Формула Стокса

Лекция 9 Формула Стокса.

Ротор векторного поля.

Назовем ротором векторного поля  вектор

Свойства ротора.

Рекомендуемые материалы

1) Линейность 

= +

= .

2) - постоянное векторное поле.

3)

=

+ = .

Теорема Стокса.

Пусть пространственно односвязная область V содержит кусочно-гладкую поверхность  с кусочно-гладкой границей .

Пусть компоненты векторного поля  непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим аргументам до второго порядка включительно в области V.

Тогда справедлива  формула Стокса

Замечание. Нормаль к поверхности проведена так, чтобы наблюдатель, находясь на конце вектора нормали, видел бы обход контура , совершающимся в положительном направлении (так, чтобы область, границей которой является контур, при обходе контура находилась бы «по левую руку»).

Доказательство теоремы Стокса.

представляет собой вектор

Отсюда видно, что . Вспомним еще, что .

(на поверхности  , поэтому под интегралом стоит частная производная P по y с учетом зависимости z от y на поверхности)

=

Используем формулу Грина для области D с ее границей . Ее можно записать в виде

. Нам понадобится только та ее часть, которая относится к функции P   . Продолжаем равенство дальше.

= .

В самом деле, на контуре , а переменные x, y на том и другом контуре те же, так как контур - это проекция контура на плоскость OXY (параллельно оси OZ).

Одна из частей формулы Стокса доказана.

Линейным  интегралом векторного поля  по дуге L называется криволинейный интеграл  .

Линейный интеграл имеет смысл работы векторного поля при перемещении по дуге.

Циркуляцией векторного поля называется линейный интеграл по замкнутому контуру.

.

Вводя эти понятия, можно записать формулу Стокса в «полевой» форме

.

Мы определили ротор векторного поля в декартовой системе координат, однако ротор – это характеристика самого векторного поля  Поэтому необходимо дать определение ротора, которое не зависит от выбора системы координат.

Инвариантное определение ротора.

Рассмотрим произвольную точку M в области V. Проведем через нее поверхность , границей которой служит контур . Пусть поверхность и контур удовлетворяют условиям теоремы Стокса. По теореме о среднем для поверхностного интеграла и формуле Стокса получим

.

Здесь, как и ранее - обозначение области и ее площади. Из этого соотношения, стягивая контур  к точке M, получим

Это и есть инвариантное определение ротора.

Правая часть формулы – это поверхностная плотность циркуляции векторного поля (энергии в точке M вращения векторного поля или работы векторного поля при вращении вокруг некоторого направления, определяемого вектором ). Левая часть – это проекция ротора на это направление.

Если направление  совпадает с направлением ротора и  - единичный вектор, то левая часть равна модулю ротора. Поэтому модуль ротора векторного поля равен максимальному значению поверхностной плотности циркуляции векторного поля.

Левая часть достигает максимума при коллинеарности направления и  ротора векторного поля. Поэтому направление ротора векторного поля – это то направление, вокруг которого поверхностная плотность циркуляции векторного поля – наибольшая.

Пример. Найти ротор линейной скорости вращения с постоянной угловой скоростью

Векторное поле линейной скорости .

,

Ранее была сформулирована теорема о полном дифференциале для  пространственной кривой. В ее доказательстве не хватало только одного пункта – перехода от пункта 3) к пункту 2). Все остальное доказывается аналогично случаю плоской кривой.

Теорема (о полном дифференциале) для пространственной кривой.

Пусть дуга AB лежит на кусочно-гладкой поверхности S, пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные на S. Тогда следующие четыре утверждения эквивалентны.

1) не зависит от формы дуги (от пути интегрирования), а зависит только от начальной и конечной точек дуги.

2) Для любого замкнутого контура  

3)

4) .   - полный дифференциал.

Теперь переход от пункта 3) к пункту 2) легко сделать по формуле Стокса.

Криволинейный интеграл от полного дифференциала можно вычислять по формуле

= , так как интеграл не зависит от формы дуги (пути интегрирования).

Криволинейный интеграл от полного дифференциала можно вычислять также по формуле Ньютона – Лейбница

= , где  - потенциал векторного поля ().

Потенциальное поле и его свойства.

Векторное поле  называется потенциальным, если существует такое скалярное поле  (потенциал векторного поля ), что =.

Замечание. Если поле  - потенциально, то  = - полный дифференциал. Тогда - полный дифференциал. Поэтому свойства потенциального поля можно сформулировать и доказать как следствия теоремы о полном дифференциале.

Свойства потенциального поля.

1. Линейный интеграл потенциального поля  не зависит от формы дуги L = , а зависит только от начальной и конечной точек дуги.

В самом деле, =.

2. Циркуляция потенциального поля равна нулю

Полагая дугу АВ замкнутой (A = B), получаем =

3. Потенциальное поле является безвихревым, т.е.

Оператор Гамильтона

Оператор Гамильтона .

Применим оператор Гамильтона к скалярному полю .

Оператор Гамильтона представляет собой вектор-оператор. Его можно скалярно или векторно умножить на векторное поле .

Это дифференциальные операции первого порядка над скалярным и векторным полями. От скалярного поля можно взять градиент, от векторного поля можно взять дивергенцию и ротор.

Дифференциальные операции второго порядка.

В результате дифференциальных операций первого порядка мы получаем скалярные и векторные поля .

 К ним вновь можно применить дифференциальные операции первого порядка.

От скалярного поля можно взять градиент, получив векторное поле .

От векторных полей можно взять ротор и дивергенцию, получив скалярные поля , и векторные поля , .

Итак, дифференциальные операции второго порядка позволяют получить скалярные поля ,  и векторные поля , , .

Ранее было показано, что потенциальное поле – безвихревое, т.е. =0.

Покажем, что поле ротора – соленоидальное поле, т.е. =0.

Доказательство.

= .

Три остальных векторных поля связаны друг с другом. Это становится ясным, если рассматривать векторные операции с оператором Гамильтона «набла» аналогично обычным векторным операциям. Однако, эти аналогии не совсем верны, см. подробнее о свойствах оператора «набла» выпуск 7 учебника.

=, =

Известно соотношение . Перенося это правила на действия с оператором «набла», получим

.

Здесь  - оператор Лапласа (скаляр – оператор).

.

- произведение скаляр-оператора Лапласа на вектор .

Гармоническое поле.

Скалярное поле  называется гармоническим, если

Бесплатная лекция: "14.4 Революция 1905-1907 гг" также доступна.

 - уравнение Лапласа.

Векторное поле называется гармоническим, если оно потенциальное (), а потенциал  - гармоническое скалярное поле, т.е. .

Теорема. Для того, чтобы векторное поле  было гармоническим, необходимо и достаточно чтобы оно было соленоидальным и потенциальным.

Необходимость. Если векторное поле  - гармоническое, то оно потенциальное, т.е. , тогда оно соленоидально, так как .

Достаточность. Если векторное поле  потенциальное, то . Так как оно еще и соленоидально, то 0 = . Следовательно, поле потенциально и его потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, поэтому векторное поле – гармоническое.

Так как гармоническое поле потенциально и соленоидально, то его свойства – свойства соленоидального поля и свойства потенциального поля.