Доказать теорему о производной аналитической функции
Доказать теорему о производной аналитической функции
Теорема. Аналитическая функция является бесконечно дифференцируемой в области аналитичности.
Доказательство. Можно показать, что интеграл в интегральной формуле Коши можно дифференцировать по z0, как по параметру. Проводя это дифференцирование нужное число раз, получим формулу для n – ой производной аналитической функции.
, , ….
. Это - формула для n – ой производной аналитической функции.
Лекция "43. Рентгеноструктурный анализ" также может быть Вам полезна.
С помощью полученных формул (деля обе части на коэффициент перед интегралом) можно вычислять интегралы вида
, .
Примеры. 1. (по интегральной формуле Коши)
2. (по формуле для первой производной)
3. Вычислить. Аналитичность функции нарушается в точках z=0, z=1. Рассмотрим два контура: – окружности с центрами в точках z=0, z=1, радиусами r=1/4. . По интегральной теореме Коши для многосвязной области = += =
=.