Степенные функции
§3. Степенные функции
Функция
у = х2 (15)
называется квадратичной, а ее график называется параболой (см. рис. 14).
Точка О называется вершиной параболы. Ось Y является осью симметрии параболы, т.к. для каждой точки М (х, у), лежащей на параболе, симметричная ей относительно оси Y точка М'(-х, у) также лежит на параболе. Другими словами, если чертеж перегнуть по оси Y, то левая половина параболы совпадет с правой.
Переменная х, стоящая в правой части уравнения (15), может принимать любые значения. Если х возрастает от -? до нуля (х Î [-¥, 0]), то у = х2 убывает от +¥ до нуля. Следовательно, на промежутке (-¥, 0) функция (15) убывает. Это хорошо видно на рисунке: левая часть графика идет сверху вниз, если двигаться в направлении возрастания координаты х, т.е. слева направо. Правая часть графика демонстрирует нам тот факт, что функция возрастает на промежутке [0,+¥). Найдем теперь график обратной функции, для чего, как и в случае с линейной функцией, поменяем местами переменные х и у а затем выразим у. После замены получим х = у2, откуда у = 
или у = -. Таким образом, мы получили две функции. Первая (у = ) будет обратной для функции х = у2, х > 0, графиком которой является правая ветвь параболы; функция у = - - является обратной для функции х = у2, х < 0, графиком которой является левая половина параболы (см. рис. 15).
Рекомендуемые материалы
УПРАЖНЕНИЯ
10. Постройте графики следующих функций и функций, им обратных:
а) у = 2х2; б) у = -х2; в) у = -2х2.
Степенная функция
у =х3 (16)
называется кубической. Ее график (см. рис. 16) называется кубической параболой.
Обратной к функции (16) будет х = у3 или у = 
. Ее график (см. рис. 16) также будет кубической параболой. Обе параболы симметричны относительно начала координат. Действительно, если уравнению (16) удовлетворяют координаты точки М (х, у), то ему же удовлетворяют и координаты точки М'(-х, -у), которая симметрична М относительно начала координат.
Обратите внимание на лекцию "Теплофизические характеристики почвы".
На рис. 17 приведены графики степенной функции у = х4 и соответствующих обратных функций.
УПРАЖНЕНИЯ
11. Постройте графики заданных функций и функций, им обратных:
а) у = –х3; б) у = 2х3; в) у = –2х3; г) у = –у4; д) у = 2х4; е) у - –2х4
