Сводные выборочные характеристики

2. Сводные выборочные характеристики

При исследовании свойств совокупность результатов отдельных измерений заменяют сводными характеристиками. К основным числовым характеристикам случайных величин относятся: среднее значение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, размах варьирования.

2.1. Сводные характеристики выборки при малом числе испытаний (n<50)

Среднее арифметическое – это среднее значение из суммы всех исследованных величин, деленных на число испытаний.

                                                (1)

Х_i – текущее значение измеряемой величины;

n – количество значений в выборке.

Рекомендуемые материалы

В программе Excel среднее значение определяется функцией СРЗНАЧ (рис. 2).

Рис. 2. Функция СРЗНАЧ

Для проведения расчетов выделяем курсором ячейку, в которой хотим отобразить среднее значение и нажимаем на клавиатуре клавишу =.  Далее в поле Имя указываем функцию СРЗНАЧ (рис. 3).

Рис. 3 Поиск функций в программе Excel 2003

Если в поле ИМЯ название функции не появилось, то левой кнопкой мыши щелкаем на треугольник рядом с полем, после этого появится окно со списком функций. Если данной функции в списке нет, то левой кнопкой мыши нажимаем на пункт списка ДРУГИЕ ФУНКЦИИ, появится диалоговое окно МАСТЕР ФУНКЦИЙ, в котором с помощью вертикальной прокрутки выбираем нужную функцию, выделяем ее курсором и нажимаем на ОК (рис. 4).

Рис. 4. Мастер функций

Для поиска функции в программе Excel 2007 в меню может  быть открыта любая вкладка, тогда для проведения расчетов выделяем курсором ячейку, в которой хотим отобразить среднее значение и нажимаем на клавиатуре клавишу =.  Далее в поле Имя указываем функцию СРЗНАЧ. Окно для расчета функции аналогично приведенному в Excel 2003.

Также можно выбрать вкладку Формулы и нажать левой кнопкой мыши на кнопку в меню «ВСТАВИТЬ ФУНКЦИЮ » (рис. 5), появится окно МАСТЕР ФУНКЦИЙ, вид которого аналогичен Excel 2003. Также в меню можно сразу выбрать категорию функций (недавно использовались, финансовые, логические, текстовые, дата и время, математические, другие функции), в которой будем искать нужную функцию.

Рис. 5 Выбор функции в Excel 2007

СРЗНАЧ(число1; число2; ...)

Число1, число2, .. — это от 1 до 30 аргументов, для которых вычисляется среднее.

Аргументы должны быть либо числами, либо именами, массивами или ссылками, содержащими числа.

Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако ячейки, которые содержат нулевые значения, учитываются.

Вычисляя средние значения ячеек, следует учитывать различие между пустыми ячейками и ячейками, содержащими нулевые значения, особенно если не установлен флажок НУЛЕВЫЕ ЗНАЧЕНИЯ на вкладке ВИД (команда ПАРАМЕТРЫ, меню СЕРВИС). Пустые ячейки не учитываются, но нулевые ячейки учитываются.

В поле Число 1, Число 2 вводится диапазон ячеек, для которых нужно вычислить среднее значение. Даже если в поле Число 1 ввести данные из одного столбца, а в поле Число 2 – из другого столбца, будет вычислено одно среднее значение для всех введенных данных.

Ввод диапазона ячеек осуществляется после наведения курсора на квадратик в конце строки в поле Число 1 или Число 2 и нажатия на нем левой кнопки мыши (рис. 6).

Рис. 6 Функция СРЗНАЧ

В результате диалоговое окно примет вид (рис. 7)

Рис. 7. Диалоговое окно функции СРЗНАЧ

Далее курсор перемещается на рабочий лист и устанавливается в первую ячейку диапазона, для которого вычисляется среднее значение. Передвигая курсор вниз при нажатой левой кнопке мыши, выделяем диапазон для расчета. В строке отобразятся номера ячеек. После ввода номеров ячеек левой кнопкой мыши нажимаем на квадрат в конце строки. На экране появится изображение диалогового окна для расчета среднего значения (рис. 2). Далее нажимаем на ОК.

Функция СРЗНАЧА вычисляет среднее арифметическое значений, заданных в списке аргументов. Помимо чисел в расчете могут участвовать текст и логические значения, такие как ИСТИНА и ЛОЖЬ.

Среднее квадратическое отклонение различается на смещенное  S  и несмещенное  S₁. Среднее квадратическое отклонение S_, полученное при выборке n<30, носит название смещенного и его среднее значение занижено по сравнению со средним  квадратическим отклонением для всей партии материала.

При числе испытаний n<30

                              (2)

При числе испытаний 30≤n<50

                             (3)

                                         (4)

где М_к –коэффициент, зависящий от числа испытаний

Значения М_к приведены в табл. 1  для К=n-1

                        Таблица 1

При n>60 значение  Мк~1.

Для вычислений при n<30 применяется функция СТАНДОТКЛОН (рис.  8). Поиск данной функции осуществляется методом, указанном для расчета среднего значения.

Рис. 8. Функция СТАНДОТКЛОН

Функция СТАНДОТКЛОН оценивает среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) по выборке. Стандартное отклонение — это мера того, насколько широко разбросаны точки данных относительно их среднего.

СТАНДОТКЛОН(число1; число2; ...)

Число1, число2,... — от 1 до 30 числовых аргументов, соответствующих выборке из генеральной совокупности. Вместо аргументов, разделенных точкой с запятой, можно также использовать массив или ссылку на массив.

СТАНДОТКЛОН предполагает, что аргументы являются только выборкой из генеральной совокупности. Если данные представляют всю генеральную совокупность, то стандартное отклонение следует вычислять с помощью функции СТАНДОТКЛОНП.

Стандартное отклонение вычисляется с использованием «несмещенного» или «n-1» метода.

СТАНДОТКЛОН использует формулу (2).

Логические значения, такие как ИСТИНА или ЛОЖЬ, а также текст игнорируются. Если текст и логические значения игнорироваться не должны, следует использовать функцию рабочего листа СТАНДОТКЛОНА, а для генеральной совокупности - СТАНДОТКЛОНПА.

Коэффициент вариации - является относительной характеристикой рассеяния случайной величины

                                            (5)

Для проведения расчетов выделяем курсором ячейку, в которой хотим отобразить значение коэффициента вариации, и нажимаем на клавиатуре клавишу =. В строке для ввода формул набираем нужную формулу, причем величины среднего значения и среднего квадратического значения вводим в виде ссылки на ячейку, где они представлены в числовой форме. Для этого подводим курсор к нужной ячейке и нажимаем левую кнопку мыши. После ввода формулы нажимаем на клавиатуре клавишу ENTER.

Математические знаки, используемые для ввода формул приведены в табл. 2.

Таблица 2

Размах варьирования -  разница между наибольшей и наименьшей величинами в выборке

                                         (6)

где X_max  - максимальное значение в выборке;

X_min  - минимальное значение в выборке.

Максимальное значение выборки определяется функцией МАКС (рис. 9).

Рис. 9. Функция МАКС

Функция МАКС возвращает наибольшее значение из набора значений.

МАКС(число1;число2; ...)

Число1, число2,..— от 1 до 30 чисел, среди которых требуется найти наибольшее.

Можно задавать аргументы, которые являются числами, пустыми ячейками, логическими значениями или текстовыми представлениями чисел. Аргументы, которые являются значениями ошибки или текстами, не преобразуемыми в числа, вызывают значения ошибок.

Если аргумент является массивом или ссылкой, то в нем учитываются только числа. Пустые ячейки, логические значения или текст в массиве или ссылке игнорируются. Если логические значения или текст не должны игнорироваться, следует использовать функцию МАКСА.

Если аргументы не содержат чисел, то функция МАКС возвращает 0 (ноль).

Минимальное значение выборки определяется функцией МИН (рис. 10).

Рис. 10 Функция МИН

Функция МИН возвращает наименьшее значение в списке аргументов.

МИН(число1;число2; ...)

Число1, число2,...— от 1 до 30 чисел, среди которых требуется найти наименьшее.

Можно задавать аргументы, которые являются числами, пустыми ячейками, логическими значениями или текстовыми представлениями чисел. Аргументы, которые являются значениями ошибки или текстом, не преобразуемым в числа, вызывают значения ошибок.

Если аргумент является массивом или ссылкой, то учитываются только числа. Пустые ячейки, логические значения или текст в массиве или ссылке игнорируются. Если логические значения или текст игнорироваться не должны, следует пользоваться функцией МИНА.

Если аргументы не содержат чисел, то функция МИН возвращает 0.

Расчет размаха варьирования осуществляется путем ввода формулы в строку формул, а минимальное и максимальное значения указываются в виде ссылки на ячейки.

Абсолютная ошибка выборки

                                            (7)

где t – коэффициент Стьюдента, выбираемый по таблице в зависимости от числа испытаний.

Относительная ошибка выборки

                                   (8)

Расчет ошибок выборки осуществляется путем ввода формул в строку формул.

2.2. Сводные характеристики выборки при большом числе испытаний (n≥50)

Сначала находят  разницу между максимальной и минимальной величинами, т.е. размах варьирования по формуле (6). Далее определяют  классовый интервал

                                           (9)

где n_k  -  число классов. Желательно, чтобы 7<n_k<20.

Желательно, чтобы величина k была кратной 5 или 10.

Разбивают полученные значения на классы, которые располагаю по возрастанию значений, и результаты представляют в таблице 1.

Таблица 1

Напротив наибольшего числа значений в классе отмечают условное отклонение , от него увеличивающиеся на единицу отклонения: вниз – положительные, вверх – отрицательные.

Среднее значение выборки определяют по формуле:

                                               (10)

где Х – среднее значение в классе при  a = 0;

k – классовый интервал;

n – общее число измерений.

Среднее квадратическое отклонение

                                      (11)

Функция ЧАСТОТА вычисляет частоту появления значений в интервале значений и возвращает массив цифр. Функция ЧАСТОТА (рис. 11) может быть использована, например, для подсчета количества результатов тестирования, попадающих в интервалы результатов. Поскольку данная функция возвращает массив, она должна задаваться в качестве формулы массива.

Рис. 11. Функция ЧАСТОТА

ЧАСТОТА(массив данных; массив интервалов)

Массив данных — массив или ссылка на множество данных, для которых вычисляются частоты. Если массив данных не содержит значений, то функция ЧАСТОТА возвращает массив нулей.

Массив интервалов — массив или ссылка на множество интервалов, в которые группируются значения аргумента массив данных. Если массив интервалов не содержит значений, то функция ЧАСТОТА возвращает количество элементов в аргументе массив данных.

ЧАСТОТА вводится как формула массива после выделения интервала смежных ячеек, в которые нужно вернуть полученный массив распределения.

Количество элементов в возвращаемом массиве на единицу больше числа элементов в массиве интервалов. Дополнительный элемент в возвращаемом массиве содержит количество значений, больших чем максимальное значение в интервалах. Например, при подсчете трех диапазонов значений (интервалов), введенных в три ячейки, убедитесь в том, что функция ЧАСТОТА возвращает значения в четырех ячейках. Дополнительная ячейка возвращает число значений в массив данных, больших чем значение границы третьего интервала.

ЧАСТОТА игнорирует пустые ячейки и тексты.

Формулы, которые возвращают массивы, должны быть введены как формулы массива.

Формулу в этом примере необходимо ввести как формулу массива. Для ввода данных как массива нужно нажать клавишу F2, а затем клавиши CTRL+SHIFT+ENTER. Если формула не будет введена как формула массива, единственное значение будет равно 1.

Статистическая обработка данных может также проводиться с помощью надстройки Пакет анализа в подпункте меню «Сервис». В программе  Excel 2003, если открыв СЕРВИС, не находим вкладку АНАЛИЗ ДАННЫХ, то щелчком левой кнопки мыши открываем вкладку НАДСТРОЙКИ и напротив пункта ПАКЕТ АНАЛИЗА щелчком левой кнопки мыши ставим галочку (рис. 12).

Рис. 12. Окно НАДСТРОЙКИ

После этого в меню СЕРВИС появляется вкладка АНАЛИЗ ДАННЫХ.

В Excel 2007 для установки ПАКЕТА АНАЛИЗА нужно нажать на кнопку OFFICE в левом верхнем углу листа (рис. 13а). Далее нажимаем на кнопку ПАРАМЕТРЫ EXCEL. В появившемся окне ПАРАМЕТРЫ EXCEL нажимаем левой кнопкой мыши на пункт НАДСТРОЙКИ и в правой части раскрывшегося списка выбираем пункт ПАКЕТ АНАЛИЗА. Далее нажимаем на ОК.

Чтобы Пакет анализа был установлен, нажимаем на кнопку ПЕРЕЙТИ, расположенную внизу раскрытого окна. Появится окно, показанное на рис. 12. Ставим галочку напротив ПАКЕТА АНАЛИЗА. Во вкладке ДАННЫЕ появится кнопка АНАЛИЗ ДАННЫХ (рис. 14).

а)

б)

Рис. 13. Установка ПАКЕТА АНАЛИЗА в Excel 2007

Рис. 14. Вкладка ДАННЫЕ

Далее откроется окно, которое показано на рис. 15.

Из предложенных пунктов выбирает пункт «ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА » и щелкаем на нем левой кнопкой мыши.

Рис. 15. Окно «АНАЛИЗ ДАННЫХ »

Далее откроется окно, показанное на рис. 16.

Рис. 16. Окно ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТКА

Входной диапазон. Ссылка на диапазон, содержащий анализируемые данные. Ссылка должна состоять не менее чем из двух смежных диапазонов данных, данные в которых расположены по строкам или столбцам.

Группирование. Установите переключатель в положение «По столбцам»  или «По строкам» в зависимости от расположения данных во входном диапазоне.

Метки в первой строке/Метки в первом столбце. Если первая строка исходного диапазона содержит названия столбцов, установите переключатель в положение Метки в первой строке. Если названия строк находятся в первом столбце входного диапазона, установите переключатель в положение Метки в первом столбце. Если входной диапазон не содержит меток, то необходимые заголовки в выходном диапазоне будут созданы автоматически.

Уровень надежности. Установите флажок, если в выходную таблицу необходимо включить строку для уровня надежности. В поле введите требуемое значение. Например, значение 95% вычисляет уровень надежности среднего с уровнем значимости 0,05.

К-ый наибольший. Установите флажок, если в выходную таблицу необходимо включить строку для k-го наибольшего значения для каждого диапазона данных. В соответствующем окне введите число k. Если k равно 1, эта строка будет содержать максимум из набора данных.

К-ый наименьший. Установите флажок, если в выходную таблицу необходимо включить строку для k-го наименьшего значения для каждого диапазона данных. В соответствующем окне введите число k. Если k равно 1, эта строка будет содержать минимум из набора данных.

Выходной диапазон. Введите ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона. Этот инструмент анализа выводит два столбца сведений для каждого набора данных. Левый столбец содержит метки статистических данных; правый столбец содержит статистические данные. Состоящий их двух столбцов диапазон статистических данных будет выведен для каждого столбца или для каждой строки входного диапазона в зависимости от положения переключателя Группирование.

Если хотим вывести результаты расчета на новый лист,  то установите переключатель, чтобы открыть новый лист в книге и вставить результаты анализа, начиная с ячейки A1. Если в этом есть необходимость, введите имя нового листа в поле, расположенном напротив соответствующего положения переключателя.

Если хотим вывести результаты расчета в новой книге, то установите переключатель, чтобы открыть новую книгу и вставить результаты анализа в ячейку A1 на первом листе в этой книге.

Итоговая статистика. Установите флажок, если в выходном диапазоне необходимо получить по одному полю для каждого из следующих видов статистических данных, представленных в таблице 2.

Таблица 2

.