Разделенные разности. Многочлен Ньютона

Разделенные разности. Многочлен Ньютона.

Вступление: схема Эйткена, формулы вычисления производных, используют разности значений функций, деленные на расстояния между узлами. Похожие формулы называют разностными методами.

Опр. Назовем разделенными разностями 0-го порядка значения f(x_i).

Назовем разделенными разностями 1-го порядка:

.

Назовем разделенными разностями 2-го порядка:

.

Назовем разделенными разностями порядка l:

.

Рекомендуемые материалы

Для вычисления всех разделенных разностей используют таблицу, как в схеме Эйткена:

Лемма 1.(без док-ва)

.

Опр. Интерполяционным многочленом Ньютона с разделенными разностями называется

.

Теорема 2.

Многочлен Ньютона совпадает с многочленом Лагранжа.

Док-во:

1)

где L_k(x) — многочлен Лагранжа степени k по узлам x₀,...,x_k.

2) .

3) Покажем, что для любого k выполняется .

По определению многочлена Лагранжа

Рекомендация для Вас - 9.1 Февральская революция.

. Теорема доказана.

Замечание: если x₀ < x₁ < … < x_n , то

— интерполяционный многочлен для интерполяции вперед;

— интерполяционный многочлен для интерполяции назад.