Экономико-математические методы в анализе хозяйственной деятельности

Тема 11. Экономико-математические методы в анализе хозяйственной деятельности

11.1. Оптимизационные методы в принятии управленческих решений.

11.2. Балансовые методы и модели в оценке внутризаводских связей и расчетах затрат и цен.

1.1. Оптимизационные методы в принятии управленческих решений.

Многие задачи, с которыми приходится сталкивается экономисту  в повседневной практике при анализе хозяйственной деятельности предприятий, многовариантны. Так как не все варианты одинаково хороши, среди множества возможных приходится отыскивать оптимальный. Значительная часть подобных задач на протяжении долгого времени решалась исходя из здравого смысла и опыта. При этом не было никакой уверенности, что найденный вариант является наилучшим.

Рекомендуемые материалы

В современных условиях даже не значительные ошибки могут привести к огромным потерям. В связи с этим возникла необходимость привлечения к анализу и синтезу экономических систем оптимизационных экономико-математических методов и ЭВМ, что создает основу  для принятия научно обоснованных решений. Такие методы объединяют в одну группу под общим названием «оптимизационные методы анализа и принятия решения в экономике».

Чтобы решить экономическую задачу математическими методами, прежде всего необходимо построить адекватную ей математическую модель, т.е. формализовать цель и условия задачи в виде математических функций, уравнений и (или) неравенств.

В общем случае математическая модель оптимизационной задачи имеет вид:

max (min) : Z = Z(x)          (11.1.)

при ограничениях

      ,           (11.2)

где:

 R – отношения равенства, меньше или больше.

Если целевая функция (11.1) и функции, входящие в систему ограничений (11.2.), линейны относительно входящих в задачу неизвестных, такая задача называется задачей линейного программирования. Если же целевая функция (11.1.) или система ог­раничений (11.2.) не линейна, такая задача называется задачей линейного программирования.

В основном, на практике, задачи нелинейного программиро­вания путем линеаризации сводятся к задаче линейного про­граммирования. Особый практический интерес среди задач линейного программирования представляют задачи динами­ческого программирования, которые из-за своей многоэтапнос­ти нельзя линеаризовать. Поэтому мы рассмотрим только эти два вида оптимизационных моделей, для которых в настоящее время имеется хорошее математическое и программное обеспе­чение.

Модели и методы решения задачи линейного программирования. Среди оптимизационных моделей и методов, исполь­зуемых в теории экономического анализа, наиболее широкое распространение получили модели линейного программирова­ния, которые решаются с помощью универсального приема ­ –симплексного метода. Для современных ПЭВМ имеется ряд па­кетов прикладных программ, которые позволяют решать любые задачи линейного программирования достаточно большой раз­мерности. Одновременно с решением исходной задачи указан­ные пакеты прикладных программ могут решать двойственную задачу, решение которой позволяет проводить полный экономи­ческий анализ результатов решения исходной задачи.

Решение задачи линейного программирования на ПЭВМ рас­смотрим на примере задачи об оптимальном раскрое материалов. По результатам решения проведем полный экономико-матема­тический анализ с использованием теории двойственности.

Пусть имеется 200 кг полотна шириной 86 см и 300 кг - ши­риной 89 см. Из него необходимо раскроить и сшить мужские куртки 44, 46, 52 и 54 размеров. Они должны быть изготовлены

в следующем соотношении к размерам: 44 - 25,38%; 46 ­27,88%; 52 - 24,54%; 54 - 25,54%. Итого - 100%.

Общий расход полотна, а также отходы, получаемые при рас­крое полотна, приведены в табл. 11.1 и 11.2.

Количество курток, которые выпускало предприятие в тече­ние месяца, показано в табл. 11.3.

Необходимо определить насколько рациональным оказался раскрой, а также какие размеры изделий целесообразнее раскра­ивать из полотна указанной ширины, чтобы сократить отходы.

Таблица 11.1.

Таблица 11.2.

Таблица 11.3.

Решим данную задачу на ПЭВМ с использованием, например, инструментальных средств МВ Excel и сделаем экономический анализ полученного решения. Как правило, решение конкретной задачи на ПЭВМ включает в себя следующие этапы:

· составление математической модели;

· присвоение элементам модели определенных «имен»;

· составление матричной модели с поименованными элемен­тами;

· ввод и корректировка исходных данных;

· решение задачи на ПЭВМ;

· экономический анализ полученного решения.

Здесь х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8, обозначают соответственно количество изделий (штук) определенного размера, раскроенных из полотна шириной 86 и 89 см. Умножив количество изделий на нормы отхода, получим общую величину отходов производ­ства. Они должны быть минимальны. Тогда  целевая функция имеет вид:

min: F(x) = 66,27 х1 + 75.5х2 + 78.4х3 + 95.6х4 +

+ 94.2х5 + 97.49х6 + 105.7х7 + 108.77х8.

Задача состоит в нахождении таких хj (j= ), при которых целевая функция (11.1) достигнет минимума и выполняются сле­дующие условия:

520,27х1 + 553,5х2 + 597,4х3 + 605,4х4 = 200000;  (11.4)

526,42х5 + 553,49х6 + 627,7х7 + 647,77х8 = 300000;  (11.5)

х1 +  х2 +  х3 +  х4 + х5 + х6 + х7 + х8  - х9 = 0;  (11.6)

х1 + х5 – 0,2538х9 = 0;                     (11.7)

х2 +х6 – 0,2788х9 = 0;                  (11.8)

х3 + х7 – 0,2420х9 = 0;       (11.9)

х4 + х8 – 0,2254х9 = 0;           (11.10)

.       (11.11)

Здесь х9 – суммарный выпуск курток. Тогда условия (11.4) и (11.5) означают, что полотна шириной 86 см должно быть из­расходовано 200 кг, а полотна шириной 89 см - 300 кг; (11.6)­ – условие суммарного выпуска изделий; условия (11.7) – (11.10) означают сбалансированность раскроя изделий по соответствую­щим размерам; (11.11) – условие неотрицательности объемов производства.

На втором этапе каждой переменной, ограничениям, целе­вой функции и вектору ограничений (коэффициенты свободных членов) присваиваются «имена», которые должны включать не более восьми символов. Удобно, чтобы имена были информатив­ными, так как при этом облегчается использование выходных отчетов.

Элементы модели и присваиваемые им имена:

На третьем этапе составляем матричную модель с имено­ванными элементами модели.

На четвертом этапе введем исходные данные в ПЭВМ. При этом ввод осуществляется в соответствии с инструкцией к име­ющемуся пакету прикладных программ.

При завершении ввода исходной информации возможна ее распечатка для визуального контроля. По результатам контро­ля производится корректировка исходной информации и пере­ход на режим расчета.

Пятый этап. Решение задачи Возможно в двух режимах: решение прямой задачи; решение прямой и двойственной задач. При этом решение можно производить поэтапно, с выдачей проме­жуточных результатов алгоритма симплекс-метода, по которым можно судить о качественном процессе поиска оптимального ре­шения. По завершении результатов расчета устанавливается ре­жим распечатки (как прямой задачи, так и двойственной).

Так, в режиме расчета прямой задачи получим следующее решение, предварительно округлив результаты до целых:

ПР 1 = 150; ПР 2 = о; ПР 3 = 204; ПР 4 = о; ПР 5 = 64; ПР 6 = 235; ПР 7 = о; ПР 8 = 190; ПР 9 = 843.

Отходы = 75 743; Полотно 1 = 200 000; Полотно 2 300 = 000.

Следовательно, необходимо раскроить из полотна шириной 86 см 150 курток 44 размера и 204 куртки 52 размера, а из полот­на шириной 89 см - 64 куртки 44 размера, 235 курток 46 раз­мера и 190 курток 54 размера. Общий объем производства соста­вит 843 куртки. Суммарные отходы при таком варианте раскроя составят 75743 г, а ресурсы будут использованы полностью.

В режиме решения двойственной задачи получим значения двойственных оценок ресурсов:

             Полотно 1 = 0,12996                                      Полотно 2 = 0,16616

Как видим, двойственные оценки объемов ресурсов отличны от нуля, следовательно, они «дефицитны». Их абсолютная ве­личина говорит о том, что увеличение объема ресурса на едини­цу приводит к качественному изменению целевой функции (11.1) на величину этой оценки. Следовательно, оценки можно счи­тать количественной мерой дефицита ресурсов: чем больше оценка, тем к большему эффекту приводит увеличение объема использования данного ресурса.

Одновременно с этим получим двойственные оценки произ­водимой продукции:

ПР 1 = о; ПР 2 = 4,70818; ПР 3 = о; ПР 4 = 4; ПР 5 = о; ПР 6 = о; ПР 7 = 0,73815; ПР 8 = о.

Здесь двойственные оценки ПР 2, ПР 4, ПР 7 принимают ну­левые значения. Абсолютные значения этих оценок говорят о том, что если мы все же будем раскраивать соответствующие изделия, потери от отходов будут только увеличиваться на ве­личину оценки от раскроя одной единицы изделия. Следова­тельно, раскраивать куртки 46 и 54 размеров из полотна 86 см нецелесообразно, точно так же как и куртки 52 размера - из по­лотна шириной 89 см.

Теперь сопоставим нормативные отходы при традиционном ва­рианте раскроя с отходами при оптимальном варианте (табл. 11.4).

Таблица 11.4.

Из таблицы видно, что наиболее рационален раскрой из по­лотна шириной 86 см изделий 44 и 52 размеров, а из полотна шириной 89 см - 44, 46 и 54 размеров. Такой способ раскроя уменьшает отходы, увеличивает выпуск изделий, прибыль предприятия и его рентабельность.

Отметим, что в современных пакетах прикладных программ для решения задач линейного программирования симплекс-ме­тодом предусмотрены режимы расчета так называемых интер­валов устойчивости, как для ограниченных ресурсов, так и для переменных величин, принимающих ненулевые значения. Эко­номический смысл этих интервалов состоит в том, что измене­ние объемов ресурсов и значений переменных в пределах этих интервалов не изменяет структуру оптимального плана. Это позволяет предприятию проводить рациональную политику приобретения дополнительных ресурсов.

1.2. Балансовые методы и модели в оценке внутризаводских связей и расчетах затрат и цен.

Балансовая модель - это система уравнений, характеризую­щих наличие ресурсов (продуктов) в натуральном или денежном выражении и направления их использования. При этом нали­чие ресурсов (продуктов) и потребность в них количественно совпадают. В основу решения таких моделей положены методы линейной векторно-матричной алгебры. Поэтому балансовые методы и модели называют матричными методами анализа. Наглядность изображений различных экономических процес­сов в матричных моделях и элементарные способы разрешения систем уравнений позволяют применять их в различных произ­водственно-хозяйственных ситуациях.

Пусть, например, известно, что каждое предприятие наряду с основным производством имеет вспомогательное, включающее в себя ряд цехов. Вспомогательные цехи оказывают услуги друг другу и основному производству. Величина себестоимости работ и услуг каждого вспомогательного цеха складывается из работ (услуг) других вспомогательных цехов. Чтобы определить зат­раты, связанные с использованием данным цехом работ (услуг) других цехов, надо наряду с объемом предоставленных работ (услуг) знать их себестоимости. Но, в свою очередь, определение этих себестоимостей невозможно без предварительного исчисле­ния себестоимости работ (услуг), которые цехи получили друг от друга.

Механизм использования балансового метода покажем на сле­дующем примере. Пусть на предприятии наряду с основным про­изводством имеется четыре вспомогательных цеха - цех сетей и подстанций, цех водоснабжения, автопарк, ремонтно-механиче­ский цех. Все они оказывают услуги друг другу (табл. 11.5).

Таблица 11.5

Требуется определить себестоимость работ (услуг), оказывае­мых основному производству всеми вспомогательными цехами.

Из табл. 11.5. видно, что для определения себестоимости услуг необходимо знать совокупные затраты каждого вспомогатель­ного цеха. А их нельзя подсчитать без расчета себестоимости единицы получаемых услуг – одного киловатт-часа электроэнергии, кубометра воды, тонно-километра грузоперевозок, нор­мо-часа ремонтных работ. Данную задачу можно успешно решать, используя балансовые модели и методы.

Обозначим через qij количество продукции, работ, услуг j-гo цеха, поступивших в i-й цех; уi - общие затраты подразделе­ний – потребителей (которые в свою очередь являются постав­щиками услуг); Qj - общий объем продукции, работ, услуг в натуральных единицах, отпущенных подразделением-постав­щиком; pj – собственные затраты (условно-постоянные и пере­менные) без стоимости услуг внутризаводского характера; xi – себестоимость единицы продукции, работ, услуг.

Взаимное предоставление продукции и услуг отразим в табл. 11.6.

Таблица 11.6.

На основе таблицы можно получить следующую систему уравнений:

;

.

Приведенные соотношения представляют собой систему двух групп неизвестных: себестоимости единицы продукции, работ, услуг и общего размера затрат по каждому структурному под­разделению предприятия.

Чтобы решить такую систему, приведем ее к стандартному виду, для чего выражение переменных yi подставим в выраже­ние переменных xi. В результате получим:

;

;
.

После соответствующих преобразований полученную систе­му уравнений можно записать в матричной форме, для чего вве­дем некоторые виды матриц:

                                                                                      ……………………..

                                                                                      0     0   …   0  …  Qm

Отсюда ,а .

Обратимся к задаче и представим исходную информацию в виде матриц:

В результате решения задачи получены следующие значения себестоимости единицы работ, услуг (хi,):

х1= 0,019964 руб., х2 = 0,099536 руб., х3 = 0,099837 руб., х4 = 1,999716 руб.

Тогда общая сумма затрат по каждому вспомогательному це­ху может быть вычислена по формуле:

Подставив в данное уравнение соответствующие значения, получим:

у1 =  59295 + 5 000 х 0,099837 + 50 х 1,999716 =  59 894 руб.

Бесплатная лекция: "119 Рентгеновский флюоресцентный анализ" также доступна.

у2 =  4 118 + 30 000 х 0,019964 + 600 х 0,099937 + 100 х 1,999716 = 4 977 руб.

у3 = 24 020 + 4 500 х 0,019964 + 5 000 х 0,99536 + 400 х  1,999716 = 24 960 руб.

у4 = 36 785 + 100 000 х 0,019964 + 1 500 х 0,99536 + 1200 х 0,099837 = 39 994 руб.

Следовательно, суммарная себестоимость работ (услуг) вспо­могательных цехов, оказываемых основному производству, со­ставит:

= 59 834 + 4 977 + 24960 + 39 994 = 129825 руб.

Следует отметить, что существующие пакеты прикладных программ для решения матричных моделей на современных ПЭВМ позволяют выполнять расчеты баланса производства и рас­пределения работ (услуг) как в целом по предприятию, так и для каждого структурного подразделения в отдельности и предостав­лять пользователю выходную информацию в требуемой форме.