Иерархии и приоритеты

Глава II

Иерархии и приоритеты

...Старинное изречение о том, что нельзя сравнивать яблоки и апельсины, неверно.

Т. Саати

2.1. Приоритеты

2.1.1. Измерения и согласованность

Предположим, что имеется некоторое семейство предметов (например, камней)

каждый из которых легок настолько, что его нетрудно удержать в руке, и требуется оценить их относительные веса в отсутствие взвешивающего прибора.

Рекомендуемые материалы

Среди возможных способов разрешения этой проблемы укажем два.

Первый состоит в том, чтобы определить (угадать) вес каждого предмета, взяв за единицу измерения (эталон) самый легкий, сравнить таким образом все предметы и, разделив затем найденный вес каждого Si на сумму весов всех п предметов, получить его относительный вес.

Это потребует (п — 1) сравнений.

Второй способ состоит в сравнении весов всевозможных пар предметов: сначала мы сравниваем вес предмета  с весами предметов ,...,S_n, затем вес предмета  с весами предметов ,..,S_n и т. д. до тех пор, пока у нас не сформируется суждение об относительном весе (отношении весов) для каждой пары предметов.

В этом случае общее число необходимых сравнений оказывается

равным

При этом каждый предмет методично сравнивается со всеми остальными.

Конечно, второй способ требует большего времени, чем первый, но оказывается точнее.

Любым измерениям (в том числе и с использованием приборов) присущи ошибки (погрешности), серьезным следствием которых является то обстоятельство, что они могут привести (и нередко приводят) к несогласованным выводам.

Приведем совсем простой пример ошибочного сравнения: предмет А в 1,5 раза тяжелее предмета В, который в свою очередь в 1,5 раза тяжелее предмета С, последний же по весу почти не отличается от предмета А.

Согласованность измерений является весьма важной их характе­ристикой.

При этом под согласованностью при сравнении предметов по весу подразумевается не просто результат типа:

если А тяжелее В и В тяжелее С, то А тяжелее С,

а количественно более точный:

если А в 2 раза тяжелее В, а В в 3 раза тяжелее С, тоАв2-3=6 раз тяжелее С.

Замечание 1. Как правило, чем лучше человек знаком с ситуацией, тем более он последователен в своих суждениях. Хотя обратное и необязательно верно — отличная согласованность в суждениях вовсе не означает, что человек хорошо разбирается в ситуации.

Замечание 2. Попарные сравнения позволяют повысить согласованность оценок.

Проблема сравнения возникает повсюду — и при измерении физических величин, и при оценке совершенных поступков.

Для получения хороших результатов в сравнениях требуется уметь:

1) находить подходящую численную шкалу сравнений,

2) определять степень несогласованности наших суждений.

Начнем с обсуждения вопроса о том, как можно оценить согласованность наших суждений практически. А затем поговорим и о шкалировании.

2.1.2. Идеальные измерения

Пусть нам предложено сравнить веса камешков

Рассмотрим идеальную ситуацию, предположив, что в нашем распоряжении их идеально точные веса.  Обозначим эти веса через

соответственно.                                                                                

Отношение

показывает в сколько раз вес  камешка больше веса  камешка .

Например, если и г, то отношение

Говорит о том, что камешек  в 1,25 раза тяжелее камешка

Запишем отношения (1) в виде квадратной матрицы

и проанализируем некоторые свойства этой идеальной матрицы сравнений.

1. Для любого i справедливо равенство  (элемент матрицы А, расположенный на пересечении строки и  столбца равен единице).

В самом деле,

2. Для любых i и k справедливо равенство  (произведение элементы матрицы А, расположенного на пересечении k-й строки и i-го столбца равно единице).

В самом деле, из того, что

 и ,

следует равенство

3. Для любых i,k и l справедливо равенство  (изведение элемента матрицы А, расположенного в  строке b столбце, на элемент матрицы А, расположенный в  строке и  столбце, равно элементу матрицы А, расположенному в  строке и   столбце).

В самом деле,

4. Столбец

является собственным столбцом матрицы А с собственным значением .

В самом деле,

2.1.3. Обратно-симметричные и согласованные матрицы

Рассмотрим теперь квадратную положительную матрицу порядка п

Матрица А называется обратно-симметричной, если для любых i и k выполняется соотношение

Из этого, в частности, следует, что

Матрица А является соглоасованной, если для любых i,k и l имеет место равенство .

Тем самым, идеальная матрица сравнений — обратно-симметричная и согласованная.

Справедливо следующее утверждение.

ТЕОРЕМА. Положительная обратно-симметричная матрица является согласованной тогда и только тогда, когда порядок матрицы и ее наибольшее собственное значение совпадают:

2.1.4 Индекс согласованности

Если элементы положительной обратно-симметричной согласованной матрицы А изменить незначительно («пошевелить»), то максимальное собственное значение _mах также изменится незначительно.

Пусть А — произвольная положительная обратно-симметричная матрица и _mах — ее наибольшее собственное значение.

Если

то матрица А — согласованная.

Если

(всегда ), то в качестве степени отклонения положительной обратно-симметричной матрицы А от согласованной можно взять отношение

которое называется индексом согласованности (ИС) матрицы A и является показателем близости этой матрицы к согласованной.

Замечание, Считается, что если ИС не превышает 0,10, то можно быть удовлетворенным степенью согласованности суждений.

2.1. 5. Вычисление собственных характеристик обратно-симметричной матрицы

Довольно естественно встает вопрос о том, как находить наибольшее собственное значение _mах положительной обратно-симметричной матрицы.

Для п=2 такую задачу решать мы умеем. Правда, это не так интересно: обратно-симметричная матрица 2-го порядка всегда согласованная.

В самом деле, пусть

— обратно-симметричная матрица. Найдем ее собственные значения. Имеем

Отсюда = 2 и = 0.

Однако в общем случае эта задача хотя и разрешима, но технически достаточно сложна. Поэтому, желая содержательно, но относительно просто ответить на поставленный вопрос, мы вынуждены чем-то поступиться. Проще всего поступиться точностью вычислений, т. е. искать приближенное значение наибольшего собственного числа.

Для этого поступают так: сначала приближенно строится собственный столбец, а затем по нему ищется приближенное собственное значение.

Опишем несколько способов приближенного вычисления собственного столбца.

1-й способ:

1) суммируем элементы каждой строки и записываем полученные результаты в столбец,

2) складываем все элементы найденного столбца,

3) делим каждый из элементов этого столбца на полученную сумму.

2-й способ:

1) суммируем элементы каждого столбца и записываем полученные результаты в столбец,

2) заменяем каждый элемент построенного столбца на обратный ему,

3) складываем элементы столбца из обратных величин,

4) делим каждый из этих элементов на полученную сумму.

3-й способ:

1) суммируем элементы каждого столбца,

2) делим элементы каждого столбца на их сумму,

3) складываем элементы каждой строки полученной матрицы,

4) записываем результаты в столбец,

5) делим каждый из элементов последнего столбца на порядок исходной матрицы п.

4-й способ:

1) перемножаем элементы каждой строки и записываем полученные результаты в столбец,

2) извлекаем корень n-й степени из каждого элемента найденного столбца,

3) складываем элементы этого столбца,

4) делим каждый из этих элементов на полученную сумму.

Каждый из этих четырех способов, будучи примененным к идеальной матрице, приводит к одному и тому же точному результату.

Покажем это для 1-го случая (для остальных трех проверка проводится столь же просто).

Пусть

— идеальная матрица.

Просуммируем элементы каждой строки матрицы (2) и, за полученные результаты в столбец

сложим элементы этого столбца. Имеем:

Поделим каждый из элементов столбца (3) на найденную суд результате получим

Нетрудно заметить, что итогом этих операций будет собственный столбец матрицы (2), сумма элементов которого равна единице. Легко убедиться и в том, что соответствующее собственное значение равно п.

В применении к обратно-симметричной, но не согласованной матрице ни один из предложенных способов уже не дает собственного столбца. Тем не менее при вычислении собственных столбцов матриц мы будем пользоваться именно этими способами, получая результате приближенные собственные столбцы.

Сложность вычислений возрастает с увеличением номера способа но увеличивается и точность.

Замечание. Описанные способы приближенного вычисления венного столбца матрицы эффективны лишь для обратно-симметричных матриц, достаточно близких к согласованным. Пример 1. Рассмотрим обратно-симметричную матрицу 4-го порядка

и вычислим приближенно ее собственный столбец всеми четырьмя способами.

1-й способ (указаны результаты каждого шага):

1) ,     2)          3)

2-й способ (указаны результаты каждого шага):

1) ,     2) ,      3) 0,97            4)

3-й способ:

в результате 1-го и 2-го шагов получим матрицу

в результате 3-го и 4-го шагов получим столбец

и окончательно

4-й способ (окончательный результат):

Точный метод построения собственного столбца заданной матрицы дает следующий результат:

Итак, собственный столбец найден. Теперь остается найти соответствующее собственное значение.

Покажем, как это делается в данном случае.

Как уже отмечалось в гл.3, если мы хотим проверить, является ли предъявленный столбец х собственным столбцом матрицы А, следует поступать так:

1) умножить матрицу А на этот столбец:

                                                           Ах=у,

или подробнее:

2) разделить элементы полученного столбца у на соответствующие элементы столбца х:

и если

то это отношение и есть собственное значение матрицы A, отвечающее данному столбцу х. Если же хотя бы одно из равенств (4) нарушается, то столбец х не является собственным столбцом матрицы А.

В данном случае столбец, получаемый любым из описанных выше четырех способов, мы заранее рассматриваем как приближение собственного столбца, и ожидать выполнения даже одного из равенств (4) нельзя.

Поэтому здесь мы поступим по-иному — считая каждое из отношений

приближением к искомому собственному значению, выберем в качестве собственного значения их среднее арифметическое:

Продолжение примера 1. Для отыскания приближенного зна­чения наибольшего собственного числа заданной матрицы используем приближение собственного столбца, вычисленное по 2-му способу. Умножив матрицу на соответствующий столбец, получаем

Поделив элементы найденного столбца-произведения на соответствующие элементы исходного столбца-сомножителя, получим следующие числа:

3,59,    6,31,    2,78,    3,50.

Найдем их среднее арифметическое. Имеем:

Тем самым,

Теперь уже совсем легко найти:

Для точного собственного столбца

 .

3-й способ дает значение

более близкое к точному. Правда в этом случае

2.1.6. Шкалирование

Количественные оценки, вводимые при парных сравнениях, исходя из некоторых эмпирических правил, опирающихся шаткое основание опыта. Тем не менее, приобретенное опытным путем удивительным образом оказывается полезным во многих, совершенно непохожих ситуациях.

При любом подходе к разрешению задачи сравнения важное значение имеет выбор шкалы сравнений. Главное требование — сравнений должна быть проста и естественна.

Вот некоторые соображения, обосновывающие наш выбор

Начнем с диапазона. Использование шкалы парных сравнений пределах от 0 до  может оказаться бесполезным. Дело в том, что  наша способность различать находится в весьма ограниченном диапазоне и, когда есть значительная несоразмерность между сравниваемыми объектами, действиями или обстоятельствами, наши предположения тяготеют к тому, чтобы быть произвольными, и оказываются далекими от действительности.

Так как единица является стандартом измерения, то верхняя граница должна быть не слишком далека от нее, хотя и достаточно отдалена для того, чтобы более или менее выразительно представить наш диапазон способности различать.

Поэтому и число сравниваемых объектов должно быть достаточно мало. Обычные пределы — это 7 ± 2.

Почему же выбираются числа от 1 до 9?

Вот только некоторые из возможных объяснений.

1. Способность человека производить качественные разграничения хорошо представлена пятью определениями:  слабый, сильный, очень сильный, абсолютный. Для большей точности но пользоваться промежуточными определениями.

2. Классификация по трем основным зонам — неприятие. безразличие, приятие, каждая из которых делится на низкую, уме и высокую степени.

3. Психологический предел 7 ± 2 предметов при одновременном сравнении подтверждает, что если взять 7 ± 2 отдельных предметов, близких относительно свойства, используемого для сравнения, то требуется 9 точек, чтобы их различить.

Замечание. Здесь уместно упомянуть и о принятой в отечественном образовании системе оценок 3, 4 и 5 с ее градациями 3±, 4± и 5±.

Опишем один из способов того, как практически придать количественное наполнение сравнению объектов, действий или обстоятельств и построить соответствующую таблицу сравнений.

Пусть даны элементы А, В, С, D ж т. д.

Таблица сравнений, имеющая вид

строится по следующим правилам:

если А и В одинаково важны, заносим в позицию (А, В) таблицы сравнений число 1,

если А незначительно важнее В •— число 3,

если А значительно важнее В — число 5,

если А явно важнее В — число 7,

если А по своей значимости абсолютно превосходит В — число 9.

Числа 2, 4, 6 и 8 используются для облегчения компромиссов между оценками, слегка отличающимися от основных чисел.

Рациональные дроби используются в случае, когда желательно увеличить согласованность всей матрицы при малом числе суждений.

Пример 2. Предположим, что, сравнивая объекты А, В, С и D,

мы получили таблицу сравнений

которая приводит к обратно-симметричной матрице, рассмотренной выше.

Пользуясь одним из способов приближенного вычисления собственных элементов этой матрицы (для определенности вторым) нашли и собственный столбец, и собственное значение, и ИС:

Сумма всех элементов полученного собственного столбца (его называют столбцом приоритетов)  равна 1. Он позволяет подвести итог проведенному анализу таблицы сравнений:

среди сравниваемых элементов A, В, С и D наивысший приоритет имеет А (68%), затем идут В (16%), С (9%) и D (6%) соответственно.

2.2. Иерархии

Очень часто при анализе интересующей нас структуры числе элементов и их взаимосвязей настолько велико, что превышает способность исследователя воспринимать информацию в полном объеме. В таких случаях система делится на подсистемы. Одним из таких делений является иерархическое.

Иерархии представляют собой определенный вид системы, основанный на предположении, что ее элементы могут группироваться в не связанные множества. При этом элементы каждой группы находятся под влиянием элементов некоторой другой вполне определенной группы и в свою очередь оказывают влияние на элементы третьей группы. Мы считаем, что элементы в каждой группе в иерархии, называемой уровнем, независимы.

Первым требованием при анализе функционирования системы является построение иерархии, воспроизводящей функциональные отношения. Для этого сначала перечисляются все элементы, относящиеся к иерархии. Затем они распределяются по группам в соответствии с влиянием между группами. Так возникают уровни иерархии. Определяются цели, ради которых изучается задача, и строится иерархия.

После того как уровни иерархии заданы, составляются матрицы попарных сравнений между этими элементами относительно каждого элемента следующего, более высокого уровня, который служит критерием при сравнении.

Приведем пример типичной иерархии (рис. 1). Первый уровень иерархии имеет одну цель: общее благосостояние страны. Второй уровень иерархии имеет три цели: сильную экономику, здравоохранение, национальную оборону. Приоритеты этих целей получаются из матрицы попарных сравнений относительно цели первого уровня. Целями третьего уровня являются отрасли промышленности.

Задача заключается в определении влияния отраслей промышленности на общее благосостояние страны через промежуточный второй уровень. Поэтому приоритеты отраслей промышленности относительно каждой цели второго уровня получаются из матриц попарных сравнений относительно этих целей, а полученные столбцы приоритетов взвешиваются затем при помощи столбца приоритетов второго уровня, что позволяет получить в итоге искомый составной столбец приоритетов отраслей промышленности.

Пример 3 (распределение энергии). Предположим, что нам необходимо разрешить проблему распределения энергии в некоторой развитой стране между тремя ее крупнейшими пользователями: бытовым потреблением (БП), транспортом (ТР) и промышленностью (ПР). Они составляют третий, или низший, уровень иерархии. Целями, по отношению к которым оцениваются эти потребители, являются вклад в развитие экономики (Э), вклад в качество окружающей среды (С) и вклад в национальную безопасность (Б). Цели составляют второй уровень иерархии. Общая цель — благоприятное социальное и политическое положение (Бл) — первый уровень иерархии (рис. 2).

Построим матрицу попарных сравнений трех целей: Э, С и Б в соответствии с их воздействием на общую цель — Бл. Умышленно но навязывая согласованность создаваемой матрице, мы по первой  строке находим все остальные ее элементы. Имеем:

Необходимые  пояснения  к  таблице.  Экономика имеет с превосходство перед окружающей средой (5) и слабое перед  национальной безопасностью (3). Числа во 2-й и 3-й строках выбраны так, чтобы полученная матрица сравнений была обратно-симметричной и согласованной.

Столбец приоритетов, вычисленный любым из описанных четырех способов, имеет вид

Следовательно, в соответствии со сравнением по социально-политическому влиянию экономика получает приоритет 0,65, окружающая среда — 0,13 и национальная безопасность — 0,22 (рис. 3).

Проведем теперь оценку относительной важности каждого потребителя с точки зрения потребителя с точки зрения экономики, окружающей среды и национальной безопасности (составляющих второй уровень иерархии).

Соответствующие матрицы попарных сравнений, индексы согласованности и столбцы приоритетов имеют следующий вид:

Запишем полученные данные в виде матрицы. Имеем

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Часть 4.

Умножая эту матрицу на столбец w, находим искомый столбец приоритетов третьего уровня иерархии, представляющего потребителей энергии БП, ТР и ПР (взвешенный согласно их общему влиянию):

Итак, в соответствии с нашими вычислениями на бытовое потребление следует выделить 62% энергии, на транспорт – 26% и на промышленность –12%.

2.3. Задание

Попробуйте рассчитать веса распределения времени между учебой, досугом и подработкой в соответствии с их общим вкладом в ваше личное благополучие через 7 – 10 лет, на которое влияют интересная работа, материальная обеспеченность и здоровье (семья), 3-й уровень – учеба, подработка, досуг.