дна.

Рекомендуемые материалы

Рис. 6.21

2.1.2. Дифференциальные уравнения неравномерного плавноизменяющегося движения в призматических руслах

В призматических руслах площадь живо­го сечения потока может изменяться только за счет изменения глубины и поэтому при подстановке в формулу (6.56) условия dω/dl=0 получаем дифференциаль­ное уравнение неравномерного плавноизменяющегося дви­жения для призматических русл с положительным уклоном дна:

(6.57)  

Вводя   в  уравнение   (6.57)   параметр   кинетичности

и используя понятие расходной характеристики  для произвольной глубины h неравномерного потока, получаем уравнение следующего вида:

Выражая расход Q по формуле Шези через расход­ную характеристику К₀, соответствующую нормальной глу­бине h₀ в канале при заданном уклоне i₀, можем записать

Наконец, используя понятие гидравлического показателя русла

(6.38),

получаем уравнение неравномерного движе­ния в призматических каналах только правильной формы:

(6.60)

Для призматических русл с горизонтальным дном (i₀=0) получаем

(6.61)

Для русл с обратным уклоном (i₀<0)

 (6.62)

2.1.3. Общий анализ дифференциальных уравнений неравномерного движения в призматических руслах

При рассмотрении дифференциальных урав­нений (6.58), (6.62) расход Q следует принимать вели­чиной постоянной. Переменными являются расходная ха­рактеристика К и параметр кинетичности П_к, поскольку они зависят от характеристик поперечного сечения потока ω, χ, В, R, С, которые в связи с изменением глубины h при неравномерном движении изменяются по длине призмати­ческого русла. Очевидно, при некоторых значениях глу­бины h расходная характеристика К и параметр кинетич­ности П_К могут принимать такие значения, при которых числитель или знаменатель правой части этих уравнений будет стремиться и затем обратится в нуль.

Для русл с уклоном i₀>0 при равенстве нулю числите­ля уравнения (6.58) получаем

(6.63)

откуда

 

что соответствует постоянству глубины потока вдоль русла, т. е. равномерному движению (h=h₀). Последнее следует также непосредственно из выражения (6.63), которое пред­ставляет собой формулу Шези для равномерного движения. Получено, таким образом, подтверждение того, что равномерное движение возможно в приз­матическом русле при положительном уклоне дна i₀>0. Производная dh/dl=tg 0, где 0 - угол между касатель­ной к кривой свободной поверхности потока и линией N-N нормальной глубины или линией К-К критической глу­бины. Следовательно, если глубина неравномерного потока в канале с уклоном i₀>0 стремится к нормальной глубине h→h₀, то и dh/dl=tg 0→0, т. е. свободная поверхность асим­птотически стремится к линии N-N.

Для русл с горизонтальным дном равенство нулю чис­лителя уравнения (6.61) и, следовательно, производной (6.61) возможно либо при Q=0, либо при К=∞ (или h=∞). Оба условия не имеют смысла, поскольку перестает существовать движение жидкости.

При обратном уклонe дна равенство (6.64) может быть получено из уравнения (6.62), если

или

Поскольку отрицательный знак уклона дна русла учтен при выводе уравнения (6.62), в последнем выражении знак «-» относится к расходной характеристике К, что также лишено смысла.

Таким образом, получено подтверждение, что при укло­нах дна i₀=0 и i₀<0 равномерное движение в канале су­ществовать не может.

Знаменатель правой части уравнений (6.58)-(6.62) обращается в нуль, если h=h_K или П_к=1. Тогда

             (6.65)

т. е. кривая свободной поверхности неравномерного потока пересекает линию К-К под углом 90°. При этом существенно увеличивается кривизна линий токов и поток ста­новится резко неравномерным.

Рис. 6.20

Поэтому результат (6.65), полученный из уравнений (6.58)-(6.62), справедливых для плавноизменяющегося движения, не является строгим. В действительности линия     К-К пересекается свободной поверхностью потока под углом, несколько меньшим, чем прямой. Если это пересечение происходит при уменьшении глубин от h₁>h_K до h₂<h_K, т. е. из области спокойного в область бурного состояния потока, то такой переход назы­вается водопадом, а в противном случае - гид­равлическим   прыжком (см. рис. 6.20).

Производная dh/d lв уравнениях (6.58)-(6.62) может быть как положительной, так и отрицательной. Поскольку расстояние l измеряется вниз по течению (см. рис. 6.21), приращение расстояния d/ всегда положительно. Знак приращения глубины dh зависит от характера изменения глубины потока при неравномерном движении. Если по течению глубины потока возрастают (рис. 6.22, а), то приращение глубины dh=h₂-h₁>0 и, следовательно, dh/d/>0: кривая свободной поверхности, глубины которого возрастают вниз по течению, называется кривой подпора. Если же глубины потока по течению уменьшаются (рис. 6.22, б), т. е. h₂<h₁, то dh=h₂-h₁<0 и dh/d<0: кривая свободной поверхности потока, глубины которого убывают вниз по течению, называется кривой спада.

Рис. 6.22

2.2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМ КРИВЫХ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ  ПОТОКА В ОТКРЫТЫХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ РУСЛАХ

2.2.1.  Формы свободной поверхности при неравномерном плавноизменяющемся движении в призматических руслах

Формы свободной поверхности неравно­мерного плавноизменяющегося потока в призматическом русле зависят от диапазона изменения глубины потока и уклона дна русла (i₀≤0 или i₀≥0) и могут быть установлены посредством анализа дифференциальных уравнений (6.59), (6.61), (6.62).

Русло с положительным уклоном дна.

При i>0 могут быть случаи i₀<i_K, i₀>i_K, i₀=i_K. Линиями нормальной N-N и критической K-К глубины выделяются три харак­терные области (диапазона) изменения глубины неравно­мерного потока: область а, где h>h₀ (при i₀<i_К) и h>h_K (при i₀>t_K); область b, где h₀>h>h_K (при i₀<i_K) и h₀<h<<h_K (при i₀>i_K - область отсутствует при i₀=i_K. (когда h₀=h_K), область с, где h<h_K (при i₀<j_K) и h<h₀ (при i₀>i_K).

Знак производной dhldl, т. е. образование кривой под­пора или спада на участке неравномерного движения, опре­деляется знаками числителя и знаменателя правой части уравнения (6.59). При h>h₀ числитель будет положитель­ным 1-(K₀/К)²>О, поскольку при этом K>К₀. При h<h₀ числитель становится отрицательным, т. е. 1-(K₀/K)²<0.

Знак знаменателя в уравнении (6.59) зависит от отно­шения глубины потока к критической глубине. При h>h_к согласно уравнениям П_к<1 и знаменатель 1-П_к>0. При h<h_K получаем П_к>1 и 1-П_к<0.

Таким образом, при одинаковых знаках числителя и знаменателя - положительных в области а и отрицатель­ных в области с - величина dh/d/>0, из чего следует, что в указанных областях свободные поверхности являются кривыми подпора. При разных знаках - в области b - производная отрицательна и свободная поверхность в рус­ле образует кривые спада.

Форма кривых подпора и спада в каждой области опре­деляется тем, как стремится глубина неравномерного пото­ка к линиям N-N и К-К, т. е. условиями (6.64) и (6.65) на границах областей (табл. 6.3).

Уклон дна канала меньше критиче­ского.

Линия нормальных глубин N-N при i₀<i_к располагается выше линии критической глубины К-К.

В области а при h>h₀>h_к свободная поверхность пред­ставляет кривую подпора. При стремлении глубины пото­ка к нижнему пределу глубин (h→h₀) свободная поверх­ность (линия а₁) в верхней части участка неравномерного движения асимптотически приближается к линии N-N. При стремлении глубины к верхнему пределу (h→∞) расходная характеристика К→∞ и величина (К₀/К)²→0; па­раметр кинетичности П_к→0. Следовательно, при h→∞ производная dhldl→i₀=const. Поскольку дно русла по отношению к горизонтальной плоскости   имеет уклон i₀ и глубины измеряются от наклонной плоскости дна, равенст­во dh/dl=i₀ характеризует горизонтальную прямую п-п (рис. 6.23). При увеличении глубины (h→∞) свободная поверхность асимптотически приближается сверху к гори­зонтальной прямой п-п, т. е., несмотря на увеличение глубины потока, отметки свободной поверхности вниз по течению уменьшаются. Таким образом, свободная поверх­ность имеет вогнутую форму и называется кривой подпора a₁ (табл. 6.3).

Такого типа кривые подпора образуются в тех случаях, когда на пути равномерного потока в русле с i₀<i_к устанавливается какая-либо преграда, стесняющая живое сечение потока, например труба, сооружения мостового перехода, плотина (рис. 6.23).

Рис. 6.23

При решении практических задач возникает необходи­мость в определении длины l кривой подпора a₁ конечных размеров. Для этого в начальном сечении 1-1 глубину по­тока h₁ необходимо принять несколько больше (на 0,5-5% в зависимости от принятой точности расчета) нормаль­ной глубины, т. е. h₁=(1,005-1,05)h₀.

В области b при h_o>h>h_K устанавливается кривая спа­да b₁ (табл. 6.3). Поскольку к линии N-N кривая стре­мится снизу асимптотически, а к линии К-К сверху ус­ловно под прямым углом, она имеет выпуклую форму.

Эта кривая может наблюдаться в каналах с уклоном i₀<i_к если в каком-либо створе резко увеличится уклон дна канала, или дно внезапно понизится в виде уступа (кривая b₁ на рис. 6.20). Кривая спада b₁ перед уступом пересекает линию критической глубины К-К в сечении 2-2, отстоящем от уступа на расстоянии (2-2,5) h_K. Над уступом глубина потока составляет примерно 0,7 h_K.

Вверх по течению кривая b₁ распространяется теорети­чески до бесконечности. В практических расчетах при опре- делении длины кривой спада конечных размеров глубину неравномерного потока в начальном сечении 1-1 необхо­димо принять несколько меньше (на 0,5-5%) нормальной глубины т. е. h₁= (0,995-0,95) h₀.

В области с при h< h_к<h₀ устанавливается кривая подпора с₁ вогнутой формы (табл. 6.3).

Кривая этого типа возникает на участке l₂ канала после сечения c-c сжатой глубиной за уступом (см. рис. 6.20).

Уклон  дна  больше  критического.

Линия нормальных глубин N- N при i_o>i_к располагается ниже линии К-К.

В области а при h>h_к>h₀ в русле устанавливается кри­вая подпора а₂ (табл. 6.3). Нижний предел глубины h=h_к  соответствует условию (6.65), т.е. гидравлическому прыжку. При стремлении глубины к верхнему пределу (h→∞) свободная поверхность неравномерного потока будет асимп­тотически снизу приближаться к горизонтальной прямой п- п, поскольку при этом dhldl→i₀. Следовательно, кри­вая свободной поверхности имеет выпуклую форму.

Эта кривая образуется, например, за гидравлическим прыжком перед препятствием в виде сооружений мостового перехода, трубы или плотины (между сечениями 1-1 и 2-2), устанавливаемыми в русле с уклоном дна i₀>i_к (рис. 6.24).

Рис. 6.24

В области b при h_a<h<h_к устанавливается вогнутая кривая спада b₂ свободной поверхности (табл. 6.3).

Этот случай соответствует, например, поступлению в канал с i₀₂>i_к потока из канала с уклоном i_ol=i_K (рис. 6.25).

Рис. 6.25

Теоретически длина кривой спада b₂ равна бесконечно­сти, в практических расчетах ее длину находят, ограничи­вая сечением 2-2, в котором глубина h₂=(1,005-1,05) h₀.

В области с русла при h<h₀<h_к устанавливается (кри­вая подпора) с₂ выпуклой формы (табл. 6.3), поскольку к верхнему пределу (h→h₀) свободная поверхность стремится асимптотически.

Эта кривая возникает, например, в канале с уклоном i₀₂>i_K (см. рис. 6.19), если на предыдущем участке канала значение уклона было еще большим (i₀₁>i_K).

При определении длины кривой подпора с₂ в практичес­ких расчетах глубину потока в сечении 2-2 принимают в зависимости от точности расчета, на 0,5-5% меньше нор­мальной глубины: h₂=(0,995-0,95)h₀, условно считая, что ниже этого сечения движение становится равномер­ным.

Критический уклон дна канала.

Глу­бина h_o=h_K, т. е. линии N- N и К- К совпадают и об­ласть b отсутствует.

В областях а и с производная dhldl >0, из чего сле­дует, что глубины потока вниз по течению возрастают (см. табл. 6.3).

Форма свободной поверхности потока при этом может быть установлена путем преобразования дифференциаль­ного уравнения неравномерного движения (6.57). Расход в числителе правой части уравнения при i_о=i_к может быть выражен через параметры потока при равномерном движе­нии: . Поскольку коэффициент Шези мало изменяется при изменении глубины потока, можно допус­тить, что С_к≈С; гидравлические радиусы выражаются в виде: R_K=ω_к/χ_к, R=ω/χ/; знаменатель преобразуется в соответствии с (6.14). С учетом изложенного получаем

(6-66)

Если допустить, что В_к≈χ_к и В≈χ (это можно считать при­емлемым для широких и неглубоких русл), то получаем

                                                            (6-67)

Следовательно, как в области а, так и в области с в рам­ках принятых допущений устанавливаются горизонтальные прямые подпора а₃ и с₃.

Прямая подпора а₃ образуется, например, в канале (рис. 6.26) с уклоном i₀₂>i_K, если к нему примыкает канал с меньшим уклоном (i₀₃<i_K), а прямая подпора с_я возникает в канале с i₀=i_K, если к нему с верховой стороны примыкает канал с уклоном i_ol>i_K.

Рис. 6.26

В начальном сечении 3-3 прямой подпора а₃ глубина h₃=h_K, в конечном сечении 4-4 глубина h₄=h₀₃. Длина прямой подпора a₃ определяется из соотношения

 (6.68)

В начальном сечении 1-1 в этом случае h₁=h₀₁, а в конечном сечении 2-2 глубина h₂=h_к. Длина прямой под­пора с₃ при этом находится аналогичным образом:

(6.69)

Русло с горизонтальным дном.

В этом случае равно­мерное движение существовать не может и линия нормальных глубин N- N отсутствует (см. табл. 6.3). Линия критической глубины К- К вы­деляет две области b и с.

В области b при h>h_K согласно уравнению (6.61) имеем выпуклую кривую спада b₀, заканчивающуюся водопадом. При h<h_K в области с устанавливается кривая подпора с₀, вогнутой формы. Пример образования кривых с₀ и b₀ при­веден на рис. 6.27.

Люди также интересуются этой лекцией: 22 Защита прав налогоплательщика.

Рис. 6.27

Русло с обратным уклоном.

Равномерного движения в призматическом русле с таким уклоном дна также быть не может и линией К- К разделяются области b и с.

В области b (h>h_K), анализируя уравнение (6.62), ана­логично тому, как это было выполнено в отношении урав­нения (6.61), для i₀=0 и принимая во внимание, что при выводе уравнения (6.62) отрицательный знак уклона дна уже был учтен, получаем кривую спада b' выпуклой фор­мы (табл. 6.3).В области с (h<h_K) образуется вогнутая кривая подпо­ра с', заканчивающаяся гидравлическим прыжком.

Кривые с' и b' могут возникнуть, например, на среднем участке канала в условиях, аналогичных приведенным на рис. 6.27, если ук­лон дна среднего участка будет i₀<0.