Расчетные зависимости равномерного движения в открытых призматических руслах

2. РАСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ РАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ В ОТКРЫТЫХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ РУСЛАХ

2.1. РАСЧЕТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ В ОТКРЫТЫХ РУСЛАХ

2.1.1. Основные определения

В открытых призматических руслах с по­стоянной по длине шероховатостью и положительным ук­лоном дна при равномерном движении в силу прямоли­нейности и параллельности между собой линий токов сох­раняются неизменными вдоль русла глубина потока h₀, называемая нормальной глубиной, и соответствую­щая ей площадь живого сечения ω₀. Так как на свободной поверхности открытого потока давление равно атмосферно­му (р=р_а), то линия свободной поверхности является пье­зометрической линией, и, поскольку нормальная глубина неизменна, она параллельна дну канала (рис. 6.10).

Из по­стоянства площадей живых сечений и значений средних скоростей в разных сечениях следует, что напорная линия параллельна пьезометрической линии (свободной поверх­ности), следовательно, дну канала. Таким образом, уклоны напорной и пьезометрической линии (гидравлический и пьезометрический уклоны) равны между собой и равны ук­лону дна канала:

I=I_п=I₀.                                                        (6.23)

В то же время известно, что гидравлический уклон при движении вязкой жидкости всегда положителен, следовательно, для обеспечения возможности существования равномерного движения в открытом русле положительным должен быть и уклон дна русла(i₀>0).

Жидкость в открытом русле движется под действием составляющей силы тяжести, значение которой Gi₀ за­висит от уклона дна русла. Противодействующие движе­нию силы сопротивления зависят от скорости (рис. 6.10), т. е. T=T(v).

Рекомендуемые материалы

Рис. 6.10

При равномерном движении в призматичес­ком русле эти силы равны, т. е. Gi_o=T. В противном случае движение становится неравномерным. При Gi_o>T средние скорости потока вниз по течению будут увеличиваться, а глубины уменьшаться, и, наоборот, если Gi_o<T, скорость будет падать, а глубина увеличиваться. В первом случае за счет увеличения скоростей силы сопротивления будут возрастать, во втором (при уменьшении скоростей) - уменьшаться. Это приведет в обоих случаях к равенству Gi_o=T'. Таким образом, в призматических руслах жид­кость стремится к установлению равномерного движения.

2.1.2. Гидравлические элементы поперечного профиля канала

Каналы в зависимости от их назначения, рода грунтов, применяемых механизмов, местных условий устраиваются различной формы поперечного сечения (рис. 6.11): трапецеидальной, прямоугольной, параболической и т.д.

В системах дорожного водоотвода, в системах мелиорации и водоснабжения, в гидроэнергетике и других отраслях хозяйства наибольшее распространение получили каналы полигонального поперечного сечения, ча­ще трапецеидального (рис. 6.11, а) и прямоугольного (рис. 6.11, б) профилей. Треугольный профиль имеют лотки по­верхностного водоотвода на городских улицах (рис. 6.11, г, в).

Рис. 6.11.1

Для характеристики поперечного сечения каналов приняты следующие обозначения:

b - ширина канала по дну;

т - коэффициент откоса, равный ctg Ө, ;

Ө- угол (см. рис. 6.11.1) задается не по соображениям гидравлического расчета, а с учетом устойчивости грунта откоса; его величина зависит от рода и качества грунта, в котором устроен канал, а также от принятого способа укрепления откоса;

В - ширина потока по верху;

ω - площадь живого сечения;

χ - смоченный периметр;

R – гидравлический радиус

R = ω/χ.

Глубина и ширина канала по дну зависят от расчетной пропускной способности канала, его технического назначения и местных условий (рода грунтов, ширины полосы землеотвода под канал, уклона поверхности, вида применяемой землеройной техники и т.п./

Живое сечение трапецеидальных каналов при произволь­ной глубине потока h, ширине по дну b и заложениях от­косов m=ctg Ө₁=a₁/h и m₂=ctg Ө₂=a₂/h характеризует­ся следующими параметрами:

площадью живого сечения

(6.24)

смоченным периметром

(6.25)

шириной потока по свободной поверхности

B = b + (m₁ + m₂)h. (6.26)

Формулы (6.24)-(6.26) при симметричном трапецеидальном профиле (m₁=m₂) упрощаются

 ω = (b + mh)h;    В = b + 2 mh.

Прямоугольные и треуголь­ные сечения каналов представляют частные случаи трапе­цеидального.

В частности, для прямоугольного профиля m₁= m₂=0, отсюда

B = b; m = ctg 90^o = 0;    ω = bh; χ = b + 2h.

Для треугольного профиля b=0, отсюда

ω = mh²; B = 2mh.

Каналы (лотки) криволинейного поперечного сечения встречаются реже. Например, в оросительных системах находят применение лотки параболического профиля (рис. 6.11.1, а), описываемого обычно уравнением квадратичной параболы

ω = 2/3 bh.

На дорогах иног­да используются также лотки полукруглого профиля (рис. 6.11.2, б).

Рис. 6.11.2

Прочие поперечные сечения, встречающиеся в практике, показаны на рис. 6.12:

а) несимметричные профили (рис. 6.12, а); на рисунке показано русло, которое характеризуется еще тем, что величина коэффициента шероховатости n различна для разных участков смоченного периметра ;

б) неправильные профили (рис. 6.12, б); в этом случае, как и в предыдущем, величины ω и χ приходится вычислять, разбивая поперечное сечение канала на отдельные части;

в) составные профили (рис. 6.12, в);

г) замкнутьe профили (рис. 6.12, г); здесь имеем так называемый закрытый канал.

В случае весьма широких русел всегда можно считать, что

      

Рис. 6.12

Трубы кругового или иного профиля при их работе с час­тичным наполнением представляют собой замкнутыe профили (рис. 6.12, г); здесь имеем так называемый закрытый канал, расчет которых рассмотрен ниже.

2.2. ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ РАСЧЕТА РАВНОМЕРНОГО ДВИ­ЖЕНИЯ В ПРИЗМАТИЧЕСКИХ РУСЛАХ

2.2.1. Формула Шези

Основной зависимостью для расчета равномерного дви­жения в призматических руслах является формула Шези

Применительно к открытым равномерным потокам с нормальной глубиной, где

Q = ωv = const (вдоль потока),

а, также учитывая формулу (6.23), формулу Шези можно представить в виде

   (6.27)

или

         

где расходную характеристику (модуль расхода К_о) нахо­дят по зависимости

                                                (6.28)

Входящие в формулу (6.27) геометрические характеристики живого сечения ω₀, χ₀, R₀ и коэффициент Шези С₀ соответст­вуют глубине равномерного потока h₀.

Определение коэффициентов Шези для открытых русл.

Коэффициент Шези определяется в зависимости от режима движения и области сопротивле­ния либо только числом Рейнольдса, либо только относи­тельной шероховатостью смоченной поверхности русла, либо обоими этими факторами в совокупности. (Последние исследования показали, что коэффициенты С и λ зависят также и от формы русла).

Открытые каналы, а также каналы замкнутого профиля (коллекторы, гидротехнические туннели, дорожные и ме­лиоративные трубчатые сооружения) имеют значительную шероховатость. Движение жидкости в них происходит пре­имущественно в области квадратичного сопротивления. В некоторых случаях, например в лотках систем водоотво­да, на покрытиях улиц, дорог движение жид­кости может соответствовать области доквадратичного со­противления, гладких русл и даже области ламинарного движения.

Для области квадратичного сопротивления предложе­ны одночленные, показательные и многочленные формулы. В инженерной практике наиболее распространены формулы двух последних типов. Из показательных наиболее извест­на формула Павловского. Широко применяются при рас­четах также формулы Маннинга, многочленная формула Агроскина (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Расчетные формулы для определения коэффициента Шези

Особое положение занимает приведенная в табл. 6.1 обобщенная формула Альтшуля, рекомендованная им для определения коэффициента Шези в области квадратичного и доквадратичного сопротивлений, а также в области гид­равлически гладких русл.

Для русла прямоугольного профиля конечной ширины значения С несколько меньше, чем вычисленные по форму­ле Так, например, для русла с размером b=2h₀ разница составляет 8%. Таким образом, эта форму­ла годится для расчетов с достаточной для практических случаев точностью для области ламинарного режима.

2.2.2. Критический уклон

Критическая глубина согласно формуле (6.14) зависит только от расхода и формы поперечного се­чения русла и не зависит от уклона дна. Нормальная же глубина h₀ согласно выражениям (6.27) и (6.28) зависит от уклона. С увеличением уклона дна глубина h₀ уменьшает­ся и наоборот. Следовательно, при некотором значении уклона нормальная глубина станет равной критической (h_o=h_K). Такой уклон i_K называется критическим.

При критическом уклоне формула Шези (6.27) прини­мает вид

                                               (6.27')

Значение критического уклона может быть найдено из (6.27') непосредственно

                                                    (6.29)

либо, учитывая отношение (6.14), - по формуле

При i₀=i_к глубина равномерного движения по определе­нию равна критической (h₀=h_K). Линии нормальной и крити­ческой глубин, проведенные параллельно дну, при этом совпадают. Равномерный поток находится в критическом Состоянии.

При i₀<i_к глубина h₀ равномерного движения возрастает и становится больше критической (h₀>h_K). Линия нормаль­ных глубин располагается выше линии критических глу­бин. Это соответствует спокойному состоянию равномер­ного потока.

Если же i₀>i_K. то h₀<h_к и линия нормальиых глубин располагается ниже линии критических глубин. Состоя­ние равномерного потока в этом случае является бурным.

2.2.3. Гидравлически наивыгоднейшее сечение трапецеидального канала

Каналы, сечение которых при неизменной площади ω₀ характеризуется наименьшим значением смо­ченного периметра χ_min и, следовательно, наибольшим зна­чением гидравлического радиуса R_max= ω₀/ χ_min согласно формуле Шези (6.27), обладают наибольшей пропускной способностью при равномерном движении. Такое сечение канала называется гидравлически наивыгод­нейшим. Оно также может быть определено как сече­ние с наименьшей площадью ω₀ и наибольшей средней ско­ростью течения v при заданных величинах i₀, n, Q.

Т.о. гидравлически наивыгоднейшим сечением канала называется такое его поперечное сечение, которое при заданной площади ω и уклоне i имеет наибольшую пропускную способность.

Известно, что при заданной площади наименьший пери­метр имеет круг (или полукруг). Таким образом, каналы полукруглого профиля являются гидравлически наивыгод­нейшими. Гидравлический радиус таких каналов

Очевидно, что каналы с иной формой поперечного сечения, например прямоугольной, трапецеидальной и др., имеют гидравлически наивыгоднейшее сечение при опре­деленных соотношениях β_ГН=(b/h₀)_ГН. Если площадь жи­вого сечения ω и смоченный периметр χ выразить через соотношение blh, величина β_ГН может быть определена из условия

  (6.36)

поскольку для канала с гидравлически наивыгоднейшим сечением при ω=const периметр принимает минимальное значение: χ=χ_min.

Для русла трапецеидальной формы поперечного сече­ния из формулы (6.36) имеем

(6.37)

При подстановке β_ГН в выражения (6.24) и (6.25) гидравли­ческий радиус для трапецеидального канала гидравлически наивыгоднейшего сечения равен

Зависимость β_ГН=β(m) и значения относительной шири­ны канала по свободной поверхности из выражения (6.26) представлены ниже:

т..................... 0    0,5    1,0       1,5    2,0     2,5     3,0

β_ГН ..................  2    1,236 0,828 0,606 0,472 0,385 0,325

B/h_a ................  2,0  2,236 2,828 3,606 4,472 5,385 6,325

Из этой зависимости следует, что каналы с гидравличес­ки наивыгоднейшим сечением являются относительно глу­бокими. Поэтому проектировать крупные каналы, ориенти­руясь на гидравлически наивыгоднейшее сечение, не всегда экономически целесообразно. Например, у прямоуголь­ного судоходного канала шириной b= 100 м при β_ГН =2 глубина h₀=50 м. Глубина же канала в этом случае долж­на назначаться исходя из осадки судов. Строительство и последующая эксплуатация относительно глубоких каналов с гидравлически наивыгоднейшим сечением часто зат­руднительны. В таких случаях приходится несколько откло­няться от указанных выше значений β_ГН.

Малые каналы дорожного и аэродромного водоотвода, мелиоративные и т. д. целесообразно проектировать с гидравлически наивыгоднейшим сечением.

2.2.4. Гидравлический показатель русла

Для русл правильной формы поперечного сечения проф. Б.А. Бахметевым была установлена пока­зательная зависимость отношений расходных характеристик (модулей расходов) и соответствующих им глубин потока:

(6-38)

где K₁ - расходная характеристика, определяемая по формуле (6.28) при глубине h₁, К₂ - расходная характе­ристика при глубине h₂; x -  величина, постоянная для данного русла, зависящая от формы, размеров поперечного сечения и шероховатости русла, называемая гидрав­лическим показателем русла. Его значе­ние для русла данного профиля может быть найдено лога­рифмированием соотношения (6.38):

(6.39)

Более поздними исследованиями Р. Р. Чугаева, А. Н. Рахманова и М. Д. Чертоусова было показано, что гидравлический показатель русла является величиной постоянной, т. е. не зависит от глубины h, и, следователь­но, соотношение (6.39) является точным для широких и для весьма узких прямоугольных и параболических русл, а также для треугольных русл. Например, для широкого прямоугольного русла, если принять В≈χ и R≈h, а так­же считать неизменным коэффициент Шези при изменении глубины, то из формулы (6.38) можно получить

(6.40)

т. е. х=3. Для этих русл связь между величинами lg К и lg h линейна.

Для прямоугольных и параболических русл средней ширины и трапецеидальных русл при изменении глубины наполнения русла h гидравлический показатель русла не остается постоянным, а незначительно изменяется и линей­ная связь между lg К и lg h является приближенной, но тем не менее приемлемой для практических расчетов.

2.2.5. Допускаемые скорости течения в каналах

Одной из задач гидравлического расчета каналов явля­ется определение максимальной допускаемой скорости течения, называемой неразмывающей и минималь­ной допускаемой скорости (незаиляющей):

v_нр>v>v_нз.   (6-31)

Неразмывающая скорость - наибольшая скорость по­тока, при превышении которой (v>v_нр) русло начинает раз­мываться.

При теоретическом подхо­де к определению неразмыва­ющей скорости принята следующая схема механизма воз­действия потока на твердую частицу, лежащую на дне (рис. 6.13).

Рис. 6.13

В большей части работ в качестве теоретической основы для определения ве­личины v_нр рассмотрены ус­ловия предельного равнове­сия или начального момента трогания отдельной частицы, находящейся на дне. В дру­гих работах использованы данные лабораторных и на­турных наблюдений.

Об­текание частицы вызывает деформацию и отрыв струй, над частицей и за ней образуются вихревые зоны, и возникает разность давлений на лобовую и тыльную грани части­цы (рис. 6.13), а также на нижнюю и верхнюю грани, ко­торые соответственно приводятся к лобовой силе Р_Л, дей­ствующей на переднюю грань по направлению движения потока, и подъемной силе Р_П, действующей на нижнюю грань частицы вертикально вверх. На частицу, кроме то­го, действуют сила тяжести G и сила воздействия окружаю­щих частиц грунта. Равновесие рассматриваемой частицы в зависимости от ее формы и положения на дне может на­рушиться либо в результате сдвига по дну, либо в резуль­тате перекатывания ее. Если частица возвышается над остальными, на нее действует в основном лобовая сила и в меньшей мере подъемная сила. Если же частица не выступа­ет над остальными, а заклинена между ними, на нее дей­ствует лишь подъемная сила.

Так как и лобовая и подъемная силы, действующие на частицу, пропорциональны ее размеру (диаметру) d и ско­ростному напору, вычисленному по придонной скорости и_Δ на высоте выступов частиц, то условия равенства нулю суммы сил (моментов) в случае потери устойчивости при сдвиге (перекатывании) частицы приводятся к уравнению

                                                   (6.32)

Среднюю неразмывающую скорость можно найти, вве­дя в уравнение (6.32) сомножитель, характеризующий принятый (показательный или логарифмический) закон распределения скоростей по глубине потока:

 (6.33)

или

                                          (6.34)

где величину А находят из принятых условий предельного равновесия частицы с последующим уточнением по резуль­татам опытов, либо непосредственно по данным опытов; величины т, а определяют экспериментально; d - диа­метр частицы грунта; h- глубина потока.

Сложность явления взаимодействия потока и русла созда­ет значительные трудности при его анализе. В рассмотрен­ной схеме воздействия потока на частицу, лежащую на дне, не учитываются многие факторы. С помощью лаборатор­ных экспериментов и полученных по их результатам зави­симостей для неразмывающих скоростей в каналах, как отмечает В. С. Алтунин, нельзя учесть всех особенностей, встречающихся в природе, в связи с чем предпочтительны­ми являются зависимости, базирующиеся на натурных дан­ных. Этому отвечает формула, полученная Б. И. Студеничниковым по данным лабораторных и натурных исследо­ваний в широком диапазоне крупностей частиц несвязного грунта:

                                   (6.35)

где величины d и h выражаются в метрах.

Еще более сложным является процесс размыва связных грунтов. Обстоятельные исследования в этой области были выполнены Ц. Е. Мирцхулавой. Им предложены зависимос­ти для определения неразмывающих скоростей, которые вви­ду их сложности здесь не приводятся.

Если скорости течения больше неразмывающих для грунта, слагающего русло, то возникает необходимость укрепления дна и откосов. При этом подбирают материал и тип крепления, чтобы фактическая скорость течения была меньше неразмывающей для крепления.

В настоящее время существуют различные нормы не­размывающих скоростей для сооружений. Каждое соору­жение характеризуется теми или иными особенностями, определяющими структуру потока, распределение скорос­тей, значения придонных скоростей и т. п. Поэтому задача определения неразмывающих скоростей для сооружений и на участках резкой деформации потока в каналах является весьма сложной. Ц. Е. Мирцхулава и В. А. Александ­ров предложили ее решение, исходя из принципа расчета сооружений по предельным состояниям. К нормативным значениям неразмывающих скоростей для грунтов и укреп­лений введены коэффициенты неоднородности, условий ра­боты, перегрузки, учитывающие различия между реаль­ными характеристиками грунтов и. укреплении, фактичес­кими условиями работы сооружений и нормативными.

Незаиляющая скорость. Это - скорость, при которой из потока еще не выпадают транспортируемые им взвещенные частицы. Частицы начинают выпадать из потока (заи­ливать русло) при скорости потока v<v_нз. Значение незаиляющей скорости не зависит от материала ложи канала, а определяется характеристиками потока и взвешенных в потоке наносов. Разными авторами предложены расчет­ные зависимости, для определения незаиляющих скоростей, различные по структуре и сложности, которые здесь не приводятся.

Приближенные значения незаиляющей скорости v_нз потока с гидравлическим радиусом R = 1с массовым содер­жанием частиц диаметром d_cp>0,25 мм, составляющим менее 0,01%, приведены ниже:

d_ср, мм....... .0,1   0,2   0,4   0,6   0,8   1,0   1,5   2,0  3,0

v_нз, м/с....... 0,22 0,45 0,67 0,82 6,90 6,95 1,03 1,1 1,11

Если гидравлический радиус потока R ≠1 значения v_нз следует умножить на R^1/2.

Информация в лекции "Формула Маклорена для sin(x) с остаточным членом в форме Пеано" поможет Вам.

При расчете коллекторов городских водостоков и кана­лизационных труб удобнее лимитировать минимальные уклоны, при которых скорости будут незаиляющими. Эти уклоны зависят от диаметра труб D:

D, мм ...150  200  250   300   350  450  500    600  >700

i_min……0,07 0,05 0,04 0,033 0,03 0,02 0,015 0,015 0,01