Интегралы в комплексной области
§10. Интегралы в комплексной области.
Пусть функция непрерывна в области G , а L – гладкая кривая, лежащая в этой области, заданная уравнением Кривую будем считать ориентированной, если заданы начальная и конечная точки кривой. При этом, положительное направление задается изменением параметра t от меньшего значения к большему (т.е. А – начало кривой, В – конец ).
Напомним, что кривая называется гладкой, если у нее существует непрерывная касательная в каждой точке, что эквивалентно наличию непрерывных производных
не равных нулю одновременно. Необходимо сделать замечание относительно ориентации замкнутых кривых, так как начальная и конечная точки в этом случае совпадают. Если замкнутый контур без самопересечений целиком лежит в некоторой области, то обход контура называют положительным при движении против часовой стрелки.
При этом контур обозначают Г+ или просто Г (по умолчанию). В противном случае ориентация контура называется отрицательной и обозначается Г− . Если же контур является границей области, то его обход называется положительным в том случае, когда область при движении остается слева. Например, положительный обход области идет против часовой стрелки, а области − по часовой. По умолчанию, обход области по границе всегда будем считать положительным.
Определение. Интегралом от функции комплексной переменной по кривой L называется:
.
Таким образом, интеграл от комплексной функции равен сумме двух криволинейных интегралов второго рода (см. курс «Теория поля»), которые, в свою очередь, сводятся к вычислению двух обыкновенных интегралов:
+
Рекомендуемые материалы
Примеры. Вычислить интегралы:
Лекция "Грунтовые и межпластовые безнапорные воды" также может быть Вам полезна.
1. {}
2. и по окружности L радиуса R с центром в т. z0 . {Запишем уравнение окружности в виде:
Отсюда:
1) .
2) }
Замечание. Значение интегралов во втором примере не зависят от радиуса окружности.