Элементарные функции комплексной переменной
Элементарные функции комплексной переменной.
1. Степенная функция 
, 
- натуральное. Определена, однозначна и аналитична на всей плоскости С. Действительно, при n=1 
(или, непосредственно, 
). Далее, 
дифференцируема как произведение дифференцируемых функций. Её производная 
отлична от нуля при 
, следовательно, отображение при 
конформно в этих точках. (Углы с вершиной в точке 
увеличиваются в n раз). Отображение неоднолистно при на всей плоскости С; для его однолистности в некоторой области 
необходимо, чтобы область помещалась в некоторый сектор раствора 
.
2. Показательная функция 
. Определим эту функцию предельным соотношением 
. Докажем, что этот предел существует при 
: 
, модуль этого числа обозначим 
: 
, аргумент -
: 
(при достаточно больших n дробь 
лежит в правой полуплоскости). 
, следовательно, существует 
.
При мнимом 
отсюда следует, что 
, теперь формула Эйлера окончательно доказана.
Кратко перечислим свойства этой функции.
1. Функция аналитична на всей плоскости С, и 
(доказано в разделе 19.3.3. Примеры вычисления производных).
2. 
(проверяется непосредственно).
3. Функция периодическая, с мнимым основным периодом 
(
)
Из этого свойства следует, что для однолистности отображения необходимо, чтобы область D не содержала пары точек, связанных соотношением 
, такой областью является, например, полоса 
, преобразуемая в плоскость С с выброшенной положительной полуосью.
Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Тема 8. Основные системы мозга (часть 1).
3. Тригонометрические функции. Определим эти функции соотношениями 
, 
. Все свойства этих функций следуют из этого определения и свойств показательной функции. Эти функции периодичны с периодом 
, первая из них четна, вторая - нечетна, для них сохраняются обычные формулы дифференцирования 
, сохраняются обычные тригонометрические соотношения (
- проверяется непосредственно, 
, формулы сложения и т.д.)
4. Гиперболические функции. Эти функции определяются соотношениями 
, 
. Из определений следует связь тригонометрических и гиперболических функций: 
, 
.
5. Функция 
. Это n-значная функция (раздел 19.1.3), все значений которой даются формулами 
, 
. Функция 
определяется равенством 
.
6. Логарифмическая функция 
определяется при как функция, обратная показательной: , если 
. Если 
, то последнее равенство означает, что 
, откуда 
. Таким образом, 
- функция многозначная (бесконечнозначная); её значение при 
называется главным и обозначается 
: 
. Так, 
, где k - произвольное целое число.
7. Общая показательная 
и общая степенная 
(а, z - произвольные комплексные числа, 
) функции определяются соотношениями 
, и,следовательно, бесконечнозначны.
8. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции определяются так же, как и в действительном случае (
, если 
, например), и выражаются через 
. Найдём, например, 
. По определению, это такое число w, что 
, или 
. Так как 
, получаем две серии значений: 
, 
